2021-2022学年重庆八中九年级(上)期中数学试卷(含答案解析)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．3的倒数是（ ） A．3

1B．

31C．

3D．3

2．计算(x2)3的结果（ ） A．x6

B．x5

C．x6

D．x5

3．已知x2有意义，则x的取值范围是（ ） A．x≥﹣2

B．x≠﹣2

C．x＞﹣2

D．x≥2

4．计算18﹣2的结果是（ ） A．﹣2 B．32 C．22 D．﹣22

5．抛物线y＝(x1)2+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ） A．（0，2）

B．（2，2）

C．（﹣1，1）

D．（1，1）

6．如图，△ABC内接于△O，AD是△O的直径，若△C=63º，则△DAB等于（ ）

A．27 º B．31.5 º C．37 º D．63 º

7．如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）

A．CBCD C．BCADCA

B．BACDAC D．BD90

8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A

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（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）

A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1

9．甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度y（单位m）与气球上升的时间x（单位min）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ）

A．甲气球上升过程中y与x的函数关系为：y＝2x+5 B．10min时，甲气球在乙气球上方

C．两气球高度差为15m时，上升时间为50min D．上升60min时，乙气球距离地面高度为40m

10．如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（ ）（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

A．136米 B．142米 C．148米

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D．87米

11．若关于x的分式方程

2axx+1＝有整数解，且关于y的不等式组

x2x22(y1)a15y恰有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） 2y10A．0

B．24

C．﹣72

D．12

k（x＞0）图x12．如图，直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y象交于点C．点D为x轴上一点（点D在点A右侧），连接BD，以BA，BD为边作平行四边形ABDE，E点刚好在反比例函数图象上，连接EC，DC，若S△EAC＝2AD2，则k的值为（ ）

1

A．2 二、填空题

5B．

2C．3

7D．

213．计算：|2|(3)0=______．

14．中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》10月20日发布，规划纲要提出，成渝地区双城经济圈规划范围总面积为185000平方公里．数据185000用科学记数法表示为_______．

15．在桌面上放有四张完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字﹣2，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之和为正数的概率是_________．

16．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中DE,EF,FG,GH，…依次连接，它们的圆心依次按A、B、C、D循环．当AB＝1时，曲线

DEFGH的长度是_____．

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17．如图，平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在BC边上，连接DF．若AB＝6，△DAB＝120°，sin△ACB＝

3，则点A到直线DF的距离为________． 5

18．某校去年租借了三架无人机A，B，C用于体育节航拍，无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无1人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平

44均速度为去年的．A，C两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B飞行总路程减少．无

3人机C增加的路程是无人机A增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，则今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为________． 三、解答题 19．计算：

（1）（a+b）2﹣a（a+2b）； x24x24（2）（﹣2）．

2x2x20．近日，教育部印发通知，决定实施青少年急救教育行动计划，开展全国学校急救教育试点工作．某校为普及急救知识，进行了相关知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20

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名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四个等级：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息．

七年级20名学生的竞赛成绩是：62，68，75，80，82，85，86，88，89，90，90，95，96，98，99，99，99，99，100，100．

八年级20名学生的竞赛成绩中C等级包含的所有数据为：82，84，85，86，88，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级 平均数 中位数 众数

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：上述图表中a＝ ，b＝ c＝ ；

（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）该校七、八年级共2000名学生参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩为D等级的学生人数是多少？

七年级 89 90 c 八年级 89 b 100

21．如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，过点B作BE△AC于点E．

（1）用尺规完成基本作图：作△ABE的角平分线交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，猜想△CFB和△CBF的数量关系，并证明你的结论．

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22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研x23究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过

3|x|1程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；

﹣x … 5 ﹣4 ﹣3 ﹣﹣1 2 1﹣17 2 3 0 1 2 3 4 5 … y＝… x233|x|1

118 1 35 1 … （2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；

x2337（3）已知函数yx的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式

3|x|15537x的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 55

23．重庆新晋打卡地渝中区十八梯于今年9月30日开街，十八梯重建之后保留了很多原址，在此基础上还打造了民国风文化街．小明在十八梯开店卖纪念品，国庆节期间生意火爆，10月7日商店共卖出180件纪念品A和60件纪念品B，销售额为11100元，已知纪

