二次函数与相似三角形压轴题非常经典建议收藏

例题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是【 】

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D． （1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；

（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？

3.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x． （1）求AD的长；

（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；

4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

5.如图，直线yx8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）． （1）写出A，B两点的坐标；

（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？

（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

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6.如图，已知二次函数y1(x2)(axb)的图像过点A(－4，3），B(4，4). 48 （1）求二次函数的解析式： （2）求证：△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

练习

1.判断三角形相似

例 2．如图，已知抛物线 y=﹣

1 +bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴4相交于点 C，若已知 B 点的坐标为 B（8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．

（2）连接 AC、BC，试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由．

变式 1.如图，已知抛物线Y=-(x-1)2+1的图像与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C. （1）试判断△AOC 与△COB 是否相似;

（2）若点 D 是抛物线的顶点，DH 垂直于 x 轴，垂足为 H，试判断直 角三角形 DHA 与直角三角形 COB 是否相似？说明理由．

变式 2 ：已知:如图,抛物线y=-x2 –bx+c与 x 轴、y 轴分别相交于点 A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为 D. (1)求该抛物线的解析式；

(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

2.坐标轴上有一点使三角形相似

例 3．如图，直线 y=﹣x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线y=x 2 +bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P． （1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 AC，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 P、B、Q 为顶点的三角形与 △ABC 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

变式 1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+3 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，并与抛物线 y=﹣ x 2 +bx+ 的对称轴交于点 C（2，2），抛物线的顶点是点 D． （1）求 k 和 b 的值；

（2）点 G 是 y 轴上一点，且以点 B、C、G 为顶点的三角形与△BCD 相似，求点 G 的坐标；

3.抛物线的对称轴上有一点使三角形相似

例 4．如图，抛物线 y=﹣x 2 +bx+c 与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且 OA=1，OB=3，顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 Q． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点 P 是抛物线的对称轴上一点，以点 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，且与直线 CD相切，求点 P 的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．

4.抛物线上有一点使三角形相似

1例 5．如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴

23交于点 C．抛物线 y=ax 2 +bx+c 的对称轴是 x=﹣ 且经过 A、C 两点，与 x 轴

2的另一交点为点 B．

（1）求二次函数 y=ax 2 +bx+c 的表达式；

（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC，BC．求四边形 PABC 面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A，M，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

5.两个动点使三角形相似

例 6.如图，四边形 ABCO 是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过 A、B、C 三点，与 x轴交于另一点 D．一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 B 点出发沿 BA 向点 A 运动，运动到 A 停止，同时一动点 Q 从点 D 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 DC 向点 C运动，与点 P 同时停止． （1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴与 AB 交于点 E，与 x 轴交于点 F，当点 P 运动时间 t 为何值时，四边形 POQE 是等腰梯形？

（3）当 t 为何值时，以 P、B、O 为顶点的三角形与以点 Q、B、O 为顶点的三角形相似？