维普资讯 http://www.cqvip.com 第３卷第３期 ２００２年６月 解放军理工大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ＰＩ Ａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖｏ１．３ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２００２ 文章编号：１００９—３４４３（２００２）０３—００６４—０３ 装配式桥梁模态综合法的误差研究 张 军， 江克斌， 胡业平 ’ 朱光远 （解放军理工大学工程兵工程学院．江苏南京２１０００７） 摘 要：模态综合法应用于装配式桥梁结构振动分析的主要问题，是在将子结构坐标缩聚为模态广义坐标 的过程中，如何选取适当数目的低阶模态来参与综合。在动力学原理的基础上对装配式桥梁约束模态综合法 的误差进行了分析，发现综合模态数量对频率的误差比较敏感，而对模态的误差不太敏感。理论误差分析的 公式可以作为子结构综合模态数的选取准则。 关键词：误差分析；模态综合法；子结构；装配式桥梁 中图分类号：Ｕ４４１．７ 文献标识码：Ａ Ｅｒｒｏｒ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ Ｍｏｄｅ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｐｒｅｆａｂｒｉｃａｔｅｄ Ｂｒｉｄｇｅ ＺＨＡＮＧ Ｊｕｎ， ＪＩＡＮＧ Ｋｅ—ｂｉｎ， Ｈ Ｙｅ—ｐｉｎｇ， ＺＨＵ Ｇｕａｎｇ—ｙｕａｎ （Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｒｐｓ．ＰＬＡ Ｕｎｉｖ、ｏｆ Ｓｅｉ、＆Ｔｅｅｈ．，Ｎａｎｊｉｎｇ ２ １ ０００７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ，ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｐｒｅｆａｂｒｉｃａｔｅｄ ｂｒｉｄｇｅｓ，ｉｓ ｈｏｗ ｔｏ ｓｅｌｅｃｔ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｌｏｗ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｍｏｄｅｓ ｓｙｎｔｈｅｓｉｚｅｄ ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｕｒｓｅ ｔｈａｔ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｒｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｄｉｓ— ｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｓ．Ｔｈｅ ｅｒｒｏｒｓ ｏｆ ｍｏｄｅ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｐｒｅｆａｂｒｉｃａｔｅｄ ｂｒｉｄｇｅｓ ａｒｅ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｋｉｎｅｔｉｃ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ，ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｍｏｄｅｓ ｓｙｎｔｈｅ— ｓｉｚｅｄ ｉｓ ｍｏｒｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ｔｏ ｅｒｒｏｒｓ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｔｈａｎ ｔｏ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒｓ ｏｆ ｍｏｄｅ．Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｅｒｒｏｒ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ａｓ ｇｕｉｄｅｌｉｎｅ ｔｏ ｓｅｌｅｃｔ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｍｏｄｅｓ ｓｙｎｔｈｅｓｉｚｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｒｒｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｍｏｄｅ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ；ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；ｐｒｅｆａｂｒｉｃａｔｅｄ ｂｒｉｄｇｅ 由于装配式桥梁的拼装单元是通过连接件拼装 而成的空间结构，从实际结构的几何形状和装配关 系上看，其结构振动分析可采用模态综合法Ｌｌ ｊ。文 是用各子结构的低阶主模态集，来构造近似程度较 高的Ｒｉｔｚ向量。这组模态集的数目远小于原结构的 自由度数，且构成的子空间逼近于原结构的低阶模 态所在的子空间。于是，通过Ｒａｙｌｅｉｇｈ—Ｒｉｔｚ分析（即 献Ｅ３３将约束模态综合法应用于装配式桥梁的振动 分析，完成了把拼装单元的振动分析扩展到桥梁结 构整体的振动分析中。 模态综合法的理论基础ｕ 是Ｒａｙｌｅｉｇｈ—Ｒｉｔｚ法。 Ｒａｙｌｅｉｇｈ—Ｒｉｔｚ法的基本思想认为ｎ维系统被约束 得只能在， 个模态集的组合下进行振动（ ＞， ），即 把一个有 自由度的系统凝缩为， 维子空间来求 解。这种方法的最大优越性在于求解近似特征对（特 坐标变换）就能得到一个低阶的总体动力方程。在构 造Ｒｉｔｚ向量基时，如何选取参加综合的子结构低阶 主模态数（即子结构综合模态数）才能满足一定的精 度要求的问题，对模态综合法来说是非常重要的。如 果利用模态综合法计算结构振动的特性误差比较 大，例如频率计算得不准，势必对桥梁结构的共振估 计不准，可能会带来很大的危险性。鉴于此，本文从 动力学的角度来分析其误差。 征频率和特征模态）时降低方程阶数。模态综合法正 收稿日期；２ｏｏｌ一０７—２０． 作者简介：张军（１９７７一），男．博士生 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 张 军，等：装配式桥梁模态综合法的误差研究 ６５ ｌ基于动力学原理的误差分析 Ｗａｒｂｕｒｔｏｎ Ｇ．Ｂ．在分析结构振动时，利用约束 子结构的完备主模态集 以相关联的主坐标ｕ来 “一表达子结构的内位移Ｕ ，于是有等价变换 ： ｆ【 ０≥ 。０ １曩Ｕ，Ｒ １．Ｊ 一 －． －－ －（ｌ ＨＲ ］ｃＪ ２ ㈤ 一ｚ ＵＲ』 Ｕ１Ｒ』 （１） 、 Ｉ０ ０ Ｉ Ｚ—ｌ ０ Ｉｌ ０ Ｉ ｌ ０ ０， Ｊ 把式（１）代入文献［３］的子结构无阻尼方程： Ｉ（ ｍ ｍＲＩ． 兰ＲＩ ｍ兰Ｒ １ｊ（【 ；ｕ Ｒ］Ｊ ＋ ｌ【 足ｋ ≥ｌ１． 足ｋ 三１ｌ－ 七ｋ Ｕ：薹Ｒｌ ］Ｊ ｌ［ｌＩ Ｕ“：Ｉ ］Ｊｌ 一—【ｌＩ ０至， ］Ｊｌ （２） 由此解出： Ｐｌ—Ｄ（Ａ）Ａ￣ｕＩ．＋Ｄ（ ）Ａ “Ｒ 取第二行，且对质量归一的 易导出约束主坐标ｕ Ｄ（ ）一ｄｉａｇ（ｙ，） 的支配方程： Ｌ，＋ Ｌ，一ｇ （３） ／（１一 ／１，２）（１５ ＡＩ 一ｍｌＪ１ ｌｌ—ｋＩＪｌ ｌＩ 其中，对接激励ｇ起源于子结构内坐标Ｕ－和对接坐 ＡＲ—ｍＲｌ ｌｌ—ｋＲｌ Ｉｌｒ 标ＵｈＵ 的静态、动态耦合： ｇ一一 （足ｌＩ．ＵＩ＋，，ｌｌＩＪ Ｉ ）一 （足ｌＲＵＲ＋ｍｌＲｕ”Ｒ） 其中，频变矩阵Ｄ（ ）是一种广义的动力放大矩阵， ．（４） 其对角元是第Ｊ阶动力过调户 的“放大”因子。 当完整系统处于频率 的谐振态时： 对ｙ 作幂级数展开得： ｕ＝ ，ＵＩ＝—ｕｌ ｅ ，ｕＲ＝Ｕ—．Ｒｅ （５） ｙ 一（ ）。＋ ） （１ ６） 把（５）代入式（４）和式（３）得： 当 ／ 一０时，ｙ 一０。