宁夏固原一中2015届高三第一次综合考试数学(理试卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

(宁夏固原一中第一次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的．

1．已知全集U=R，集合Axylg(x1)则A∩(CUB)= A．

B．

D．(1,2)

，集合Byyx22x5，

2．已知直线m、n和平面，则m∥n的必要非充分条件是 A．m、n与成等角 B. m⊥且n⊥ C. m∥且n D．m∥且n∥ 3．若等比数列{an}的前n项和Sna3n2，则a2 A．4

B．12

C．24

D．36

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理科数学试卷 第1页(共6页)

4．已知复数(1i)(abi)24i(a,bR)，函数f(x)2sin(ax对称中心是 A. （6)b图象的一个

6,1） B. （18,0） C.（6,3） D.（5,1） 18开始 5．如图给出的是计算

111的值的程序框图，则图中 24100是 S=0，n=2,i=1 判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是 A. i＞100,n=n+1

B. i＞100,n=n+2

输出S (1) 否 SS1nC. i＞50,n=n+2 D. i≤50,n=n+2 6．设acosxsinxdx，则二项式

06结束 (2) 2a3展开式中的项的系数为 xxxA. 160 B. 20 C. 20 D. 160 7．给出下列四个结论：

（1）如图RtABC中， AC2,B90,C30.

D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|. 以B为起点 任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在 线段CD上的概率是A D

E (第5题图) i= i+1 3； 2B C

（2）设某大学的女生体重y(kg)与身高x(cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i

^

＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为y＝0.85x－85.71，则若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；

（3）为调查中学生近视情况,测得某校男生150名中有80名近视,在140名女生中有70名近视.

在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时,应该用独立性检验最有说服力; （4）已知随机变量服从正态分布N1,2,P40.79,则P20.21;

其中正确结论的个数为 A. 1

8．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯 视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正 方形.则这个四面体的外接球的表面积是 A.

B. 3

C. 4

D. 6

B. 2 C. 3 D. 4

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(第8题图)

yx9．已知z2xy，其中实数x,y满足xy2，且z的最大值

xa是最小值的4倍，则a的值是 A.

2111 B. C. 4 D.

411210．对于函数yf(x)，部分x与y的对应关系如下表：

x y 1 3 2 7 3 5 4 9 5 6 6 1 7 8 8 2 9 4 数列{xn}满足：x11，且对于任意nN*，点(xn,xn1)都在函数yf(x)的图像

上，则x1x2x3x4x2013x2014的值为 A. 7549

B. 7545

C. 7539

D. 7553

y2x211．已知F2、F1是双曲线221(a>0，b>0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称

ab点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A．3 B．3 C．2 D．2 12．已知函数f(x)=axa1-2lnx(a∈R)，g(x)=，若至少存在一个x0∈，使得f(x0)>g(x0)xx成立，则实数a的范围为

A．[1，+∞) B．(1，+∞) C．[0，+∞) D．(0，+∞)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．等差数列an中，a4a8a126，则a914．若1a11 . 3(0,)，且3cos2sin()，则sin2的值为 .

415．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选

3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 .

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16．在直角坐标平面xoy中，F是抛物线C: x22py（p>0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的

3距离为，则抛物线C的方程为__________________．

4三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m(2sinB,3),n(cos2B,2cos2B1)2

m(2sinB,3),n(cos2B,2cos2B1)且m//n 2 （1）求锐角B的大小；

（2）如果b2，求ABC的面积SABC的最大值．

18．（本小题满分12分）

如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆

O所在的平面， DC∥EB，DCEB，AB4，tanEAB⑴证明：平面ADE平面ACD； ⑵当三棱锥CADE体积最大时， 求二面角DAEB的余弦值．

19．(本题满分12分)

1． 4某权威机构发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．

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20．(本小题满分12分)

x2y2己知A、B、C是椭圆m：221（ab0）上的三点，其中点A的坐标为

ab(23,0)，BC过椭圆的中心，且ACBC0，|BC|2|AC|。

（1）求椭圆m的方程；

（2）过点(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y 轴负半轴的交点，且|DP||DQ|，求实数t的取值范围．

21. (本小题满分12分)

已知函数f(x)=lnxkx1. （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围； （3）证明：

ln2ln3lnnn(n1)（nN,n1） 34n14请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答

理科数学试卷 第5页(共6页) 时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．

如图,圆O的直径AB10,P是AB延长线上一点,BP2,割线PCD交圆O于点

C,D,过点P作AP的垂线,交直线AC于点E,交直线AD于点F.

(I)求证:PECPDF; (II)求PEPF的值.

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

1x1t,xcos,2已知直线: （为参数）. (t为参数), 曲线C1:3ysin,yt.2 (I)设与C1相交于A,B两点,求|AB|；

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(II)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的31倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到22曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

设不等式|2x1|1的解集是M，a,bM． （I）试比较ab1与ab的大小；

2222ab,,（II）设max表示数集A的最大数．hmax,求证：habba2．

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宁夏固原一中2015届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案

一、选择题 题号 1 答案 D 二、填空题 13.

