浙江大学05-06夏微积分三期末试卷【有答案】

题序

一

二

三

总 分

1－4

5－8

9

10

11

12

13

14

得分

评卷人

(1) 设l 为椭圆

4

x

2

y

2



1

的一周，其全长为a，则平面第一型（即对弧长的）曲线积分

c

(

2

x



y

)

2

ds



.

(2) 已知



ye

x



e



y



d

x



xe



y



e

x



d

y

为某二元函数

u

(

x ,

y

)

的全微分，且

u

(

0 , 0 )



1 .

则

u

(

x

,

y

)



.

（3）设

u 

u

(

x

,

y

,

z

)

具有二阶连续偏导数，且满足



2

u





2

u





2

u



x

2



y

2



z

2

,

x

2

y

2

z

2

S 为球面

x

2



y

2



z

2



a

2

(

a



0 )

的外侧，则第二类曲面积分


S

u

d

y

d

z



u

d

z

d

x



u

d

x

d

y



.

x

y

z

（4）设(y

)

具有连续的一阶导数，( 1 )



1 ,

l 为自点(0, 0)沿曲线

y



3

x

2 

2

x

到点(1, 1)的

有向弧，则平面第二型曲线积分

l

(

2

x(

y

)



y

)

d x



(

x

2(

y

)



y

)

d y



.

(5) 设

D



{(

x

,

y

)

|

x

2



y

2



0 }

，l 是D 内的任意一条逐段光滑的封闭曲线，则必有

(A)

l

(

x



y

)

dx



(

x



y

)

dy



0

(B)


l

(

x



y

)

dx



(

x



y

)

dy



0

x

2



y

2

x

2



y

2

(C)

xy ( x d yy d x )



l x 4y 4



0

. (D)


l

xy

(

x d y



y d x

)



0 .

【】

x

4



y

4

(6) 设S 为上半球面

x

2



y

2



z

2



a

2

,

z



0 ,

(

a



0 ),

下列第一型曲面积分或第二型曲面

(A)

S上上

x

d

y

d

z

.

(B)

S上上

y

2

d

y

d

z

.

【】

(C)

S

y

d

S

.

(D)

S

x

y

d

S

.

(7) 设

P

(

x

,

y

)

与

Q

(

x

,

y

)

在平面区域D 上连续且有连续的一阶偏导数，则“

Q



P

上

(

x

y

x

,

y

)



D

”是“对于D 内的任意一条逐段光滑的闭曲线l,

l

P

(

x

,

y

)

d x



Q

(

x

,

y

)

d y



0

”的

(8) 设空间区域





{(

x

,

y

,

z

)

|

x

2



y

2



z

2



9 ,

x



0 ,

y



0 ,

z



0 }

，函数

f

(x

)

为正值的

连续函数，则



f

(

x

)



2

f

(

y

)



3

f

f

(

z

)

dV



.

x

)



(

y

)



(

z

)

f

(

f

(D)

27

【】

(B)

9

(C)

27 2

(A)

9 2

(9) 设Ω是由曲面

z



1

(

x

2



y

2

)

与

z



8

所围成的空间有界闭区域，求



(

x

2



y

2

)

d V

.

2

(10)设S 是锥面

z



x

2



y

2

(

0



z



1 )

的上侧，求

S

x

d

y

d

z



2

y

d

z

d

x



3

z

d

x

d

y .

(11)设L 为空间曲线







z



x

2



y

2

，自z 轴正向往负向看，L 是逆时针的，求

x

2



y

2



2

x


L

y

2

d x



x

2

d y



z

2

d z

.

(12)设l 为自点

A (1 , 0 )

沿圆周

(

x



1 )

2



y

2



4

的上半个到点

B

( 3 , 0 )

的有向弧段，求

l

x

d y



y

d x

.

4

x

2



y

2

（13）设S 为曲面

z



1

(

x

2



y

2

),

(

0



z



1 ),

求第一型曲面积分

S

(

2

z



1 )

d

S

.

2

（14）设

(u

)

具有连续的一阶导数，点

A ( 1 , 1 )

，点

B

( 3 , 3 )

，l 为以

AB

为直径的左上半个

f

圆弧，自A 到B，求

l

(

1

f

(

x

)



y

)

d

x



(

1

f

(

x

)



x

)

d

y .

x

y

y

y

一．（1）a；（2）

ye

x



xe

y



1

；（3）

4



a

5

；（4）

1

.

5

2

（9）解1：原式



02

4

r

3

d

r



8

d

z



1024





0

r

r 2

d

3

解2：原式＝

2



8

d z



2

d

r

3 d

r



1024



0



0

0

3

S 1

:

z



1 ,

x

2



y

2



1

，下侧，V：

x

2



y

2



z



1 ,

D xy

:

x

2



y

2



1





d

z



3

原式



SS 1

S 1







6

d V



D xy



3

d



6



2

d

1

r

d

r



1

0

0

r

解2：化第一类曲面积分.

:

x

2



y

2



1

，

原
n

0



1

z

{

x

,



y

,

z }

S

:

z

2



x

2



y

2



0 ,

D xy

2

原式 S

(

x

cos

2

y

cos



3

z

cos

)

d

S



1

S

1

(



x

2



2

y

2



3

z

2

)

d

S



1

S

1

(

2

x

2



y

2

)

d

S

2

z

2

z



D x y

2

x

2



y

2

d



4





d

1

r

2

( 1



cos

2

)

d

r





2

2