二年级上册数学试题-等差数列(2)全国通用(含答案)

第十二讲 等差数列（二）

1、等差数列中常用的计算公式：

等差数列的求和公式：和（首项末项）项数÷2

字母公式：Sn(a1an)n2 末项首项（项数1）公差,字母公式：ana1(n1)d 项数（末项首项）公差1,字母公式：n(ana1)d1 首项=末项－（项数－1）×公差 字母公式：a1an(n1)d 公差=（末项－首项）÷（项数－1）字母公式：d(ana1)(n1)

2、等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一 项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半,即中间项 =和÷项数.

奇数项等差数列求和公式为：和=中间项×项数

【例1】等差数列：3,10,17,24,……,73

（1）公差是多少？ （2）数列共有多少项？

（3）按照这样的顺序,第18项是多少？

【答案】（1）7；（2）11；（3）122. 【解析】（1）公差为10－3=7；（2）项数=（末项－首项）÷公差+1=

（73－3）÷5+1=11（项）（3）第18项为3+（18－1）×7=122.

【例2】一个等差数列共有13项,每一项都比它前面一项大2,并且首项为23,求

末项是多少？

【答案】47.

【解析】此数列是首项为23,项数为13,公差为2的等差数列.则根据末项公式

得：末项=首项+（项数－1）×公差=23+（13－1）×2=47.

【例3】在数字1和73之间插入5个数,使这些数构成等差数列,求这个等差数列的

公差是多少？

【答案】12. 【解析】 首项是1,末项是73,项数是5+2=7（项）,公差=（73－1）÷（7－1）=12.

【例4】一个等差数列的第五项是17,第九项是29,求公差是多少？求首项是多

少？

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【答案】3；5. 【解析】 第五项与第九项之间有9－5=4（个）公差,公差为（29－17）÷（9－5）

=3.因为第九项=首项+（9－1）×公差,所以首项=第九项－（9－1）×公差=29－8×3=5.

【例5】编号为1～9的九个盒子中各放有一些糖果,已知每个盒子都比前一号盒

子多同样数量的糖果.如果第5号盒子放10颗糖果,那么九个盒子里一共放了多少颗糖果？

【答案】12.

【解析】题目中的第五个盒子中的糖果数是10颗,就是中间项是10,项数是9,和

=中间项×项数,所以一共有10×9=90（颗）.

【例6】把84米长的一根绳子分成7段,使后面一段都比前面一段多3米.那么这

7段绳子中最长的一段长多少米？

【答案】21米.

【解析】奇数项等差数列,中间项＝和÷项数,中间段（第四段）是：84÷7=12

（米）,最长的一段长12+3×3＝21（米）.

【例7】一个等差数列的第5项是15,前11项之和为198,这个数列的第20项是

多少？

【答案】60.

【解析】因为11项的和为198,所以第6项（中间项）：198÷11=18,公差：

(18－15)÷(6－5)=3,第20项：15+3×(20－5)=60.

【例8】数列：2、4、6、8、10、12、……是由连续偶数组成的,如果其中五个

连续偶数的和是320,求它们中最小的一个.

【答案】60.

【解析】利用等差数列的“中项公式”,对于奇数个连续偶数,最中间的数是

320÷5=64,因相邻偶数相差2,所以第1项比第3项（中间项）少2个公差,那么第1项是64－2×2=60.

【例9】有15个盒子中共放了300个乒乓球,已知每个盒子都比前一号盒子多放

同样多的乒乓球.如果1号盒子放6个球,那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个球？如果3号盒子放15个球,那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个球？

【答案】2；1. 【解析】 此题求的是公差.利用奇数项的等差数列求和,和=中间项×项数,则中间

项（第8个盒子）为300÷15=20；若1号盒子放6个球,则公差为（20－6）÷7=2；若3号盒子放15个球,则公差为 （20－15）÷（8－3）=1.

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【例10】有9个数成等差数列,从小到大排成一行,中间的数是9.前6个数的和比

后3个数的和少9.那么第9个数是多少？

【答案】17.

【解析】总和为9×9=81,后三个数为（81+9）÷2=45,第8个数为45÷3=15,公差为

（15－9）÷（8－5）=2,第9个数是15+2=17.

【例11】若干人围成20圈,一圈套一圈,从外圈向内圈人数依次少4人,如果共有

880人,问最外圈有多少人？最内圈有多少人？

【答案】82；6. 【解析】 根据偶数项的等差数列特点分组,第一项与最后一项,第二项与倒数第

二项,第三项与倒数第三项,……,每组的和都相等,都是880÷(20÷2)=88,而第一项与第20项的差为(20－1)×4=76,利用和差公式,可得最外圈有(88+76)÷2=82（人）,最内圈有88－82=6（人）.

