维普资讯 http://www.cqvip.com 第１０期总第１４０期 ２００７年５月 内蒙古科技与经济 ＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａ Ｓｃｉ￣ｃｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ＆Ｅｃｏｎｏｍｙ Ｎｏ．１０． １４０ｔｈ ｉｓｓｕｅ Ｍａｙ．２００７ 一类三阶 Ｆ线Ｊｌ生系统的Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数的构造 杨 芳 （内蒙古财经学院，内蒙古呼和浩特摘０１００５１） 要：本文采用“类比法”给出一类三阶非线性系统的李雅普诺夫函数的构造，推广了文［１］的结 果。 关键词：三阶非线性系统；全局稳定性；李雅普诺夫函数 中图分类号：Ｏ１７７．９１ １ 引言 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－－－６９２１（２００７）１０—００７２—Ｏ１ ②ｆ（Ｘ，ｙ）三三＝ｄ； ③０＜ｈ（ｘ ）＜ａｄ； ④ｆｘ（ｘ，ｙ）ｙ＋ｆｙ（ｘ，Ｙ）ｚ三三三０； ⑤ｇｘ（ｘ，ｙ）＜０ 文［１］研究了如下三阶非线性系统： ｘ， ＋ｆ（ｘ，Ｘ ） ＋ｂｘ ＋ＣＸ＝０ ＋ａ ＋ｆ（ｘ）ｘ ）＋ＣＸ＝０ ＋ａｘ ＋ｄｆｘ ）＋ＣＸ＝０ 零解的全局渐近稳定性，并给出了该系统零解 的全局渐近稳定性的充分条件。 作为文［１］工作的推广，本文构造如下三阶非线 性系统： ＋ｇ（ｘ，ｘ ）ｘ ＋ｆ（ｘ，ｘ ）Ｘ ＋ｈ（ｘ）＝０，ｈ（０）＝０（１） 首先，我们容易看出：当ｆ（ｘ，ｘ ）＝ｂ，ｈ（ｘ）＝ＣＸ 或ｇ（ｘ，ｘ ）＝ａ，ｆ（ｘ，ｘ ）＝ｆ（ｘ），ｈ（ｘ）＝ＣＸ或ｇ（ｘ，ｘ ） 则系统（２）的零解是全局渐近稳定性的。 证明：由条件②得 ｖ（ｘ，ｙ，ｚ） ａ』 ｈ（ｓ）ｄ ＋ｈ（ｘ）Ｙ＋— １ ｄｙ２＋—导（ａｙ ＋ｚ） ＋ａ』 ［ｇ（ｘ，Ｙ）一ａ］ｙｄｙ＝ａ』５［ｇ（ｘ，Ｙ）一ａ］ｙｄｙ ＝ｖ１（ｘ，Ｙ，ｚ） 记Ｉ－Ｉ（ｘ）＝ａ』 ｈ（ ）ｄ 一 ｈ （ｘ），Ｉ－Ｉ（Ｏ）＝０，由 条件③中的ｈ （ｘ）＞０，ｈ（ｘ）单调增加，即ｓｇｎ ｈ（ｘ） ＝ａ，ｆ（ｘ，ｘ ）ｘ ＝ｄ（ｘ ），ｈ（ｘ）＝ＣＸ时，系统（１）就变 成了文献［１］中的系统。 将系统（１）化成等价系统 ｒｘ Ｙ ＝ｓｇｎｘ，而Ｈ （ｘ）＝ ［ａｄ—ｈ （ｘ）］ｈ（ｘ），再由条③ 中的ｈ （ｘ）＜ａｄ知，当ｘ＞０时，Ｈ （ｘ）＞０即Ｈ（ｘ） 单调增加；当ｘ＜０时，Ｈ （ｘ）＜０即Ｈ（ｘ）单调减少。 