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念品A的销售单价比纪念品B的销售单价高15元． （1）A，B两种纪念品的销售单价分别是多少元？

（2）随着国庆节的结束，游客大量减少，小明决定降价销售纪念品．纪念品A的销售单5价在10月7日的基础上降低a%（其中a＞0），销量减少a%；纪念品B的销售单价在10

47月7日的基础上降低5元，销量减少a%，降价后纪念品A的销售额是纪念品B销售额的

45倍，求a的值．

24．对于任意一个四位数m，将前两位所得两位数记为m1，后两位所得两位数记为m2，其中，这个四位数的千位数字与十位数字不能为0，记F（m）＝被4整除，称这样的四位数是“航天数”．

|m1m2|，若F（m）能9|1248|＝4，4能被4整除，△1248是“航天数”． 95142又如△F（5142）＝＝1，1不能被4整除，△5142不是“航天数”．

9例如△F（1248）＝

（1）判断2799，8062是否是“航天数”？并说明理由；

（2）若一个航天数m，千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同．将前两位所得两位数m1，中间插入数字c（1≤c≤9，c为整数），得新三位数n，则三位数n比m1大180，求满足条件的所有航天数．

525．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（，0），直

2线y＝x+2与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG△CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）当2PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和2PG+PQ的最大值； （3）将抛物线向右平移

113个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是4平面内一点．当（2）中2PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．

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26．在ABC中，CACB，CACB，点D是射线AC上一动点，连接BD，将BD绕点

D逆时针旋转90得ED，连接CE．

(1)如图1，当点D在线段AC上时，若DE10，BC3，求ABD的周长；

(2)如图2，点D在AC延长线上，作点C关于AB边的对称点F，连接FE，FD，将FD绕点D顺时针旋转90得GD，连接AG，求证：AGCE；

(3)如图3，点D在AC延长线上运动过程中，延长EC交AG于H，当BH最大时，直接写出

CD的值． AB试卷第8页，共8页

参考答案：

1．C 【解析】 【分析】

由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】

11△31，△3的倒数是.

33故选C 2．A 【解析】 【分析】

利用幂的乘方计算即可求解． 【详解】

解：(x2)3x23x6． 故选：A． 【点睛】

本题考查了幂的乘方，掌握（am）n＝amn是解决本题的关键． 3．A 【解析】 【分析】

根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】 解：由题意，得： x+2≥0， 解得x≥﹣2， 故选：A． 【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 4．C

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【解析】 【分析】

直接化简二次根式，再利用二次根式的减法运算法则计算得出答案． 【详解】

解：原式＝32﹣2 ＝22． 故选：C． 【点睛】

本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，熟练掌握化简和计算的方法是解题的关键． 5．D 【解析】 【分析】

根据平移的规律即可得到平移后所得新的抛物线的顶点坐标． 【详解】

解：抛物线y＝(x1)2+2的顶点坐标是（1，2），将该顶点向下平移1个单位长度所得的顶点坐标是（1，1）． 故选：D． 【点睛】

本题考查了抛物线的平移问题，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 6．A 【解析】 【分析】

根据直径所对的圆周角是直角可得ABD90，根据同弧所对的圆周角相等可得△D=63º，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】

解：△AD是△O的直径， △ABD90， △△C=63º，

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△△D=63º，

△DAB90D27， 故选：A． 【点睛】

本题考查圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 7．C 【解析】 【分析】

根据三角形全等的判定方法求解即可． 【详解】

解：A、△CBCD，ABAD，ACAC， △△ABC≌△ADCSSS，选项不符合题意； B、△ABAD，BACDAC，ACAC， △△ABC≌△ADCSAS，选项不符合题意； C、△由BCADCA，ABAD，ACAC， △无法判定△ABC≌△ADC，选项符合题意； D、△BD90，ABAD，ACAC， △△ABC≌△ADCHL，选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】

此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)． 8．D 【解析】 【分析】

直接利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而得出面积比． 【详解】

解：△△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，A（﹣6，4），C（3，﹣2），

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△△OAB与△OCD的位似比为：6：3＝2：1， 则△OAB与△OCD的面积之比为：22：1＝4：1． 故选：D． 【点睛】

