人教版八年级上册数学难点探究专题：动态变化中的三角形全等

难点探究专题：动态变化中的三角形全等

——以“静”制“动”，不离其宗

◆类型一 动点变化

1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．

2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为vcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．

3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】

(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为_______；

②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．

(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

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◆类型二 图形变换

4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.

(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；

(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.

(1)求证：△BCD≌△FCE；

(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．

参考答案与解析

1．3或6 解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QPA或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QPA时，则有AP＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP＝AC＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.

2．2或3 解析：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等．∵点D为AB的中点，1

∴BD＝AB＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝2(cm)．∵点P在线段BC上以2cm/s

2的速度由B点向C点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP≌△PCQ，∴CQ＝BP＝2cm，∴v＝2÷1＝2(cm/s); 当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP.∴PB＝PQ，∠B＝∠CQP.又∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CQP，∴PQ＝PC，∴PB＝PC.∵BD＝6cm，BC＝8cm，PB＝PC，∴QC＝6cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.

3．解：(1)①垂直 ②BC＝CD＋CF

(2)CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，正确结论：CD＝CF＋BC.证明如下：

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∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.

AD＝AF，

在△DAB与△FAC中，∠BAD＝∠CAF，∴△DAB≌△FAC(SAS)，∴∠ABD＝∠ACF，

AB＝AC，

DB＝CF.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，∴CF⊥BC.∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC.

4．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°.∵AEAB＝CD，＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AF＝CE，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.在△BFO和△DEO∠BFO＝∠DEO，中，∠BOF＝∠DOE，

BF＝DE，

∴△BFO≌△DEO(AAS)，∴OE＝OF.

(2)结论依然成立．理由如下：∵AE＝CF，∴AE－EF＝CF－EF，∴AF＝CE.同(1)可得△BFO≌△DEO，∴FO＝EO，即结论依然成立．

5．(1)证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD和△FCECB＝CF，

中，∠BCD＝∠FCE，

CD＝CE，

∴△BCD≌△FCE(SAS)．

(2)解：由(1)可知∠DCE＝90°，△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E.∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°.

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