名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律；用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：
(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段
x，将此
利
或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为直角三角形的三边长用数或含有
x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程
求出x；(4)进行相关计算解决问题．
巧用全等法求折叠中线段的长
1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片，∠
A＝30°，BC＝4 cm，将其折
)
叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为(
(第1题)
8A.3cm
B．23 cm
C．22 cmD．3 cm
巧用对称法求折叠中图形的面积
2．如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
1
(第2题)
巧用方程思想求折叠中线段的长
3．(2015·东莞)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．
(第3题)
巧用折叠探究线段之间的数量关系
4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.
(1)求证：AE＝AF＝EC＝CF；
(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．
(第4题)
2
专训二：利用勾股定理巧求线段的最短问题
名师点金：求最短距离的问题，第一种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决，第二种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，角形利用勾股定理求出最短路程
(距离)．
然后借助直角三
巧用对称法、平移法求平面中的最短问题
1．如图是一段楼梯的示意图，高上铺地毯，那么至少需要(
BC是3 m，斜边AC是5 m．如果在楼梯
)长的地毯．
A．5 mB．6 mC．7 mD．8 m
(第1题)
(第2题)
2．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，则EP＋BP的最短长度是________．
3．如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向镇供水，铺设水管的费用为每千米
AC＝10千A，B两
3万元，请你在河边CD上选择水厂的位置E，
3
使铺设水管的费用最节省，并求出总费用．
(第3题)
巧用展开图法求立体图中的最短问题
4．如图是一个长方体纸盒，它的长，宽，高分别为处有一只壁虎，它发现盒内其对角顶点爬行，求这只壁虎由点
8，4，5，在盒内顶点A
B处有一只苍蝇，于是壁虎沿盒壁向点B
A爬行至点B的最短路程的平方．
(第4题)
5．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．
(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿则它的侧面展开图是一个________．
(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接爬到最短路线吗？
(4)圆锥的母线长(SA)为10，侧面展开图的夹角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．
C处，只能沿圆锥表面爬行，你能画出蜗牛爬行的
AS处剪开，铺在桌面上，
(第5题)
4
答案
专训一1．A
2．解：由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3. ∵△BC′Ｄ与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EB＝ED. 设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x. 在Rt△ABE中，AB＋AE＝BE，∴4＋(8－x)＝x，∴x＝5，
11∴DE＝5，∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.
22
解题策略：解决此题的关键是证得ED＝EB，在Rt△ABE中，BE＝AB＋AE，利用勾股定理列出方程即可求解．
3．(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，
又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(H.L.)．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG，设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，
∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3，∴EG＝3＋x，
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴在Rt△CEG中，3＋(6－x)＝(3＋x)，解得x＝2，∴BG＝2.
4．(1)证明：由题意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD是长方形，故AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF＝EC＝CF.
(2)解：由题意知，AE＝EC＝a，ED＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED＋DC＝CE，即b＋c＝a.
2
2
2
2
2
2
222
专训二1．C2．5BP.
易知BD⊥AC，且BO＝OD，
∴BP＝PD，则BP＋EP＝ED，此时最短．∵AE＝3，AD＝1＋3＝4，由勾股定理得ED＝AE＋AD＝3＋4＝25＝5，∴ED＝5.即EP＋BP的最短长度为5.
2
2
2
2
2
2
点拨：如图，连接BD交AC于O，连接ED与AC交于点P，连接
(第2题)
(第3题)
3．解：如图，作A点关于直线CD的对称点A′，连接BA′，与CD交于点E，则E点即为所求．连接AE，过点A′作A′Ｆ⊥BD交BD的延长线于F.在Rt△A′BF
6
中，A′Ｂ＝A′Ｆ＋BF＝30＋40＝2 500，所以A′Ｂ＝50千米，故当AE＋BE＝A′Ｂ＝50千米时，铺设水管的费用最节省，总费用为①②③三种可能情形，由勾股定理可知
图①中，AB＝(4＋8)＋5＝169；图②中，AB＝(5＋4)＋8＝145；图③中，AB＝(5＋8)＋4＝185. 因为185>169>145，所以最短路程的平方为145.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22222
50×3＝150(万元)．
4．解：将长方体中涉及点A和点B的相邻两个面展成平面图形，应有如图
(第4题)
(第5题) 5．解：(1)圆锥
(2)扇形
2
2
2
(3)如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线．
(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC＝10＋5＝125. 故蜗牛爬行的最短路程的平方为
125.
专训一：勾股定理及其逆定理的应用常见题型
名师点金：勾股定理及其逆定理建立起了“数”与“形”的完美结合，利用这一定理，可以运用代数方法来研究几何问题．中考中涉及本章内容的题目较多，题型有独立知识的填空、选择题等；更多的是将勾股定理及其逆定理作为一种解决问题的手段，综合在其他知识中进行命题．
利用勾股定理求线段长
1．如图所示，在等腰直角三角形的长．
7
ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的
中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF
(第1题)
利用勾股定理求面积
2．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积．
(第2题)
利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状
3．在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状．
利用勾股定理证明线段的相等关系
4．如图所示，AD是△ABC的中线，试说明：AB＋AC＝2(AD＋CD)．
2
2
2
2
8
(第4题)
利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题
(第5题)
5．(中考·青岛)如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
利用勾股定理的逆定理解决实际问题
6．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，们离开港口一小时后，相距方向航行？
A，B两军舰同时离开港口O，
________cm.
4 cm
各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32海里，B舰每小时航行24海里，它
40海里，已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个
(第6题)
9
专训二：利用勾股定理巧用旋转法解几何问题
名师点金：对于条件较分散而题中又含相等的边
(一般是相邻的边)时，常采
用旋转法，将分散条件集中到一个三角形中去，即将含其中的一边的三角形旋转到两个相等的边重合的位置；当旋转角度为解答．
90°时，常结合勾股定理等知识进行
利用旋转构造直角三角形求角度(构造法)
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．
(第1题)
2．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′Ｃ的度数．
(第2题)
10
利用旋转判定三角形的形状
3．如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，且AD＝4，BD＝3，CD＝5.
(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数．
(第3题)
4．如图所示，在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M，N，使∠MCN
＝45°，设AM＝a，MN＝x，BN＝b，判断以x，a，b为边长的三角形的形状．
(第4题)
11
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容