本题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键． 9．C 【解析】 【分析】

选项A利用待定系数法解答即可；通过观察图象可判断选项B；分别求出两个气球的速度，再列方程解答即可判断选项C；根据乙气球的速度列式计算可判断选项D． 【详解】

解：设甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝kx+b，则把点（0，5）和点（20，25）代入解析式解得k=1，b=5，△y＝x+5，故选项A不合题意；

由图象可知，10min时，甲气球在乙气球下方，故选项B不合题意；

由甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝x+5，可知甲气球上升速度为1m/min，乙气球上升速度为：（25﹣15）÷20＝0.5m/min，设两气球高度差为15m时，上升时间为 xmin，根据题意，得：5+x﹣（15+0.5x）＝15，解得 x＝50，所以两气球高度差为15m时，上升时间为50min，故选项C符合题意；

上升60min时，乙气球距离地面高度为：15+0.5×60＝45（m），故选项D不合题意． 故选：C． 【点睛】

本题考查一次函数图像和解析式，能正确读图和利用解析式计算是本题解题关键． 10．B 【解析】 【分析】

如图，作EH△CD于H，EF△AD于F．解直角三角形求出AD、BD即可解决问题． 【详解】

解：如图，作EH△CD于H，EF△AD于F．

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在Rt△ECH中，△EH：CH＝1：2.4，EC＝52m， 设EH=x，则CH=2.4x，

22EH2CH2EC2，即x2.4x52，

2解得x=20(负值舍去)， △EH＝DF＝20m，CH＝48m，

△EF＝DH＝CD﹣CH＝156﹣48＝108m， 在Rt△AEF中，△△AEF＝60°， △AF＝EF•tan60°＝1083， △AD＝AF+DF＝1083+20≈207m， 在Rt△BCD中，△BD：CD＝1：2.4， △BD＝65m，

△AB＝AD﹣BD＝207﹣65＝142m， 故选：B． 【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 11．D 【解析】 【分析】

根据分式方程的解为正数即可得出a＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6，根据不等式组有解，即aa1可得出﹣1+≤y＜，找出﹣3＜﹣1+≤﹣2中所有的整数，将其相乘即可得出结论．

233【详解】

先解分式方程，再解一元一次不等式组，进而确定a的取值．

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解：△

2axx+1＝，

x2x2△x+x﹣2＝2﹣ax． △2x+ax＝2+2． △（2+a）x＝4． △x＝

4 ． 2a△关于x的分式方程

2axx+1＝有整数解，

x2x24≠2． 2a△2+a＝±1或±2或±4且

△a＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6． △2（y﹣1）+a﹣1≤5y， △2y﹣2+a﹣1≤5y． △2y﹣5y≤1﹣a+2． △﹣3y≤3﹣a． a△y≥﹣1+．

3△2y+1＜0， △2y＜﹣1． 1△y＜．

2a1△﹣1+≤y＜．

232(y1)a15y△关于y的不等式组恰有2个整数解，

2y10a△﹣3＜﹣1+≤﹣2．

3△﹣6＜a≤﹣3．

又△a＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6， △a＝﹣3或﹣4．

△所有满足条件的整数a的值之积是﹣3×（﹣4）＝12． 故选：D． 【点睛】

本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组

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a有解，找出﹣3＜﹣1+≤﹣2是解题的关键．

312．C 【解析】 【分析】

由直线解析式求得A、B，作EF△x轴于F，通过证得△AEF△△DBO（AAS），得出EF＝OB11＝1，AF＝OD，进而得出DF＝OA＝，OF＝AD+1，由S△ACD＝S△ACE＝AD2，求得h

22＝AD＝k﹣1，代入直线解析式求得横坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求得k的值． 【详解】