2 A 3 B 4 D 5 C 6 A 7 C 8 B 9 B 10 A 11 C 12 D 41712 14. 1或 15. 16. x2y 31868三．解答题

17.（本小题满分12分）

m//n 2sinB(2cos2B1)3cos2B 解：（Ⅰ）

2sin2B3cos2B 即 tan2B3

2又B为锐角 2B0, 2B B33

a2c2b2（2）B,b2， 由余弦定理得cosB即a2c2ac40-

2ac3又a2c22ac 代入上式得ac4（当且仅当 ac2时等号成立）

13）…12分 SABCacsinBac3（当且仅当 ac2时等号成立。

2418．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：因为AB是直径，所以BCAC

因为CD平面ABC，所以CDBC ， 因为CDACC，所以BC平面ACD

因为CD//BE， CDBE，所以BCDE是平行四边形， BC//DE，所以DE平面ACD

因为DE平面ADE，所以平面ADE平面ACD （Ⅱ）依题意，EBABtanEAB411 ， 4111由（Ⅰ）知VCADEVEACDSACDDEACCDDE

3321114ACBC(AC2BC2)AB2， 612123z 当且仅当ACBC22时等号成立 …………8分

D如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,1)，E(0,22,1)， A(22,0,0)B(0,22,0)，

则AB(22,22,0)，BE(0,0,1)，

CDE(0,22,0)，DA(22,0,1,)

o AEn1DE0设面DAE的法向量为n1(x,y,z)，，

n1DA0OBx y

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22y0即n1(1,0,22)， 22xz0n2BE0设面ABE的法向量为n2(x,y,z)， ，

n2AB0z0即n2(1,1,0)， 22x22y0cosn1,n2n1n2n1n212 629可以判断n1,n2与二面角DAEB的平面角互补

二面角DAEB的余弦值为2.…12分 6 19．(本题满分12分) 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分

（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，

312CCC12121 ； …………6分 124则P(A)P(A0)P(A1)33140C16C16（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.

27； 1132 P(0)(3)327；P(1)C3()4644464139；11………………10分

P(2)C32()2P(3)()34464464所以ξ的分布列为： ξ P 0 27 641 27 642 9 643 1 64E02727911230.75. ……………12分 64646464k另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则~B(3,)，P(k)C3()k()3k.

141434 所以E=310.75． 420.(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）∵|BC|2|AC且BC过(0,0)，则|OC||AC|．

∵ACBC0，∴OCA90，即C(3,3)．

x2y21， 又∵a23，设椭圆m的方程为

1212c23322将C点坐标代入得，解得，c8b4． 121212cx2y21． ∴椭圆m的方程为

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（Ⅱ）由条件D(0,2)，当k0时，显然2t2；

x2y21222当k0时，设l：ykxt，12，消y得(13k)x6ktx3t1204ykxt由0可得，t2412k2 ……①…

xx23kt设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ中点H(x0,y0)，则x01，213k2t3ktt, ∴y0kx0tH(,)． 22213k13k13kt2211由|DP|DQ|，∴DHPQ，即kDH。∴13k，

3ktkk0213k化简得t13k2……② ∴t1 将①代入②得，1t4。 ∴t的范围是(1,4)。综上t(2,4)．………12

21. (本小题满分12分)

解：函数f(x)的定义域为(0,)， f(x)当k0时，f(x)1k. x1k0，则f(x)在(0,)上是增函数； x111当k0时，若x(0,)，则f(x)k0；若x(,)，则

kxk1f(x)k0.

x11所以f(x)在(0,)上是增函数，在(,)上是减函数. …………4分

kk（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知k0时，则f(x)在(0,)上是增函数，而f(1)1k0，f(x)01不成立，故k0.当k0时，由（Ⅰ）知f(x)的最大值为f()，要使f(x)0k1恒成立，则需f()=lnk0，解得k1. …8分

k（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当k1时有f(x)0在(0,)恒成立，且f(x)在(1,) 上

是减函数，f(1)0，所以lnxx1在2,上恒成立.

lnnn1令xn2，则lnn2n21，即2lnn(n1)(n1)，从而. n12ln2ln3lnn123n1n(n1)所以=.（证毕）12分 2434n122222.（本小题满分10分）

解法1:(I)连接BC,则ACBAPE90, 即B、P、E、C四点共圆.

∴PECCBA 又A、B、C、D四点共圆, ∴CBAPDF

∴PECPDF ∵PECPDF, ∴F、E、C、D四点共圆,

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 ∴PEPFPCPD,又PCPDPBPA2(210)24, PEPF24. 解法2:(I)连接BD,则BDAD,又EPAP

∴PDFPDBPEAEAP90, ∵PDBEAP,∴PECPDF (II)∵PECPDF,EPCDPF,

PCPEPECPFPD, PDF ∴∽,∴即PEPFPCPD,

又∵PCPDPBPA2(210)24, ∴PEPF24

23.（本小题满分10分） 解.（I）的普通方程为y联立方程组则|AB|1.

3(x1),C1的普通方程为x2y21.

13y3(x1),解得与的交点为,CB(,), A(1,0)21222xy1,1cos,132sin),(为参数).故点P的坐标是(cos,322sin.2|33cossin3|322[2sin()2],

244x （II）C2的参数方程为y从而点P到直线的距离是d由此当sin(4)1时,d取得最小值,且最小值为

6(21). 424．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

解：由|2x1|1得12x11,解得0x1.所以M{x|0x1}. （I） 由a,bM，得0a1,0b1，

所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故ab1ab.

2a2b22a2b222,,}，得h（II）由hmax，h， ,habbababa2a2b224(a2b2)38，故h2. 所以habaabb

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