高中数学不等式易错题型与解题技巧

高中数学不等式易错题型与解题技巧

作者：黄丽丹

来源：《中学教学参考·理科版》2018年第11期

[摘 要]《不等式》是高中数学的难点内容之一.研究不等式易错题型及其解法具有现实意义.

[关键词]高中数学；不等式；易错题型；解题技巧

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0018-02

《不等式》是高中数学学习的难点和重点.不等式具有较强的应用性，往往与函数、方程及几何知识结合使用.学生对不等式的知识掌握不够全面，在解题时就可能出现偏差.笔者认为，教师应该对不等式的易错题型进行总结，分析经常出错的原因，整理解题思路，以便提高学生学习的针对性，最终提高解题效率. 一、“线性规划”易错题型与解题技巧

在不等式易错题型中，“线性规划”是非常典型的题型.一般而言，不等式和线性规划组合型的题目主要是计算最大值或者最小值.从解题思路上来看，要先进行不等式定义域或者相关面积的确定，接着按照要求进行解答.在这个过程中，要充分利用线性规划和不等式之间的性质关系.

[例1]已知a>0，x≥1，x+y≤3，y≥a（x-3），假如t=2x+y，其最小值为1，根据已知条件求a具体数值的大小.

分析：在求解这道题目时，很多学生在求取三条直线构建三角形面积时容易出现错误.这道题目是典型的变式题，在求解的过程中需要根据已知条件，利用直线位置来进行解答. 解题技巧：根据已知条件t=2x+y，假如目标函数经过区域中的一点M，这种情况下不等式最小值为1，我们可以计算出M点的坐标，即（1，-2a）.接着，将这个坐标代入目标函数，等式关系为1=2-2a，求解一元一次方程得a的值是0.5.

在线性规划和不等式组合的题目中，要把握好函数的最值，充分利用已知条件确定不等式的可行域范围，从而得出正确答案.在这个题目中，由于a>0，函数 y=a（x-3）只能在第一和第三象限，三角形可行域的范围可以通过分析和计算获得，a的求解就比较容易了. 二、“高次不等式”类型题的易错题型与解题技巧

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高次不等式的解题方法主要有列表法、穿针引线法和不等式组法等.一般情况下，高次不等式中区域容易出现错误，尤其是一些特殊区域或者固定的点.从经常出错的情况来看，学生往往忽略题目中的隐性条件，对解集区域模糊不清，在运用穿针引线的方法时，对函数升降规律把握不好.

[例2]已知高次不等式 （m-1）（m-2）（m-3）>0，根据已知条件求解集.

分析：认真分析题目中的条件，我们可以发现，这类题目需要确定出不等式的根.首先，我们可以画出不等式根的草图.在这个题目中，应分别在数轴中对不等式的四个区间进行确定，在数轴中对解集大于零和小于零的区域进行详细的标注.根据已知条件可知，主要分为13两个区间.在这种情况下，高次不等式的解集求法就变得相对容易了.

解题技巧：高次不等式的解答一定要借助图形，不少学生单从表面上去分析已知条件，在很多时候起不到什么效果，在画图的过程中思路就慢慢清晰了.应当注意的是，在解集求出以后，要对解集的临界点进行判定，确保解集的准确性，避免小的错误造成失分. 三、“绝对值”类型题的解答分析

含有绝对值的不等式的解题思路是观察原式，通过变形或者是去括号的方法，将原式转换为低次的不等式或者是不等式组进行求解.如果一个不等式或者是不等式组当中含有多个绝对值，可以采用零点分段法对原不等式进行解答.如果在不等式或者不等式组的解答过程当中有最值问题，可以利用绝对值三角不等式进行求解.在解答绝对值类型的不等式问题时，最重要的一个技巧就是根据题干的实际情况，运用合适的解题方法将不等式中的绝对值符号或者是绝对值式子进行转化.

四、“基础不等式”易错题型与解题技巧

基础不等式是a2 + b2 ≥2ab.这个基础不等式还可以变化，比如根据这个不等式可以推导出（a+b）/2≥ [ab].这个不等式需要一定的条件，即a>0，b>0，当a=b时，等号成立.当题目中给出 a、b 的积是一定时其取得的和最小，当题目中 a、b 的和是一定时取得的积最大. [例3]当m>2时，求[m+3m-2]的最小值.

分析：在解答这类题目时，我们可以将不等式变形，[m-2+3m-2+2]≥2[3]+2.根据基本公式我们可知，当[m-2=3m-2]时等式成立.这时我们可以求出m的值.因此[m+3m-2]的最小值为2[3]+2，此时m=2+[3].

五、“含参数不等式”解题技巧

在解答含参数不等式时，要对不等式中的参数进行分析，根据参数范围，利用数学思维进行相关的讨论，确保解题时不遗漏各种取值的可能性.

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[例4]已知关于x的不等式mx-n>0，求不等式的解集. 分析：对参数进行分析，主要有m>0、m=0和mn. 当m>0时，x>[nm]； 当m=0时，n

（如果n≥0，则原不等式的解集为空集，n 当m

根据以上的分析，可以顺利求出不等式的解集. 六、“等价代换”类型题解题技巧

[例5]已知适合不等式[x2-4x+p+x-3≤5]的x的最大值为3，求p的值.

分析：在这个不等式中，很多学生不会运用等价代换的方法，对题目中“x 的最大值为 3”这句话理解不透彻.因为 x 的最大值为 3，故 x-3 < 0，原不等式等价于[x2-4x+p+（3-x）≤5]，可以转化为

-x-2≤x2-4x+p≤x+2.

那么，x2-5x+p-2≤0或者x2-3x+p+2≥0，对这两个式子求解可以求出x1，x2 .设上式中的根分别为 x1、x2 （x 2>x1），x3、x4 （x4>x3 ），则 x2= 3 或 x4= 3. 若x2 = 3，则 9-15 + p-2 =0，p =8； 若x4 = 3，则 9-9 + p +2 =0，p =-2；

当p=-2 时，原方程组无解，检验得p=8符合题意，则 p =8. 七、“不等式恒成立问题”解题技巧

不等式恒成立问题往往与数列或抽象函数相结合.

[例6]设函数 f（x） = ln（1 + x），g（x） = xf '（x），x ≥ 0，其中 f '（x） 是f（x） 的导函数.

（Ⅰ） 令 g1 （x） = g（x），gn+1 （x） = g（gn （x）），n ∈ N+，求 gn （x）的表达式；

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（Ⅱ） 若 f（x） ≥ ag（x） 恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ） 设 n∈N + ，比较 g（1） + g（2） + … + g（n） 与 n-f（n） 的大小，并加以证明. 该题的考点是结合不等式、函数导数求闭区间上函数的最值并研究函数的单调性. 总而言之，在学习高中数学不等式的过程中，学生要注重同类题型的归纳总结，分析常用的解题方法，不断提升自身的解题能力. （责任编辑 黄桂坚）