解：△直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B， 1△A（，0），B（0，1），

2作EF△x轴于F，

△四边形ABDE是平行四边形， △AE＝BD，DE△AB， △△DAE＝△ADB， 在△AEF和△DBO中，

EAFBDOAFEDOB， AEBD△△AEF△△DBO（AAS）， △EF＝OB＝1，AF＝OD， 1△DF＝OA＝，

2△OF＝AD+1，

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△E点刚好在反比例函数图象上， k△OF＝＝k，

1△AD+1＝k， △AD＝k﹣1， 设C的纵坐标为h， △DE△BC，

1△S△ACD＝S△ACE＝AD2，

211△AD•h＝AD2， 22△h＝AD＝k﹣1， △C的纵坐标为k﹣1，

代入y＝2x﹣1得，k﹣1＝2x﹣1， 1解得x＝k，

21△C（k，k﹣1），

2k△反比例函数y＝（x＞0）图象经过点C．

x1△k（k﹣1）＝k， 2解得k1＝3，k2＝0（舍去）， △k＝3， 故选：C． 【点睛】

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判断和性质，三角形的面积等，表示出C的坐标是解题的关键． 13．1 【解析】 【详解】 解：原式

211，

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故答案为：1． 【点睛】

本题考查了绝对值的化简，零指数幂，有理数的加减，熟练掌握零指数幂，准确进行绝对值的化简是解题的关键． 14．1.85×105 【解析】 【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】

解：185000＝1.85×105． 故答案为：1.85×105． 【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 515．

8【解析】 【分析】

画树状图得出共有12种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为正数的结果有10种，再由概率公式求解即可． 【详解】

解：根据题意画图如下：

共有16种等可能的情况数，其中两次抽取卡片上的数字之和为正数的有10种， 则两次抽取卡片上的数字之和为正数的概率是

105＝． 168试卷第9页，共25页

5故答案为：．

8【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．5π 【解析】 【分析】

首先根据题意得出扇形半径，进而利用弧长公式求出即可． 【详解】

解：根据题意可得出：AB＝1，BE＝2，CF＝3，DG＝4， △曲线DEFGH的长度是：DEEFFGGH

901902903904 180180180180232 2=5π．

故答案为：5π． 【点睛】

本题主要考查了弧长计算公式应用，根据题意得出扇形半径是解题关键． 17．12391239## 555【解析】 【分析】

证△ABF是等边三角形，可得AB＝AF＝6，△AFB＝60°，由等边三角形的性质和锐角三角函数可求AC，AD的长，由面积法可求解． 【详解】

解：如图，连接AF，过点A作AH△BC于H，

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△四边形ABCD是平行四边形，△DAB＝120°， △△BCD＝△DAB＝120°，△ABC＝60°，AB＝CD＝6， △将△ABE沿BE翻折， △AB＝BF，

△△ABF是等边三角形， △AB＝AF＝6，△AFB＝60°， △△AFC＝120°＝△DCF， △AH△BC，

△BH＝HF＝3，AH＝3BH＝33， △sin△ACB＝

AH3＝， 5AC△AC＝53，

△CH＝AC2AH2＝43， △BC＝AD＝43+3， 在△AFC和△DCF中， AFCDAFCDCF， CFFC△△AFC△△DCF（SAS）， △AC＝DF＝53，

13693△S△ADF＝×AD×AH＝，

22△点A到直线DF的距离＝故答案为：【点睛】

1239． 52SADF1239＝， DF5本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定

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和性质，锐角三角函数等知识，求出DF的长是解题的关键． 18．17：57 【解析】 【分析】

设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，表示出去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，进而用代数式表示有关的路程和时间，表示出今年无人机B与无人机C的飞行时间，即可求出无人机B与无人机C的飞行时间之比． 【详解】

解：△去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2， △设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t， △去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，

41△今年无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的

4341△今年无人机B的平均速度为：（1﹣）×8x＝6x，无人机C的平均速度为：×3x＝4x，

43设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m， △今年无人机A、B、C飞行的路程分别为2xt+m，8xt﹣n，6xt+2m， △今年无人机A、B、C飞行的时间分别为

6xt2m3xtm2xtm8xtn，，， 4x2xx6x△无人机C增加的路程占今年三架无人机总路程的20%， △2m＝20%（2xt+m+8xt﹣n+6xt+2m）， 整理得：16xt﹣7m﹣n＝0△，