【例12】盒子里放有1个乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出1个乒乓球,将

它变成5个球后放回盒子里；第二次从盒子里拿出2个球,将每个球各变成5个球后放回盒子里；……；第十次从盒子里拿出10个乒乓球,将每个球各变成5个球后放回到盒子里,这时盒子里共有多少个乒乓球？

【答案】221个. 【解析】 魔术师第一次魔术后乒乓球增加5－1=4（个）,第二次后增加2×4=8（个）,

第三次后增加3×4=12（个）,……,第十次后增加10×4=40（个）.这时盒子里一共有1+4+8+12+……+40=1+(4+40)×10÷2=221（个）.

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课后练习：

1. 一个等差数列共有9项,每一项都比它前面一项大5,并且首项为17,求末项是

多少？ 【答案】57.

【解析】此数列是首项为17,项数为9,公差为5的等差数列.则根据末项公式

得：末项=首项+（项数－1）×公差=17＋（9－1）×5=57.

2. 一个等差数列的第一项是8,第十项是80,求公差是几？ 【答案】8.

【解析】第十项=首项+（10－1）×公差,所以第一项与第十项之间有10－1=9

（个）公差,公差为（80－8）÷（10－1）=8.

3. 小明在编号为1～7的七个盒子中放了一些玻璃球,已知每个盒子都比前一号

盒子多放同样多的玻璃球.如果4号盒子里放27个玻璃球,那么七个盒子里共放了多少个？ 【答案】189个.

【解析】题目中的第四个盒子中的玻璃球个数是27,就是中间项是27,项数是7,

和=中间项×项数,所以一共有7×27=189（个）.

4. 学校礼堂共有20排座位,已知第一排是15个座位,以后每排比前一排多一定

数量的座位,第十排有33个座位,求第20排有多少个座位？ 【答案】53个.

【解析】首项是15,第十项是33,公差是（33－15）÷（10－1）=2（个）,所以第

20排有15+（20－1）×2=53（个）.

5. 一个等差数列的第3项是7,前9项之和为99,这个数列的第20项是多少？ 【答案】41.

【解析】因为9项的和为99,所以第5项（中间项）：99÷9=11,公差：

（11－7)÷(5－3)=2,第20项：7+2×(20－3)=41.

6. 7个连续奇数的和为91,其中最小的数是多少？ 【答案】7.

【解析】项数是7,和是91,中间项（第4项）：91÷7=13,连续的奇数所以公差为

2,第1项：13－2×（4－1）=7.

7. 有13个数成等差数列,从大到小排成一行,中间的数是20.前6个数的和比后

7个数的和大64.那么第13个数是多少？ 【答案】8.

【解析】13个数的中间的数是第7个数,即第7项为20.总和为13×20=260,后7

个数的和为（260－64）÷2=98,第10个数为98÷7=14,公差为 （20－14）÷（10－7）=2,第13个数是14－2×（13－10）=8.

8. 幼儿园380个小朋友围成若干个圆(一圈套一圈)做游戏,已知最内圈20人,最

外圈56人,如果相邻两圈相差的人数相等,那么相邻两圈相差多少人？ 【答案】4人.

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【解析】这一等差数列的和是380,首项20,末项56,先根据公式“和=(首项+末

项)×项数÷2”求出项数：380÷[(20+56)÷2]=10（圈）.再根据公式“公差=(末项－首项)÷(项数－1)”求出公差：(56－20)÷(10－1)=4（人）.

9. 在一次考试中几个同学的分数恰好构成了等差数列,排名第六的小红分数为

78分,前9名同学的分数之和为720分,这几个同学中排名第一的同学考了多少分？ 【答案】88分.

【解析】前9项的中间项（第5名）为720÷9=80（分）,公差(80－78)÷(6－5)=2

（分）,则排名第一的同学考了80+(5－1)×2=88（分）.

10. 盒子里放有2个乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出2个乒乓球,将每个

球各变成3个球后放回盒子里；第二次从盒子里拿出3个球,将每个球各变成3个球后放回盒子里；……；第十次从盒子里拿出11个乒乓球,将每个球各变成3个球后放回到盒子里,这时盒子里共有多少个乒乓球？ 【答案】132个.

【解析】魔术师第一次魔术后乒乓球增加2×(3－1)=4（个）,第二次后增加

3×(3－1)=6（个）,第三次后增加4×(3－1)=8（个）,……,第十次后增加11×(3－1)=22（个）.这时盒子里一共有

2+4+6+8+……+22=2+(4+22)×10÷2=132（个）乒乓球.

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