论文

摘要：本文简要的谈论了数值逼近思想中的极限思想，二分逼近思想及逐次逼近思想，同时说明了它在生活中的一些运用.

关键词：数值逼近；极限；二分逼近；逐次逼近 引言

逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法 ,它不完全等同于近似，它是一个过程.它遵循着这样一个简朴实用的原则：以简御繁以“已知 ”去研讨“未知” .逼近无论在理论上还是在实践中都有重要的意义.但逼近的思想和方法在某些方面还没达到成熟，一些领域如倒数逼近尚需进一步的探索.在此，我对逼近理论中一些较成熟的方法及其运用做了一个初步的探索.

作为一个分析论证方法 ,逼近法是简朴实用原则的具体化 、数量化.他的应用是广泛而多样的.现在来介绍它在数值逼近方面的一些运用. 1：数值逼近思想在极限中的运用

定义一：当n趋于∞时，若an逼近于一个定数a，则{an}的极限等于a. 数列{an}以a为极限 ,其意即为用a1,a2,......an......去逐步逼近常数a. 下面介绍一个典型的由两侧逼近求数列极限的例子.

例1：（两边加逼定理）设limf(x)=limg(x)=A，且在某(x0;d')有

xx0xx00 f(x) ≢h(x)≢g(x) (1.1) 则limh(x)=A.

x®x0

证明：按假设，\"e>0,分别$正数d1和d2，s.t.当0<|x-x0|) , (1.2) A-e当0<|x-x0|+e . (1.3) g(x)A-ex®x0第1页

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例2：求limòn10xndx. 1+xxn, 1. n+1xn解：当0£x£1时，0＃1+xxn所以0＃蝌dx01+x110xndx=由夹逼原理可得limòx10xndx=0. 1+x2：二分逼近法

二分逼近法在对定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质P的实数 ,则可从一个具有相应性质P*的闭区间出发 ,逐次二等分 ,得到一个始终保持P*的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列 ,将具有性质P的实数“夹逼 ”出来 ,而实数的连续性则确保了此数的存在 ,使这种逼近不至于“逼 ”空 .

现将二分逼近法典型证明方式说明于下：

2.1确定一个闭区间[A1,B1]使其具有某一性质P*.（P*由性质P而定） 2.2将[A1,B1]等分成[A1,保持P*的区间定为[A2,B2].

2.3逐次二等分得到闭区间列{[Am,Bm]},则所有的闭区间都具有性质P* ,且

A1+B1A+B1]与[1,B1]，则至少有一个区间保持性质P*，将22A1＃A2......＃Am......＃Bm......＃B2B1，

（亦可写成 （[A1,B1]缮[A2,B2][A3,B3]缮......[Am,Bm] ......） 从而得到左右夹逼数列{Am}与{Bm}满足lim(Bm-Am)=limmm1(B1-A1)=0 2m2.4由实数的连续性得到实数k,属于所有的闭区间 ,数k满足 2.4.1具有性质P.

这是由于k属于所有的闭区间 ,被{Am}与{Bm}左右夹逼,不妨形象地表示为:

AmkBm(m).

因而,k的任意小的邻域内(k-e,k+e)都包含[Am,Bm](m足够大),于是(k-e,k+e)具有性质P* ,故k具有性质P.

2.4.2 k是唯一的.事实上 ,若k不唯一 ,设k¹k',且满足Amk第2页

Bm(m),则对

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任何m,kAm,得到k-k'?BmAm，而lim(Bm-Am)=0，故k=k'.即唯一 .

m以下我们通过实例证明一为体会二分逼近法的思想及应用 .

例3：设在[a,b]上连续的单调递增函数f(x)满足f(a)b,则存在cÎ(a,b),使f(c)=c.

A+B1证明：令a=A1,b=B1，将[A1,B1]二等分，分点1，

2A+B1A+B1若f(1)=1,则命题结论成立 .