△无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15， △m：n＝7：15， △m＝

7n△， 157n﹣n＝0， 15把△代入△得：16xt﹣7×△xt＝

4n， 15△今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为：

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8xtn48nn176x8xtn15，

3xtm9xt3m47579n+3n2x1515故答案为：17：57． 【点睛】

本题考查了分式方程的应用，利用比例设未知数是解决本题的关键． 19．（1）b2；（2）【解析】 【分析】

（1）先根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后再算加减； （2）先将小括号里的式子进行通分计算，然后再算括号外面的． 【详解】

解：（1）原式＝a2+2ab+b2﹣a2﹣2ab ＝b2；

x244x2x2 （2）原式2x2xx4(x2)22x

2x(x2)(x2)x2 x2＝

x2． x2【点睛】

本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算，乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．

20．（1）40，87，99；（2）七年级竞赛成绩较好，理由为：七年级的中位数高于八年级；（3）900人 【解析】 【分析】

（1）根据八年级C等级有6个学生可得a，根据扇形统计图可得八年级中位数b，根据七年级的成绩可得众数c；

（2）比较平均数、中位数和众数可得结论；

（3）求出七、八年级学生竞赛成绩为D等级的百分比可得答案．

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【详解】

解：（1）八年级20名学生的竞赛成绩中C等级包含6个分数， C等级所占百分比为

6＝30%， 20a%＝1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%， △a＝40，

八年级成绩A等级的有20×20%=4(人)，B等级的有20×10%=2(人)， △八年级中位数位于C等级的第4、5两个数据即86，88， 八年级中位数位于C等级，b＝

8688＝87， 2七年级成绩是众数是99分，c＝99， 故答案为：40，87，99；

（2）七年级竞赛成绩较好，理由为：七年级的中位数高于八年级； （3）七年级D等级人数是10人，八年级D等级人数是20×40%＝8人， 2000×

108＝900（人）， 40答：竞赛成绩为D等级的学生人数是900人． 【点睛】

本题考查了扇形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的计算方法是正确求解的前提．

21．（1）见解析；（2）△CFB＝△CBF，证明见解析 【解析】 【分析】

（1）以B为圆心任意长为半径画弧，交AB、BE于M、N两点，再以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧交于点Q，连接BQ，交AC于点F．

（2）结合（1）和矩形的性质证明△CBE＝△BAE，再利用三角形外角的性质即可证明△CFB和△CBF的数量关系． 【详解】

解：（1）如图，点F即为所求；

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（2）△CFB＝△CBF，理由如下： △四边形ABCD为矩形， △△ABC＝90°， △△ABE+△CBE＝90°， △BE△AC， △△AEB＝90°， △△ABE+△BAE＝90°， △△CBE＝△BAE， △BF是△ABE的角平分线， △△FBA＝△EBF，

△△CFB＝△FAB+△FBA＝△CBE+△EBF＝△CBF． 即△CFB＝△CBF． 【点睛】

此题考查作图——复杂作图，多边形的内角与外角，矩形的性质，关键是根据矩形的判定和性质以及勾股定理解答．

1131122．（1）,,,，图见解析；（2）该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；（3）﹣

27580.2＜x＜0.9或x＞4 【解析】 【分析】

（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可； （2）观察图象可知该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴； （3）利用图象即可解决问题． 【详解】

解：（1）把下表补充完整如下：

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﹣x … 5 ﹣4 ﹣3 ﹣﹣1 2 1﹣17 2 3 0 1 2 3 4 5 … y＝x33|x|1 211… 8 1 35 1311 2 7 5 11… 8

x23函数y＝的图象如图所示：

3|x|1

（2）该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；

x2337x﹣的解集为﹣0.2＜x＜0.9或x＞4． （3）由图象可知，不等式

3|x|155【点睛】

本题考查了画函数的图像，函数的性质，解答本题的关键是运用数形结合的思想解题． 23．（1）纪念品A的销售单价为50元，纪念品B的销售单价为35元；（2）40 【解析】 【分析】

（1）设纪念品B的销售单价为x元，则纪念品A的销售单价为（x+15）元，利用销售总额＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出纪念品B的销售单价，再将其代入（x+15）中即可求出纪念品A的销售单价；

