谈立体几何教学中对高中生空间想象能力的培养

谈立体几何教学中对高中生空间想象能力的培养

作者：王光灿

来源：《中国校外教育·基教（中旬）》2013年第10期

通过借助实物模型进行直观教学；加强识图与画图的训练；重视三种语言的互译，培养空间问题的表述能力；加强数学空间想象的训练这五个方面来培养高中生的空间想象能力。 空间想象能力空间观念想象观察《普通高中数学课程标准》要求学生采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及性质。立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步建立初步的空间想象能力。空间想象力是新课程目标和高考考试大纲要求的七大能力之一，它主要是对空间形式的观察、分析、和抽象的能力，主要要求有：根据条件做出正确的图形、根据图形想象出立体形象、图形中有那些基本元素以及他们之间的关系能准确的观察出来、能分解组合图形、会运用各种手段（如图形、图表等）直观的解释图形的本质。 “只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化……几何想象，或如同人们所说的几何直觉”。著名的数学家柯尔莫哥洛夫说，“对于几乎所有的数学分科的研究工作，甚至对于最抽象的工作有着重大意义”。可见空间想象能力的重要性。那么在立体几何教学中培养学生的空间想象能力，有哪些途径呢？ 一、借助实物模型进行直观教学

实物模型并不仅仅指教学所用三角板、直尺、正方体、长方体、四棱锥等几何教具，还有更普遍、更常见、每个学生都有的课本、桌面、手掌（代表平面）；手指、天花板上的日光灯管、笔（代表直线）；翻开的课本、打开的门与墙壁（代表二面角）、教室的一个墙角（代表两两互相垂直的三个平面或者三条相交于一点两两互相垂直的直线）、粉笔盒（代表长方体）等。在解题过程中如果运用这些现成的模型，就会使得图形更加的直观，问题更加的容易解决。

例如，二面角α-l-β的大小为θ，二面角α1-l1-β1的大小为θ1，其中α⊥α1，β⊥β1，问：θ与θ1的大小关系？

此题作图较难。满足条件的图形是可以画几个出来，但是它只是其中的某几个位置，是不会运动的，要画出各种情形的图形，很浪费时间，且各种位置的图形也比较难画。因此接下来学生只能想象了，这就有比较大的难度。我的做法是，这道题只要用两本翻开的课本按条件摆放几下，就可以很快观察出结论。通过学生亲自动手演示实验就会使其深刻的体会到用这种现

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

成的模型解答这一类题目非常的形象、直观，而且还提升了学生学习立体几何的信心和兴趣，也会使得他们的空间想象力得到更快提高。

再如，设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n//α，则m⊥n ②若α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m//α，nα，则m//n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β 其中正确命题的序号是（ ）.

A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④

这一道题如果学生去画图，既费时，又难画。这一道题目如果学生以“手指、笔、尺等（代表直线），课本、手掌、桌面等（代表平面）”，演示、比划一下，就可以马上找到答案。这就非常形象、直观，且提高学生学习立体几何的兴趣，培养了他们的空间想象能力。 通过“借助实物模型进行直观教学”这一环节的教学，可以使学生的空间形式、空间观念直观形象化。日积月累，逐渐的学生就能够做到离开实物模型也可以进行空间形式的思考，使得学生的空间形式的更进一步的具体化、形象化，然后慢慢的形成空间观念。所以这一步骤的教学训练了学生的形象思维、联想思维等，对于培养学生空间想象能力的效果是非常明显的。 二、加强识图与画图等的训练

直观图是发展学生空间想象能力的关键，是学生立体思维的对象，对于初学立体几何者来讲，如何把自己想象中的图形体现在平面上，这是最困难的问题之一了。所谓空间想象力差，其实就是画出来的图形不富有立体感，不能表达出图形中各部分的位置关系和度量关系。因此，在立体几何的初始阶段，应多利用线、面、体等实物模型以及对直观图的多角度的观察、比较、对照、想象、识别，直至学生能够迅速的看得懂图，想得出形（体），发展学生的空间想象能力。 1.识图