22A+B1A+B1A+B1,B1]=[A2,B2]， 否则，若f(1)>1,则取[1222A+B1A+B1A+B1]=[A2,B2].逐次二等分区间. 若f (1)<1，则取[A1,1222一般地对[Am,Bm]，若f(

Am+BmA+Bm)=m,则命题结论成立， 22否则 , 若f(

Am+BmA+BmA+Bm)>m,则取[m，Bm]=[Am+1,Bm+1]. 222若f(

Am+BmA+BmA+Bm)m（2.2）f(Am)>Am,f(Bm)由于f(x)单增 ,所以f(Am)£f(c)£f(Bm)即：Am上述证明中 ,所求的数c具有的性质P: f（c）=c,

而构造的闭区间列{[Am,Bm]}的性质P*则确定为f(Am)>Am,f(Bm)二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具 ，是逼近法的最简明的形式之一 ,它在生活中有着非常广泛的运用,下面来看一个简单的实例，以体会二分逼近法给我们的生活带来的诸多便利.

中央电视台“幸运52”栏目曾有一项活动：主持人李咏拿出一件物品，让参赛者猜这件物品的价格，若选手猜对，则将这件物品作为奖品奖励给这位选手.

若选手想要在规定时间内拿到较多的奖品，应制定怎样的策略，才能实现自己的目标呢？

实际上,选手根据对某一件物品的了解程度，首先可判断出该物品的价格在某一范围

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内，然后再进一步猜出该物品的价格.在知道该物品的价格在某一范围内，如在a 元与b 元之（不含a、b，且为整数，为便于讨论,假设物品的价格数为整数，单位为元），那么应该怎样猜才能比较快地拿到奖品呢？

在整数a 与b 之间，共有b ― a ― 1 = N 个整数，若是对这几个数一个一个地猜，设猜了

P2P1(1P1)k

次能猜中的概率为Pk , 则P1 = 1 / N ，

112/N,......,PkPK1(1Pk/N 1)N1Nk若要有80% 以上的把握猜对的话，则猜的次数应不少于[80%N].

显然这样要拿到奖品是比较困难的.但运用二分法逼近猜测，则情况大不相同. 二分法逼近猜测的方法如下：

ab]，若1恰好是该物品的价格ξ元，则取1=ξ即为所求. 2.1 首先取1[22.2 若1

2.2.1 当a 与b 之间的整数个数为N=2n － 1(n∈N+) 时，则b = a + 2 n ，取 2.2.1.1当1＜ξ时，令a1= 1,b1 =b ,则有a1＜ξ＜b1，且a1与b1之间的整数个数为

N1=b1-a1-1=(a+2n)-(a+n)-1=n-1=[ba1N][] ； 222.2.1.2当1＞ξ时，令a1=a , b1=1 ,则有a1＜ξ＜b1 且在a1与b1之间的整数个数为

ba1N][] . 222.2.2 当a 与b 之间的整数个数为N=2n(n ∈N+)时， 则b = a + 2 n + 1 ， 取ab11[][an]an，

22N1=b1-a1-1= (a+n)-a-1=n-1=[2.2.2.1 当1＜ξ时，

令a1= 1,b1=b ,则有a1＜ξ＜ b1，且a1 与b1之间的整数个数为N1=b1-a1-1=(a + 2n + 1)-(a + n)-1=n= [ba1N][]； 222.2.2.2 当1 ＞ξ时,

令a1=a , b1=1,则有a1＜ξ＜b1且在a1与b1之间的整数个数为N1=b1-a1-1=(a+n)-a-1=n-1< n = [ba1N][]. 22综上所述，当1 ≠ξ时，可得到a1＜ξ＜b1且a1 与b1之间的整数的个数为N1≢[N/2].

2.2.3、对整数a1与b1 重复上述做法，当ξ= 2时，则ξ即为该物品的价格；若ξ≠

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2=[a1b1] ，同样可求得a2 和b2，使得a2＜ξ＜b2且a2与b2之间的整数的个数为2NN1]=[[]/2] .……，由此可得，当Nk=bk-ak-1=1（即ak与bk之

22N2=b2 －a2 － 1 ≢ [间只有一个整数）时，取ξ = k1[akbk]，即为该物品的价格，此时有2Nk+1=[Nk/2]=0.