（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合降价后纪念品A的销售总额是纪念品B销售总额的5倍，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值． 【详解】

解：（1）设纪念品B的销售单价为x元，则纪念品A的销售单价为（x+15）元，

试卷第16页，共25页

依题意得：180（x+15）+60x=11100， 解得：x=35， △x+15=35+15=50．

答：纪念品A的销售单价为50元，纪念品B的销售单价为35元． 57（2）依题意得：50（1-a%）×180（1-a%）=5×（35-5）×60（1-a%），

44整理得：5a2-200a=0，

解得：a1=40，a2=0（不合题意，舍去）． 答：a的值为40． 【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24．（1）2799是“航天数”，8062不是“航天数”，理由见解析；（2）1551或1991 【解析】 【分析】

（1）利用“航天数”的定义进行判断即可；

（2）设这个航天数m的千位数字与个位数字为a，百位数字与十位数字为b，利用a，b，c分别表示出m1和n的值，由已知条件得到关于a，c的式子，根据数位上的数字的特征确定a，c的值，再利用“航天数”的意义得出a，b的关系式，从而确定出b的值，结论可求． 【详解】

解：（1）2799是“航天数”，8062不是“航天数”，理由： △F（2799）＝

|2799|＝8，8能被4整除， 9△2799是“航天数”； △F（8062）＝

80629＝2，2不能被4整除，

△8062不是“航天数”．

（2）设这个航天数m的千位数字与个位数字为a，百位数字与十位数字为b， 则m＝1000a+100b+10b+c． △F（m）＝

9a9b|(10ab)(10ba)|＝＝|a﹣b|能被4整除．

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△|a﹣b|＝4或|a﹣b|＝8． △m1＝10a+b， △n＝100a+10c+b． △三位数n比m1大180， △100a+10c+b﹣（10a+b）＝180． △9a+c＝18．

△1≤c≤9，c为整数，1≤a≤9，a为整数， △a＝1，c＝9． △1≤b≤9，b为整数， △b＝5或9．

△满足条件的航天数为：1551或1991． 【点睛】

本题主要考查了因式分解的应用，数位上的数字的特征，本题阅读型题目理解并熟练运用新定义是解题的关键．

3515225．（1）yxx；（2）当点P（1，﹣3）时，2PG+PQ的最大值为；（3）点

222N的坐标为N1（2，2），N2（2，﹣2），N3（﹣4，﹣【解析】 【分析】

（1）把点A（﹣1，0），B（

5，0）代入表达式求出b和c即可． 225），过程见解析 6（2）过点P作PE△x轴交CD于点E，可得△PGE是等腰直角三角形，所以PE＝2PG，则2PG+PQ＝PE+PQ，求2PG+PQ的最小值，即求出PE+PQ的最小值；设点P（t，t235335﹣t﹣），则Q（t，0），E（t2﹣t﹣3，t2﹣t﹣），分别表达PQ和PE，最后利用22222二次函数的最值问题，即可解答．

（3）由平移可知新抛物线的对称轴为：直线x＝4，并设对称轴与x轴交于点F；设点M的坐标为（4，s），点N的坐标为（m，n），当AP为菱形的边时，△以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x＝4于点M1，M2，过点P作PG△y轴交直线x＝4于点R，由勾股定理可得可得，M1R＝M2R＝2，可求出点M的坐标，再由点的平移可知，N1（2，2），N2（2，﹣2）；△以点A为圆心，AP长为半径作圆，此圆与直线x＝4无交点；此时不存在点

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N，不能构成菱形．当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时33AP的中点为（0，﹣），由点A和点P的坐标可知，直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣

22323．所以直线MN的解析式为：y＝x﹣．最后利用中点坐标公式可知，N3（﹣4，﹣23225）． 6【详解】

5解：（1）△抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（，0）两点，

23babc02△25，解得． 55abc0c242△抛物线的解析式为：y＝x2﹣

35x﹣． 22（2）如图，过点P作PE△x轴交CD于点E，

△△DEP＝45°，

△△PGE是等腰直角三角形， △PE＝2PG，

35335设点P（t，t2﹣t﹣），则Q（t，0），E（t2﹣t﹣3，t2﹣t﹣），

222223535△PQ＝﹣t2+t+，PE＝t﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，

2222△2PG+PQ＝PE+PQ 535＝﹣t2+t+3+（﹣t2+t+）

222＝﹣2（t﹣1）2+

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△﹣2＜0，

△当点P（1，﹣3）时，2PG+PQ的最大值为

15． 2（3）存在点N，使以点A，P，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下： 5△A（﹣1，0），B（，0），