无论是展示给学生看直观图，还是引导学生自己看，都应从简单的几何体直观图开始，再到复杂的几何体直观图，最后到组合几何体的直观图，例如可以引导学生看下面这一组几何体的直观图。在看图时，同时提醒学生，由图想面，由面想体，形成“一图为一体”的观念，这样学生思维中储存的立体信息越多，使用时提取的立体形象越多，空间想象力就越强。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

通过“识图”这一环节的教学，学生就可以把实物模型与直观图更好的联系起来，这样学生头脑中这样的“旧表象”数量越多，再造想象就越丰富，形象思维、创造性思维就能更好的得到训练，从而使学生的空间想象能力得到更好的提高。 2.画图

空间观念是形象思维与逻辑思维交替作用的思维过程，表达这种思维的最好语言就是几何语言（几何图形），对一般的高中生来讲，把空间几何体画在平面上是比较困难的。教师应按照作图法则，做出示范，使学生掌握作图法则和要领。同时作图训练应该由易到难，循序渐进，先训练平面图形的直观图，再做空间几何体的直观图、三视图、展开图。画好后，引导学生将图形与实物模型对比。要求学生不仅会画，而且还要画出很强的立体感。 例如，正方体的直观图如右下图所示，则其展开图是（D）.

再如，老师在讲台桌上放着一个如下图所示的圆柱形茶杯（画图时，忽略茶杯的柄。尺寸学生自定），要求学生画出它的直观图、三视图以及展开图。

通过“画图”这一环节的教学，让学生亲自动手实践、亲身体验，即用几何语言（几何图形）表达出来，培养了学生空间想象能力，同时也加强了他们对空间世界的认知。 3.分解、组合以及度量等

对于一些复杂的图形，他是由基本图形分解、交错、组合、叠加而成的。此时基本元素之间的关系就比较抽象难以观察。对于这种情况教师经常是用彩色粉笔从中描出需要的几何对象或者用多媒体处理效果也很好。其实更好的办法是对图形进行分解和组合，这更有利于学生空间想象能力的培养。对图形进行分解、组合训练的形式有：图形的旋转、将图形对称变换、图形的平移、割补立体图形、将立体图形的侧面或表面展开、将平面图形翻折成立体图形等。 例如，一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的表面积为：

A.24πcm2B.（24+83）cm2C.143cm2D.183cm2

再如，离开模型和图形）试想象正方体ABCD-A1B1C1D1中： ①在各棱所在的直线中，与棱AB所在的直线平行的直线有哪些？ ②在各棱所在的直线中，与棱AB所在的直线相交的直线有哪些？ ③、各棱所在的直线中，与棱AB所在的直线异面的直线有哪些？

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

④在各棱所在的直线中，与棱AB所在的直线垂直的直线有哪些？ ⑤在各棱所在的直线中，哪两条直线关于直线AB对称？

⑥在各棱所在的直线中，直线AB绕直线CD旋转90°后与那一条直线重合？

通过“分解、组合以及度量等”这一环节的教学，使得学生对于平面图形、实物、直观图、三视图之间联系与区别有了更深刻的理解。这使得学生对复杂的空间几何体的认识有着质的飞跃，从而培养了学生的形象思维、创造性思维、抽象思维等，进一步提高了学生的运算能力、空间想象能力。

三、重视三种语言的互译，培养空间问题的表述能力

数学中的空间想象力与一般的想象力既有区别又有联系。文字语言、图形语言、符号语言是数学中的三种基本语言，培养和发展学生运用这三种语言进行交流是高中新课程数学必修系列的基本要求。教学中，要注意获得文字语言的自然性，培养图形语言的不可替代性及符号语言的准确性。

例如，一张展开的平整的纸（代表平面）上斜插着一支笔（代表直线）。要求学生画出图形并且分别用符号语言、文字语言来叙述。 符号语言：直线a∩平面α=A。

文字语言叙述：直线a与平面α相交于A点。 画图如下（左）：

再如，证明：三个两两垂直的平面的交线也互相垂直（要求写出已知、求证并画出图形）。

画图如上（右）。

已知：平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD⊥CDD1C1，平面ADD1A1⊥CDD1C1 平面ABCD∩平面ADD1A1=直线AD，平面ABCD∩CDD1C1=直线CD，平面ADD1A1∩CDD1C1=直线DD1。

求证：AD⊥CD，CD⊥DD1，AD⊥DD1.