那么当k 为多少时，[Nk/2]=0 呢? 我们先解决如下问题：

引理1 、任意一个正整数N ，存在整数k0k1k2......kp0, 使得

N2k02k12k2.....2.p,其中2k0N2k01.

证明：对任意一个正整数N，显然存在一个正整数k0，使得2k0N2k01.又因为正整数N 可以表示成一个二进制的数，在这个二进制的表示形式中的第ki+1 位（从右到左）的数字为1，其对应的十进制的数字为2ki（i=0,1,2,……,p），而二进制中的数字0，对应的十进制的数字也为0 ，所以N2k02k12k2......2p.

111......]= 0 . iki1i22221111111证明：∵ 0 <[i1i2......ik] ≢i1......2=1 － i1< 1

2222222111∴ [i1i2......ik]=0.

222有了上述两个引理，现在我们来证明如下定理：

kk引理2、若整数i1i2......ik0，则[N定理：对任意的一个正整数N ，记N1=[N/2]，N2[N1/2][[2]/2] ，NN3[N2/2][[[2]/2]/2]，…… ， 则Nn[Nn1/2][N] （n 为正整数）. n2证明：由引理1 可得，对任意正整数N，存在整数k0k1k2......kp0， 使得

N2k02k12k2......2p,其中2k0N2k01.

1.1、若kp，显然N1 = [ N / 2 ] 成立； 若kp1， 因为N2p(20kkkpk21p...2p1p1)

kkkk第5页

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即

Nkkkkkk(20p21p...2p1p)是整数. kp2p因此N / 2 ，N / 22，⋯，N/2k 都是整数，所以Nn= [ N / 2n]（其中1nkp）.即，当kp= 0 或者kp≣ 1 ，Nn= [ N /2n]（ 1nkp） 成立.

1.2、若kp＞ 0 ，且1 ≢ n ≢ k0时，由Ⅰ、可知，当n=kp时，有Nn=[N/2n] .设当n=m(ki1＜m＜ki,i=0,1,2,……,p-1)时，原式成立.即Nm = [ N / 2m] ， 此时

Nm= [2k0m2k1m......2kim12mki1...12mkp]

=[2k0m2k1m......2kim][=2k0m2k1m......2kim 当

12mki1...12mkp]

n=m+1 时，因为ki1mkiki1，所以ki1m10，此时

Nk0m1ki1m1kim1k1m1]/2]=[22......22] m2Nm1[Nm/2][[=2k0m12k1m1......2ki1m1[2kim1]; 而[Nkpm1k0m1ki1m1kim1ki1m1k1m1]=[22......222......2] 2m1kpm1= [2k0m12k1m1......2ki1m1][2kim12ki1m1......2];

1.1当ki ＞ m，即ki-m-1 ≣ 0 时，由条件得m1ki1...kp，此时

[2kim12ki1m1......2kpm1][2kim1][12m1ki...12m1kp][2kim1]；

1.2当ki= m ，即ki- m - 1 ＜ 0 时，而m+1>ki1>…>kp， 此时

[2kim12ki1m1......2kpm1][12m1ki...12m1kp]0[12m1ki][2kim]1即

[2kim12ki1m1......2kpm1][2kim1]由上可知，当Nm[N/2m]时，可推出

Nm1[N/2m1]所以当kp＜ n ≢k0时，Nn=[N/2n]成立.

1.3当n ＞k0时，因为2k0≢ n ＜ 2k01，有1 ≢ N / 2k0＜ 2 ，所以

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Nk0[NNNN]=1，从而有，……, = 0 ；又由于<1，所以NN[[]/2]0nk01k0k0k012k0222[N/2n]=0；即Nn=[N/2n].

由1.1,1.2,1.3，可得对一切正整数n，Nn=[N/2n]成立.

现在我们可以解决前面的问题了，根据定理，当Nk1= [ N /2k1] = 0 , 即[ N / 2k1] = 0 时，有

0N1,因此当k+1>[log2N],即k[log2N]时，Nk+1=0，所以用二分法最多[log2N]次就能2k1猜中.