Ｙ ＝ｚ Ｌｚ ＝一ｈ（ｘ）一ｆ（ｘ，Ｙ）Ｙ—ｇ（ｘ，ｙ）ｚ （２） 注意到，ｉ－ｉ（ｏ）＝０，知当ｘ≠０时，Ｈ（ｘ）＞０，故ｖ （ｘ， 系统（２）所对应的线性系统为 ｒｘ Ｙ Ｙ，ｚ）非负，当ｖ１（ｘ，Ｙ，ｚ）＝０时，有Ｈ（ｘ）＝０，Ｙ＋｛ｈ （３） Ｙ ＝ｚ Ｌｚ ＝一ＣＸ—ｂｙ—ａｚ （ｘ）＝０，ａｙ＋ｚ＝０，』５［ｇ（Ｘ，ｙ）一ａ］ｙｄｙ＝０，由上述 证明知必有ｘ＝０，代人系统（２）可得Ｙ＝０，ｚ＝０，故 ｖ （ｘ，Ｙ，ｚ）正定，从而ｖ（ｘ，Ｙ，ｚ）正定。又由条件①、 ②、③、④和⑤得 ｖ 取系统（３）的李雅普诺夫函数为 ｖ（ｘ，ｙ，ｚ）＝— １ ａｃｘ２＋ｃｘｙ＋ （ａｙ＋ｚ） ＋百１。ｙ２ 运用“类比法”可得系统（２）的李雅普诺夫函数， 并建立其零解的全局渐近稳定性的判别准则，其中 ｇ（ｘ，Ｙ），ｆ（ｘ，Ｙ），ｈ（ｘ）有连续的导数，且ｇ（０，０）＝ｆ （０，０）＝０。 ２主要结果 ｌ（２）＝ａｈ（ｘ）ｘ ＋ｈ （ｘ）ｘ Ｙ＋ｈ（ｘ）Ｙ ＋告ｆＩ（ｘ， ｙ）ｘ ＋—１ ｆｙ（ｘ，ｙ）Ｙ ＋— ｉ ｆ（ｘ，ｙ）２ｙｙ ＋（ａｙ＋ｚ） （ａｙ ＋ｚ ）＋ａ』５ｇ （Ｘ，ｙ） ｄｙ＋ａ［ｇ（Ｘ，ｙ）一ａ］ＹＹ ＝ ａｈ（ｘ）ｙ＋ｈ （ｘ）ｙ２＋ｈ（ｘ）ｚ十专《（ｘ，ｙ）ｙ３十号ｆｙ（ｘ，ｙ） ｚ＋ｆ（ｘ，ｙ）ｙｚ＋（ａｙ＋ｚ）［ａｚ—ｈ（ｘ）一ｆ（ｘ，Ｙ）Ｙ—ｇ（ｘ， 运用“类比法”可得系统（２）的李雅普诺夫函数 为 ｙ）ｚ］＋ａ』５ｇ （Ｘ，ｙ） ｄｙ＋［ａｇ（Ｘ，ｙ）一ａ２］ｙｚ＝一［ｇ ｖ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝ａ』 ｈ（ ）ｄ ＋ｈ（ｘ）ｙ＋— ｆ（ｘ，ｙ）ｙ ＋— （ａｙ＋ｚ） ＋ａ』 ［ｇ（ｘ，Ｙ）一ａ］ｙｄｙ （４） 于是我们可以叙述并证明如下结果： 定理如果存在常数ａ＞０，ｄ＞０，使得 ①ｇ（ｘ，Ｙ）一ａ三三＝０）； （ｘ，ｙ）一ａ］ｚ２一［ａｆ（ｘ，ｙ）一ｈ （ｘ）一 ｆＩ（ｘ，ｙ）ｙ一 ｆｙ （ｘ，ｙ）ｚ］ ＋ａ』５ｇ （ｘ，Ｙ）ｙ２ｄｙ＜一［ｇ（ｘ，Ｙ）一ａ］ｚ２一 ａｄｙｚ＋ａｄｙ２＋ ［￡（ｘ，ｙ）ｙ＋ （下转第７６页） 收稿日期：２００６—１１—１５ ・７２・ 维普资讯 http://www.cqvip.com 总第１４０期 断［Ｊ］．北京体育大学学报，２００６，（４）． ［６］ 许莉．试析我国体育赛事的市场化［Ｊ］．辽宁体 育科技，２００６，（４）：４～８． 内蒙古科技与经济 ［１９］ 王祥茂．中国职业棒球未来门票销售策略 ［Ｊ］．广州体育学院学报，２００４，（２）． ［７］ 王晓东．体育赛事门票经营开发策略的研究 ［Ｃ］．北京体育大学博士学位论文，２００５，（４）． ［２０］ 史兵，王颖．综合型运动会门票定价理论研 究［Ｊ］．中国体育科技，２００３，（８）． ［２１］ 曹洪．捆绑销售的社会福利分析［Ｊ］．学术 研究，２００４，（２）． ［８］ 杨炯，唐晓彤．