23△原抛物线的轴对称为直线x＝，

4△新抛物线的对称轴为：直线x＝4，并设对称轴与x轴交于点F； 由（2）知P（1，﹣3）， △AP＝223213．

设点M的坐标为（4，s），点N的坐标为（m，n）， 当AP为菱形的边时，

△以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x＝4于点M1，M2，过点P作PG△y轴交直线x＝4于点R，如图所示，

此时PM1＝PM2＝AP＝13，PR＝3， 由勾股定理可得可得，M1R＝M2R＝2， △M1F＝1，M2F＝5，

△M1（4，﹣1），M2（4，﹣5），

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△A（﹣1，0），P（1，﹣3），

△点A向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点P，

△点M1（4，﹣1）向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点N1（2，2）， 同理可得，N2（2，﹣2）；

△以点A为圆心，AP长为半径作圆， △AF＝5，且5＞13，

△此圆与直线x＝4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．

当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为（0，3﹣），如图所示， 2

设MN与直线x＝4的交点为M3， △点A（﹣1，0），P（1，﹣3）， 33△直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣．

22△直线MN的解析式为：y＝7△M3（4，），

623x﹣． 32由中点坐标公式可知，N3（﹣4，﹣

25）． 625）． 6综上，点N的坐标为N1（2，2），N2（2，﹣2），N3（﹣4，﹣【点睛】

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本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．

26．(1)32102 (2)见解析 (3)

CD102 AB4【解析】 【分析】

（1）在Rt△BCD中求得BD和CD，进而求得结果；

（2）连接BG，CF，可证△BDG△△EDF，从而△DGB＝△DFE，BG＝EF，进而证明BG△EF，从而推出△ABG＝△CFE，进而证明△ABG△△FCE，从而得出结论；

（3）先推出△ACH＝90°，从而得出H点在以AC为直径的圆上，判断出BH过圆心I，作HT△AC，EK△AC，可推出△BCD△△BKD及△CTH△△CKE，进而求得结果． (1)

解：如图1，

在RtBCD中，BC3，BDDE10，

CD1，

ADACCDBCAD312，

CACB，CACB， ABCA2CB232，

ABD的周长是：32102；

(2)

证明：如图2，

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连接BG交EF于N，连接CF交AB于M，AB与EF交于点P，DF与BG交于O，

BDEGDF90，

BDEADFGDFADF，

即：BDGFDE， DEBD，DGDF，

ΔBDGΔEDFSAS，

BGEF，

BGDDFE，

DOGFOB，

BNPONFGDO90，

BPNMPF， CFEABG， CF2CM2AMAB，

ΔGABΔECFSAS，

AGCE；

(3)

解：如图3，

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由（2）得，

ΔGADΔECF，

GABECF，

GABCABECFBCM， CABBCM45，

GACECB， ACB90， ACHECB90，

ACHGAC90， AHC90，

点H在以AC为直径的

I运动，

如图4，

当BH过I时，BH最大， 不妨设半径AICIHI1，

BCAC2，

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IBIC2BC25，

作HTAC于T，作EKAD于K，

HTIACB90， HT//BC，

ΔHTI∽ΔBCI，

HTTIHI， BCICIBHTTI1， 215HT255，TI， 55BCDBDEK90，

BDDE，

由“一线三等角”得，

ΔBCDΔDKE，

CDEK，BCDK2， tanKCEtanHCT，

EKHT， CKCT25CD255， CDBC55515CD25， BC55CD25255，

AB2CD102． AB4【点睛】

本题考查等腰三角形性质，解直角三角形，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，与圆有关的概念，图形的旋转性质等知识，解决问题的关键是熟悉常见“一线三等角”，“手拉手”等模型．

试卷第25页，共25页