初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编及答案解析

一、选择题

1．已知关于x的分式方程A．0 【答案】D 【解析】 【分析】

分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】

解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx＝（x＋2）（x−2）， 整理得：（4＋m）x＝8， 当m＝−4时整式方程无解；

当x＝−2时原方程分母为0，此时m＝−8； 当x＝2时原方程分母为0，此时m＝0， 故选：D． 【点睛】

本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．

x2mx21无解，则m的值为（ ） x2x4C．-8或-4

D．0或-8或-4

B．0或-8

2．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为 A．【答案】B 【解析】

甲种机器人每小时搬运x千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克， 由题意得：故选B.

【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程是关键．

，

B．

C．

D．

3．方程A．2 【答案】C

2x4x2 的解为（ ） x2x2B．2或4

C．4

D．无解

【解析】 【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】

去分母得：2x=（x﹣2）2+4，

分解因式得：（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]=0， 解得：x=2或x=4，

经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4， 故选C． 【点睛】

此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ） A．41.25x40x800

B．D．

80080040 x2.25x80080040 1.25xx80080040 x1.25x【答案】C 【解析】 【分析】

C．可． 【详解】

先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即

800800秒，小俊跑800米用的时间为秒， 1.25xx∵小进比小俊少用了40秒，

小进跑800米用的时间为

80080040， x1.25x故选C． 【点睛】

方程是

本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．

5．如果关于x的分式方程

1a12有整数解，且关于x的不等式组x22x4x3(x1)有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a的和是（ ） 2x11x(a1)22A．4 【答案】A 【解析】 【分析】

B．-2 C．-3 D．2

分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】

解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：xa2a22，a为偶数， ，且

22即a2，a为偶数，

x3不等式组整理得：a，

x＜4由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，

a≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 4经检验a=4， 则和为4， 故选：A． 【点睛】

可得0＜

此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（ ）

9060 xx6【答案】A 【解析】

A．

B．

9060 xx6C．

9060 x6xD．

9060 x6x解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得：选A．

9060．故xx6

7．从4，2，1，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a．若数a使关于x的一元二次方程x2a4xa0有实数解．且关于y的分式方程

22ya13有整数解，则符合条件的a的值的和是（ ） y11yA．6

B．4

C．2

D．2

【答案】C 【解析】 【分析】

由一元二次方程x2a4xa0有实数解，确定a的取值范围，由分式方程

22ya13有整数解，确定a的值即可判断． y11y【详解】

方程x2a4xa0有实数解，

22∴△=4(a−4)2−4a2⩾0， 解得a⩽2

∴满足条件的a的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程

ya13 y11y解得y=

a+2 2∵y有整数解 ∴a=−4，0，2，4，6

综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2， 符合条件的a的值的和是−2 故选：C 【点睛】

本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．

8．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x人，则所列方程为（ ） A．C．

1801803 xx2B．D．

1801803 x2x1801803 x2x1801803 xx2【答案】D 【解析】 【分析】

了3元钱车费列出方程即可. 【详解】

先用x表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊

解：设前去观看开幕式的同学共x人，根据题意，得：故选：D. 【点睛】

1801803. x2x本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.

9．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨

1，小丽家去年12月份3的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程，正确的是（ ）

301551A． x1x3153051C．x 1x3【答案】A 【解析】 【分析】

301551B．x 1x3153051D．x 1x3利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3得出方程即可． 【详解】

解：设去年居民用水价格为x元/m3，

301551x根据题意得：， 1x3故选：A． 【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．

10．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是( ) A．

101015 x2xB．

101015 2xxC．

10101 x2x4D．

10101 2xx4【答案】C 【解析】

【分析】

设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，根据“汽车所用时间坐公交车所用时间15分钟”列出方程即可得． 【详解】

设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，

10101， x2x4所列方程正确的是：

故选：C． 【点睛】

此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．

11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ）

120150 xx8【答案】D 【解析】 【分析】

A．

B．

120150 x8xC．

120150 x8xD．

120150 xx8首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程. 【详解】

解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴故选D. 【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.

120150， xx8

12．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（ ）. A．C．

9009002 x1x3B．

9009002 x1x390090090090022 D．x1x3x1x3【答案】A 【解析】 【分析】

设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.

【详解】

设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍，

9009002， x1x3故选：A. 【点睛】

∴

此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.