大型体育赛事的相关经济效应 ［Ｊ］．问题研究．中国体育科技，２００６，（３）：１７～ ２０． ［２２］ 史伟．定价策略与技术［Ｊ 商业时代，２００４， （２６）． ［９］ 肖嵘，刘美霞，郑军．大型体育赛事门票经营策 略研究集团经济研究［Ｊ］，２００６，（２）：５９～６０． ［１０］ 岑传理．五环旗下的奥运会［Ｍ］．济南：山东 文艺出版社，２００１，（１２）． ［２３］ 左珈中．国中产阶级的旅游消费特征及营销 对策分析［Ｊ］．商务营销，２００５，（１０）． ［２４］杨杰．市场开发任重而道远［ＯＬ］．云南日 报网．２００４，（８）． ［１１］ 邱招义．奥林匹克进展——从雅典到雅典 ［Ｍ］．北京：人民体育出版社，２００５，（５）． ［１２］ 翁飚．奥运会门票的定价及其销售［Ｊ］．体育 文化导刊，２００３，（２）：１９～２１． ［２５］ 魏纪中．大型体育赛事市场开发［Ｊ］．文体 用品与科技，２００４，（１１）． ［１３］ 孙葆丽．奥林匹克运动与中国体育［ＯＬ］． 北京２００８奥运国际论坛，２００４，（６）． ［２６］ 叶秉喜，庞亚辉．北京奥运会该怎样赚钱 ［ＯＬ］．中国品牌营销管理网，２００４，（１１）． ［２７］ Ｃｇｄ＿ｒｎｅ８ Ｂｅｘｃｅ１．Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｏｐｐｏｒｔｕｎｉｔｉｅｓ ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ２００８ Ｏｌｙｍｐｉｃ ｌ Ｊ］．Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ Ｃｏｎｓｕｌｔａｎｔ，２００２，（５）． ［１４］ 黄滨，李响．中国社会不同阶层休闲体育研 究［Ｊ］．广州体育学院学报，２００６，（３）． ［１５］ 中国体育文化与西方体育文化的交流与融合 ［ＯＬ］．中国人民大学人文奥运研究中心网 站，２００５，（４）． ［２８］Ｄｒ Ａｄａｍ Ｂｒｏｗｎ．Ｊｏａｎｎｅ Ｍａｓｓｅｙ．Ｔｈｅ Ｉｍｐａｃｔ ｏｆ Ｍａｊｏｒ Ｓｐｏｒｔｉｎｇ Ｅｖｅｎｔｓ【Ｍ Ｊ．Ｍａｎｃｈｅｓｔｅｒ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｆｏｒ Ｐｏｐｕｌａｒ Ｃｕｌｔｕｒｅ Ｍａｎｃｈｅｓｔｅｒ Ｍｅｔ— ｒｏｐｏｌｉｔａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００ １． ［１６］ 杜利军，倪同云，林显鹏，陈琳，詹军强．对中 ［２９］ Ｆｉｎａｌ Ｓｙｄｎｅｙ ２０００ Ｍａｒｋｅｔｉｎｇ Ｏｖｅｒｖｉｅｗ［Ｊ］ ．西方体育参入率差异的分析［ＯＬ］．中国群 众体育现状调查与研究．