这种二分法逼近猜数的效果如何？ 我们设猜了k次能猜中的概率为pk，则：

p1= 1 / N ；

p2p1(1p1)……

1111≣3/N; (1)NN1N1N1[]212k1; pkpk1(1pk1)Nk1N且当k³[log2N]时，pk=1. 由此可见，当k=1 时，p1P1； 当1[log2N]时，pkPk.

可见用二分逼近法的猜数比在a 与b 之间随意地猜的方法的效果更好，能更快地猜

出其物品的价格.因此，选手可用这种二分法逼近的方法来猜测物品的价格，可在规定的时间内获得更多的奖品.

同样，对于一些连续性的问题，我们可以根据闭区间上连续函数的介值定理，运用二分法逼近的方法求解.如用二分法逼近求方程x3-x-1=0 在区间（1 ，2 ）内的近似根，使误差不超0.01.则用这种方法7 次就可求得符合条件要求的方程的近似根为

a7b7=1.32.

通过以上面的分析说明，利用二分法逼近解题的思想方法，可把原来较大范围内不易求解的问题，逐步缩小范围，从而最终求出符合条件的解，这种思想方法对一些问题的解决能起到积极的作用. 3 数值逼近中的逐次逼近

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在积分方程的求解中，逐次逼近法是一种极其有效的方法.而皮卡序列在逐次逼近中也发挥了十分重要的作用.在此，对皮卡序列的证明及应用做了一定的研究，并对皮卡逐次逼近法给出了一些论述，且将这种方法运用到了其他一些学科的研究中，如数值分析.本部分主要是通过利用皮卡逐次逼近法证明存在唯一性定理，求解积分方程，对积分方程求近似解.

3.1、主要定理

定义 3.1 设函数 f（x，y） 在区域D内满足不等式 f（x，y1）—f（x，y2）

£L|y1-y2|其中常数L＞0，称函数f（x，y）在区域D对y满足李氏条件.

定理 3.1（存在唯一性定理）给定积分方程

y=y0+òxx0f(,x)y d x (3.1)

f（x，y）在矩形区域S：|x-x0|£a,|y-y0|£b内连续，且对y满足李氏条件，则积分方程(3.1)在区间[x0-h,x0+h]上有且只有一个解，其中h=min{a,∈S

在定理1的基础上我们加一些限制条件把定理1推广如下: 定理 3.2 给定积分方程

(x)f(x)bab},M=max |f(x,y)|, (x,y)M k(x,,(d)) (3.2)

其中f(x) 在 [a,b ]上为已知函数，可k(x, ,())在Q =[a,b;c,d]上为已知连续函数，且满足|k(x,,(x,,1()))k(x,,2())|L|1()2()|，则当|λ|足够小时，方程(3.2)在区间|xx0|h上有且只有一个解，其中hmin{ba,dc},Mmax|k(x,,())|

(x,y)Qm证明: 我们在区间x0xx0h,对于x0hxx0讨论完全一样. 这里定义区

|xx0|h,hmin{ba,dc}. m作逐次逼近函数列:

{n1(x)f(x)x0x0(x)f(x),k(x,,n())d,n0,1,2... (3.3)

第一步: 对于所有的n，(3.2) 式中函数在x0xx0h上有意义，连续且满足不等式 |n1(x)n(x)|d-c.

当n = 0 时，k(x,,())在区间Q =[a,b;c,d]上连续. 由

1(x)f(x)k(x,,0())d. (3.4)

x0x第8页

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知1(x)在x0xx0h上有意义连续且当||足够小时有

|1(x)0(x)|k(x,,0())d||k(x,,0())d||M|xx0|||(dc)dc

x0x0xx即题当n =1时成立. 依此类推n(x)在x0xx0h有意义连续且满足不等式

|n(x)0(x)|d-c.

