空间几何体

一、知识概述

柱体、锥体、台体和球体都是简单的几何体，复杂的几何体大都是由这些简单的几何体组合而成的．有关柱体、锥体、台体和球体的研究是研究比较复杂的几何体的基础．本章研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等．运用直观感知、操作确认、度量计算等方法，认识和探索空间图象及其性质． 二、重难点知识归纳

1．柱、锥、台、球的结构特征 ①棱柱

(1)定义：如果一个多面体有两个面互相平行，其余面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面的距离叫做棱柱的高．

(2)棱柱的表示：用上下底面的对应字母来表示或用它的对角线的端点字母来表示． (3)棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (4)棱柱的性质：

I．棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．

II．棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形． III．过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形． ②棱锥

(1)定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．棱锥中有公共顶点的三角形叫做棱锥的侧面，余下的那个多边形叫做棱锥的底面或底，相邻两个侧面的公共边，叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的高．

(2)棱锥的表示：顶点－底面，或顶点－底面对角线．

(3)棱锥的分类：依据棱锥的底的多边形的边数分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥等．底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫作正棱锥．相应的有正三棱锥、正四棱锥．

(4)棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高比的平方． ③棱台

(1)定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面． (2)棱台的表示：与棱柱一样，用上下底面的对应字母来表示． ④圆柱

(1)定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行与轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．

(2)圆柱的表示：圆柱用表示它的轴的字母表示． (3)圆柱和棱柱统称为柱体． ⑤圆锥

(1)以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．

(2)圆锥的表示：圆锥也用表示它的轴的字母表示． (3)棱锥与圆锥统称为锥体． ⑥圆台

(1)定义：与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．

(2)棱台与圆台统称为台体．

⑦球

(1)以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径． (2)球的表示：球常用表示球心的字母表示． 2．三视图与直观图

①三视图是利用物体的三个正投影来表现空间几何体的方法．三视图包括：正视图，测视图，俯视图．画几何体的三视图时应注意：一个几何体的俯视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示． ②运用斜二侧画法画图时应注意：

(1)在画图过程中要注意已知图形和直观图形中什么变和什么不变；

(2)不但要学会把一个立体图形画成直观图形，还要学会把一个直观图还原为立体图形．

3．柱体、锥体、台体、球的表面积与体积 ①表面积

柱体、锥体、台体的表面积即为各个面面积之和．棱柱、棱锥、棱台并没有确定的表面积公式，要求它们的表面积，必须求出各个面面积．圆柱、圆锥、圆台、球有确定的表面积公式，如下：

(1)设圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的表面积．

(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的表面积．

(3)设圆台上底面半径为，下底面半径为r，母线长为l，则圆台的表面积

．

(4)设球的半径为R，则球的表面积．

②体积

(S为底面积，h为柱体高)；

(S为底面积，h为锥体高)；

(分别为上、下底面面积，h为台体高)；

(R为球半径)．

三、典型例题剖析

例1．下列命题中正确的是（ ）

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；

C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；

D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． 解析：本题考察的主要是几何体的基本概念．

对于A答案，除了上述条件外，必须还要每相邻两个四边形的公共边都互相平行．故A答案错误．

对于B答案，上述条件中漏掉了“而且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件．因而，所围成的几何体可能不是棱柱．故B答案错误． 对于C答案，符合棱柱定义，正确．

对于D答案，应该是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥．若没有这个条件，所得几何体不一定是棱台，故D答案错误．

故选C．

例2．如图所示，在体积为15的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，S是C1C上的一点，S－ABC的体积为3，则三棱锥S－A1B1C1的体积为（ ）

A．1 B． C．2 D．3

解析：设棱柱的高为h，棱锥S－ABC的高为h1， 棱锥S－A1B1C1的高为h2，那么则有h1＋h2=h，

根据题目条件有，，则有

．

故选C．

例3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形．如果直角三角形的直角边的长为1，那么这个几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．1

解析：由三视图得几何体的原图为一个棱锥，且棱锥的两侧面为等腰直角三角形，底面也为等腰直角三角形，

则有棱锥的高为h=1，底面面积．

故此棱锥的体积

例4．正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积．

解：如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，AB=a，PB=2a， 作

底面ABCD于点O，连接BD，

则，且，

由AB=a，得BD=a．在RtPAB中，

．

PO=，．

又作PEBC于点E，这时E是BC的中点．

，．

．

对角面面积为，侧面积为．

例5．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．

解析：如图所示，等边球面得球的大圆圆

．

为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截

设球的半径，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有

，，

，

．

．