国家体育总局体育 信息中心． ｍａｒｋｅｔｉｎｇ ｍａｔｔｅｒｓ，２００１，（５）． ［３ｏ ｌ Ｌｉｓａ Ｉ３ｅｐｌｙ Ｎｅｉｒｏｔｔｉ．Ｈｅａｔｈｅｒ Ａ Ｂｏｓｅｔｔｉ．Ｋｅｎ— ｎｅｔｈ Ｃ Ｔｅｅｄ．Ｍｏｔｉｖａｔｉｏｎ ｔｏ ａｔｔｅｎｄ ｔｈｅ １９９６ ［１７］ 喻坚．对五届奥运会经济效益的分析［Ｊ］． 福建体育科技，２００２，（８）． ［１８］ 陈小雪，陈保弟，陈字．Ｆ１中国元年［Ｊ］．商 界名家，２００４，（１１）． Ｓｕｍｍｅｒ Ｏｌｙｍｐｉｃ Ｃａｍｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎ￣ｏｆ Ｔｒａｖｅｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２００１，（２）． ［３１］ Ｏｌｙｍｐｉｃ Ｍａｒｋｅｔｉｎｇ Ｆａｃｔ Ｆｉ１ｅ，２００４． ［３２ １ Ｏｌｙｍｐｉｃ Ｍａｒｋｅｔｉｎｇ Ｆａｃｔ Ｆｉｌｅ，２００６． （上接第７２页） （ ，Ｙ） ］Ｙ 十ａ』 ＝一（．２７，Ｙ）Ｙ 去（ 十ａｙ） ＜Ｌ， 厶 ［ｇ（ｘ，Ｙ）一ｎ］ 十告［ （ ，Ｙ）Ｙ十 （ ，Ｙ） ］ 即 ，ｌ（：）常负，且当 ，ｌ（２）＝０时，即 即 一ａｙ一￣／２Ｌ＜ｚ＜一ａｙ十￣／２Ｌ （５） Ｙ 十ａ』 ｇ （ ，Ｙ）Ｙ。ｄｙ≤０ 如果Ｙ＝Ｎ，则由（５）右边不等式得 ＜一ａＮ＋ ２Ｌ，如果Ｙ：一Ｎ，则由（５）左边不等式得 ＞ａＮ 一，［ｇ（．２ｇ，Ｙ）一ｎ］ 十［ａｆ（．２ｇ，Ｙ）一ｈ （ ）一告 ／２Ｚ，这就是说当Ｎ足够大时，有 ｓｇｎ Ｙ一 ｄｔ （ ，Ｙ）Ｙ一—导 （ ，Ｙ） ］．）， 十ｎ』 ｇ （ ，Ｙ） ｄｙ：０ 时，ｙ＝０，代人（２）得 ＝０， ＝０，故７Ｊ ＝０不含系 统（２）的整条轨线（除零解外）。 下面证系统（２）的所有正半轨线有界，任取点 ｌＤ０（ｚ０，Ｙ０， ０）和如此大的正数Ｌ和Ｎ，使得 位于 由不等式７Ｊ（ ，Ｙ，ｚ）＜Ｌ及ｌ Ｙ ｌ＜Ｎ所确定的区域 Ｄ内，显然Ｄ是有界区域。由７Ｊ ０，知轨线上的点 当ｔ＞０时，若要从区域Ｄ内离开，就必须通过这个 区域边界的平面部分，即有这样的瞬时Ｔ，使ｌ ｙ（Ｔ） Ｊ＝Ｎ，但从不等式７Ｊ（ ，Ｙ， ）＜Ｌ及７Ｊ的表达式可 知 ・ｓｇｎ．），＜０，由此可知系统（２）的轨线交区域Ｄ边界的 平面部分（即３，＝±Ｎ）时自外向内穿过，所以系统 （２）的每条正半轨线有界。故系统（２）的零解是全局 渐近稳定的。 ［参考文献］ ［１］ 何昭青．一类三阶非线性系统的Ｌｉａｐｕｎｏｖ函 数构造．邵阳高等专科学校学报，２００１，１４（４）： ６２１～６２３． ［２］ 王联，王慕秋．一类三阶非线性系统的李雅普 诺夫函数构造之分析［．，］．科学通报，１９８１， （２）． ７６・ 、