3xk013．若数k使关于x的不等式组xx1只有4个整数解，且使关于y的分式方程

123kyk+1＝的解为正数，则符合条件的所有整数k的积为（ ）

y1y1A．2 【答案】A 【解析】 【分析】

解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k的取值范围，解分式方程得出y=-2k+1，由方程的解为整数且分式有意义得出k的取值范围，综合两者所求最终确定k的范围，据此可得答案． 【详解】

B．0

C．﹣3

D．﹣6

3xk0k解：解不等式组xx1得：﹣3≤x≤﹣，

1323∵不等式组只有4个整数解， ∴0≤﹣

k＜1， 3解得：﹣3＜k≤0， 解分式方程

kyk+1＝得：y＝﹣2k+1，

y1y1∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k+1＞0且﹣2k+1≠1， 解得：k＜

1且k≠0， 2综上，k的取值范围为﹣3＜k＜0，

则符合条件的所有整数k的积为﹣2×（﹣1）＝2， 故选A． 【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．

14．若关于x的方程

xm3m=3的解为正数，则m的取值范围是（ ） x33x9 29C．m＞﹣

4【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

A．m＜

解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9， 整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=已知关于x的方程

93且m≠

2239D．m＞﹣且m≠﹣

44B．m＜

2m9， 2xm3m=3的解为正数， x33x所以﹣2m+9＞0，解得m＜当x=3时，x=

9， 22m93=3，解得：m=， 22所以m的取值范围是：m＜故答案选B．

93且m≠．

22

a2x„2ax2115．关于x的方程的解为非正数，且关于x的不等式组x5无解，

…3x1x13那么满足条件的所有整数a的和是（ ） A．﹣19 【答案】C 【解析】

解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数，得到

B．﹣15

C．﹣13

D．﹣9

33≤0，且 ≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2． a1a12a2ax不等式组整理得：＜4，解得：a＞﹣6，∴满足2，由不等式组无解，得到

2x4题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．

点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

122时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） x1x1A．x+1＝2（x﹣1） B．x﹣1＝2（x+1） C．x﹣1＝2 D．x+1＝2 【答案】D 【解析】 【分析】

先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案； 【详解】

解：由题意可得最简公分母为（x+1）（x-1） 去分母得：x+1＝2， 故答案为D． 【点睛】

本题考查了分式方程的解法，解答的关键在于最简公分母的确定.

16．解分式方程

17．从4，1，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a，若数a使关于x的不

xa02yay2有非负数解，则符合条等式组无解，且关于的分式方程3y33y3x1016件的a的值的个数是（ ） A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】

由不等式组无解确定出a的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a的一个取值范围，综上可确定a的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值． 【详解】

B．2个

C．3个

D．4个

xa0①解：3

3x1016②解①得，xa

解②得，x2 ∵不等式组无解 ∴a2

∵

2ya2 y33y∴y8a 32ya2有非负数解 y33y∵关于y的分式方程∴y8a8a3 0且33∴a8且a≠-1

∴综上所述，a2且a1

∴符合条件的a的值有4、0、2共三个． 故选：C 【点睛】

本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a的取值范围是解决问题的关键．

18．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A．C．

606030 x(125%)xB．D．

606030

(125%)xx60(125%)6030

xx【答案】C 【解析】

6060(125%)30 xx分析：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．

详解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为平方米，

x万

125%606060125%6030x依题意得：，即30． xxx125%故选C．

点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

19．八年级（1）班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成

任务.则下面所列方程中，正确的是（ ） A．C．

30030020 x1.2xB．D．

30030020 x1.2x6030020300 x601.2x30030020 xx1.2x60【答案】D 【解析】 【分析】

原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时成任务”可得方程． 【详解】

设原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，由

300300小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前20分钟完

1.2xx30020300， x601.2x故选：D． 【点睛】

题意得：

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．

20．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交

y轴于点N，再分别一点M、N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧在第二象限

2交于点P. 若点P的坐标为11,，则a的值为( ) a42a3

A．a1 【答案】D 【解析】 【分析】

B．a7

C．a1

D．a1 3根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角

的两边的距离相等可得

11=，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，

a42a3进而得到a的数量关系． 【详解】

根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上， 则P点横纵坐标的和为0， 故

11=0， +a42a31. 3解得：a=

故答案选：D. 【点睛】

本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.