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

通过这一环节的教学，可以有效地解决学生对这一块知识学习的难点：“数学符号多且抽象，准确的语言表达、立体感强的图形语言”。还训练了学生的直观形象思维、抽象逻辑思维、联想思维等，提高了学生的语言表达能力、空间想象能力等。 四、加强数学空间想象的训练

1.适当的运用多媒体等现代化信息技术工具的演示

在平面上绘出立体图形，具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成垂直、正方体的每一面不能都画成正方形等，这样就给学生认识立体图形增加了困难。应用多媒体辅助教学演示生动、形象的立体图形，是学生通过对直观图形的观察，充分利用计算机绘图功能的优越性，从多方位、多角度、多侧面描绘图形，解决平面立体图形和真实立体图形的差异。这样不仅可以帮助学生理解和接受立体几何的知识，还可以充分的发挥学生的想象力和造创力。 例如，为了让学生理解二面角的定义，可做如下的演示（如图1），当A点绕着棱逆时针运动时，A点所在的半平面也随之转动，即二面角的大小也在变化。利用多媒体显示出图形的运动变化对学生建立空间观念和提升空间想象力是很有帮助的。

再如，在讲椎体时，多媒体演示将如图2所示的三棱柱分割成三个三棱锥，且他们的体积都相等。这样的过程可以使学生非常直观的观察出变化的整个过程，从中还可以学到用分割几何体的方法解决问题。

“直观感”“立体感”“动态感”等方面在传统教学中表现的不足，老师这时候就可以通过计算机、多媒体、网络等现代化信息技术工具向学生展示精彩纷呈的图形世界。这有利于学生扩大视野，更好的建立空间概念，训练了学生的联想思维、形象思维等，提高了学生学习立体几何的兴趣和空间想象能力。 2.培养动手操作能力

将平面图形折叠成空间几何体；将空间几何体的表面展开；将空间几何体进行割补；在复杂的图形中寻找基本元素的关系等，这些都是培养学生动手操作能力的很好的方法。 例如：如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D，C分别为EF，AF上的点，且ED=CF，现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图（2）的图形，再将△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD折起，使E，F，A三点重合于点A′。（1）求证：BA′⊥CD；（2）求四面体B-A′CD体积的最大值。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

通过这一环节的教学，可以让学生体验在亲自动手操作后带来的喜悦感、成就感等，同时也培养了学生的动手操作能力、运算能力、数学语言与符号的表达能力、逻辑推理能力和判断能力、空间想象能力等。

经过笔者的尝试，通过以上这些方式、方法的训练，教学效果是非常明显的。当然空间想象能力的培养不是一朝一夕的事，它是一个渐进的过程，贯穿整个高中的学习与教学。教学中要借助生活中大量的感性材料，借助多媒体技术，引导学生运用图形的特征去想象，强调学生的动手操作和主动参与，使学生在对大量图形的观察、操作、试验、想象、交流等活动中，认识空间几何体，逐步提高空间想象能力。 参考文献：

＼[1＼]宋守军.浅析数学教学中空间想象能力的培养.中国科教创新导刊，2009. ＼[2＼]梁庆.重点高中数学学习的性别差异研究.上海师范大学.2010. ＼[3＼]李娜.浅析高中学生的空间想象能力的培养.教育界，2012. ＼[4＼]陈宝福.几何画板促进学习实践的研究.南京师范大学.2008.