若以 （ 一１，２，…，ｆ）表 （Ｑ一 Ｊ） 一一 （足ｌＩ＿一 ｍＩＩ．） ＩＪ一 示有待综合的系统之前ｆ阶主频率，则一定可取得 （足ｌＲ— ，，ｌｌＲ） Ｒ （６） ｋ，使得当ｈ＞ｋ时，下述频比不等式成立： 式（６）精确给出子结构内自由度的位移与对接 （ ／ｃＵ＾） ≤￡ （１７） 自由度的位移之间的动力依赖关系。当 一０时，式 以及 （６）退化为静态关系： ｌ户 ｌ≤ＪＤｌ １Ｌ， 一一 （足ｌＩ｜一Ｕ【｜＋ｋｍｕ—Ｒ） （７） 以及 ．ｏ一 ｛ 一 ｌ＋ Ｕ 一 ｌｌＬ， 一一 Ｉ１ （足【Ｉ｜Ｕ１．＋ｋｌＲＵＲ）（８） 一 因为，七 一 ｌｌ 和ＣｌＩ．一一足 ｋＩＩ．以及 Ｉ） （１８） ＣｌＲ一一足 ｋｌＲ，所以： 对于规范了的对接界面模态和完整系统的主模 Ｈ 一 ｌＩＬ， ＝Ｃｌ【．Ｕｌ｜＋ＣｌＲｕＲ （９） 态，可以明显看出有限常数ＪＤ的存在性。故对于充分 式（９）中ＣｌＩ．和Ｃ 正是所考虑子结构在左、右对接 小的误差ｅ＞０，可使得户 相对于ｕ“”（ ≤ｆ，ｈ＞走） 坐标集Ｉ 、Ｒ上的固定对接模态。由模态加速度法，式 足够小。这样在综合结构系统的前ｔ阶固有模态时， （６）所确立的约束子结构主坐标的响应可写为： 可以丢弃各个约束子结构高阶主模态９㈨（＾＞走）中 Ｌ，一Ｌ， ＋ＰＩ （１０） 来自动力过调户 的那部分贡献。 维普资讯 http://www.cqvip.com 解放军理工大学学报（自然科学版） 第３卷 ２数值分析及算例 对文献Ｅ３］中的２１ ｎｌ单层单排桁架的装配式 公路钢桥的约束模态综合分析，本文列举了子结构 参加综合的模态数（即子结构综合模态数）和频率误 差的结果，如表ｌ和表２所示。 表１第一阶频率误差 Ｔａｂ．１ Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｒｒｏｒｓ 从频率误差表可以看出，随着子结构参加综合 的模态数的增多，频率误差逐渐减小。并且对于同一 ３ 结 论 本文从理论与数值两个方面对装配式桥梁模态 综合法的误差进行了一定的分析与研究。结果表明： 子结构综合模态数而言，随着频率阶数的增加，其误 差亦增大。对于文献［３１中的２１ ｎｌ单层单排桁架的 装配式公路钢桥，当子结构参加模态综合的模态数 ①模态综合法所截除的是子结构弹性模态部分的高 阶动力过调；③子结构综合模态数对频率的影响比 对模态的影响更加敏感；⑧基于动力学原理误差分 析中的公式（１７）可以作为装配式桥梁模态综合分析 中子结构综合模态数的选取准则。 参考文献 ［１］ ＨＵＲＴＹ Ｗ Ｃ．Ｄｙｎａｍｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ 是一９时，基本上达到了要求，因此文献［３１取是一９。 对于不同的子结构综合模态数，该桥下弦杆的 模态之间的对比如图１和图２所示。 图１第一阶模态图 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｍｏｄｅ ｓｈａｐｅｓ ｕｓｉｎｇ ｃｏｍｔｏｎｅｎｔ ｍｏｄｅｓ ＥＪ］．ＡＩＡＡ Ｊｏｒｕｎａｌ，１ ９６５。３ （４）：６７８－６８５． Ｅ２３ ＣＲＡＩＧ Ｒ Ｒ，ＢＡＭＰＴＯＭ Ｍ Ｃ Ｃ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｓｕｂ— ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｆｏｒ ｄｙｎａｍｉｃ ａｎａｌｙｓｅｓ ＥＪ］．ＡＩＡＡ Ｊｏｕｒｎａｌ。 １９６８，６（７）：１ ３１３—１ ３１９． ［３］江克斌．张军，胡业平．装配式桥梁振动分析的约束模 态综合法［Ｊ］．解放军理工大学学报（自然科学版）． Ｌ｜ｍ ２０００。１（２）：６３—６６． 图２第二阶模态图 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｍｏｄｅ ｓｈａｐｅｓ ［４］王永岩．动态子结构方法理论及应用ＥＭ］．北京：科学 出版社．１９９９． 从模态形状图（图１和图２）可以看出，模态形 状的影响基本上不大，不象频率那么明显，因此对于 桥梁结构整体的模态形状而言，可以不考虑子结构 综合模态数的影响。 ［５３王文亮．杜作润．结构振动与动态子结构方法ＥＭ］．上 海：复旦大学出版社．１９８５． （责任编辑：熊 云，汤雪峰）