第二步: 函数序列{n(x)} 在x0xx0h上是一致收敛的.考虑级数

0(x)[k(x)k1(x)], (3.5)

k1因此要证明函数序列{n(x)}在x0xx0h上一致收敛，只需要证明级数(3.5) 在

x0xx0h上一致收敛. 下证级数(3.5) 是一致收敛的.

M(L|xx0|)n1先证明不等式|n1(x)n(x)|||

(n1)!n1 当n = 0时由第一步证明可知，假设成立. 2 假设当n = k时成立. 则n = k +1

|k2(x)k(x)||||k(x,,k1())k(x,,k())d|

x0k2||kLkM(xx0)kk1M(L|xx0|)£||L|k1()k()|d||L d||x0x0k!L(k2)!xxx于是由数学归纳法可知, 对于所有的正整数k, 有如下估计:

M(Lh)k1 |k1(x)k(x)|||L(k1)!k由等式知级数(3.5) 在x0xx0h上一致收敛，因此序列{n(x)} 也在

x0xx0h上一致收敛.

现在设limn(x)(x)则{n(x)} 在x0xx0h上连续.

n第三步: ϕ (x)是积分方程(3.2) 在x0xx0h上的连续解.由序列{n(x)} 在

x0xx0h一致收敛于ϕ (x)，对(3.3)式取极限，可得:

limn(x)f(x)||limk(x,,nnx0xn1())df(x)||limlimk(x,,nx0nx())d

n1第9页

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即(x)f(x)k(x,,())d,这就是说ϕ (x)是积分方程(2) 在x0xx0h上

x0x的连续解.

第四步: 证明其唯一性.

设φ (x, y)是积分方程(3.2) 在x0xx0h上的连续解, 则可以用第二步的方法证明 φ( x, y) ≡ϕ ( x, y) , x0xx0h

综合以上四步可以得到积分方程解的存在唯一性. 3.2、近似计算和误差估计

我们在数学分析、抽象代数以及数值分析等学科当中已学习过关于近似计算和误差估计的知识. 在本段落中的存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性，并且给出了求方程近似解的一种方法picard 逐次逼近法，对方程的第n 次近似解

0(x)y0n1,2... n(x)：{xn(x)y0f(x,n1(x))dxx0MLnn1它和正真解y =ϕ ( x) 在[x0− h, x0+h]内的误差估计为|n(x)(x)|h.

(n1)!上式可用数学归纳法证明:

x|n(x)(x)|k(,())dM(xx0)Mh,

x0MLn1设|n(x)(x)|(xx0)nhn1.

(n)!这样，我们在进行近似计算的时候，可以根据误差的要求，先取适当的逐次逼近函数n(x).

例4 讨论初值问题{dy1y2dxy(0)0解存在且唯一区间

2解: 对任意给定的正数a,b , 函数均f(x,y)=1+y在矩形区域R = {( x, y) |0£x ≢ a, 0£y ≢ b}内

连续且对y的偏导数连续， 计算Mmax|f(x,y)|1b,hmin{a,(x,y)R2b}. 1b2由于a和b 都可以任意取，我们先取b，使

bb1最大，显然b =1时, + 为22

1b1b2b的最大值，故可取a =1,b =1，此时依定理得到初值问题解存在唯一的区间是 1b211x 22例5 利用picard 迭代法求初值问题{dy2x(1y(x))dxy(0)0x的解.

解: 初值问题等价于积分方程y(x)2x(1y(x))

0其迭代序列分别为

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y0(x)0,y1(x)2xdxx2,0x

2x4y2(x)2x(1x)dxx,02!x2x4x4x62y3(x)2x(1x)dxx,02!2!3!....................................

x2x4x6x2nyn(x)x......,2!3!n!2limyn(x)ex1

n2取极限得limyn(x)ex1即初值问题为ye21.

n2通过以上的定理、推论和例题我们对picard 逐次逼近法做了一定的介绍.这种思想

在各门学科中都有一定的体现. 结束语

综上所述,数值逼近中的极限逼近、二分逼近和逐次逼近在理论上和实践中都有具体的运用,掌握了这些对在数学上的进一步深造和解决生活中的问题都有很大的作用.

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参考文献

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