底部剪力法和振型分解法比较分析

SHANGHAI UNIVERSITY

土木工程数值方法及应用

课程论文

COURSE THESIS

题 目:底部剪力法和振型分解法比较分析

学 院 土木工程系 专 业 土木工程 学 号 ******** 学生姓名 曹宝雅 指导教师 朱杰江 教授 日 期 2011/03/18

上海大学2010～2011学年冬季学期研究生课程论文

课程名称： 土木工程数值方法及应用 课程编号： 181101903

论文题目: 底部剪力法和振型分解法比较分析

研究生姓名: 曹宝雅 学 号: ********

论文评语:

成 绩: 任课教师: 朱杰江 教授

评阅日期:

底部剪力法和振型分解法比较分析

曹宝雅

（上海大学 土木工程系）

摘要：为验证抗震设计规范对底部剪力法和振型分析法的适用条件和范围的规定，本文用Fortran编写Jocabi法程序，对三层均匀、三层非均匀、四层均匀、四层非均匀、八层均匀和十一层均匀结构进行了比较分析，证实了规范的正确性，并给出了新的规律。

关键词：抗震；底部剪力法；振型分解法；Fortran；Jocabi法

Comparative analysis between bottom shear method and

modal analysis method

Cao Baoya

(Department of Civil Engineering, Shanghai Univercity)

Abstract: In order to vertify the rule of application conditions and range about bottom shear method and modal analysis method in earthquake resistant design code, this article has compared and analysed three-storey uniform, three-storey nonuniform, four-storey uniform, four-storey nonuniform, eight-storey uniform and eleven storey uniform structure by Jocabi method through Fortran program. The result has confirmed correctness of earthquake resistant design code. And it also give some new regularity.

Keywords: seismic resistance; bottom shear method; model analysis method; Fortran; Jocabi method

1 三种抗震分析方法的比较[1]

1.1底部剪力法

适用范围：对于重量和刚度沿高度分布比较均匀、高度不超过40m，并以剪切变形为主（房屋高宽比小于4时）的结构，振动时具有以下特点；(1)位移反应以基本振型为主；(2)基本振型接近直线。

基本原理：在振型分解反应谱法的基础上，针对某些建筑物的特定条件做进一步简化，而得到的一种近似计算水平地震作用的方法：将多自由度体系简化成单自由度体系，计算出结构总的地震作用（即结构底部剪力），再将其按倒三角形原则分配到各个楼层，计算结构内力。

1.2振型分解反应谱法

适用范围：除上述底部剪力法外的建筑结构。

基本原理：利用振型分解法的概念，把多自由度体系分解成若干个单自由度体系振动的组合，并利用单自由度体系的反应谱理论计算各个振型振动的地震作用，最后将各个振型计算出的地震效应按一定的规则组合起来，求出总的地震响应。

1.3时程分析法

适用范围：《抗震规范》规定，重要的工程结构，例如：大跨桥梁，特别不规则建筑、甲类建筑，高度超出规定范围的高层建筑应采用时程分析法进行补充计算。

基本原理：时程分析法是对结构物的运动微分方程直接进行逐步积分求解的一种动力分析方法。由时程分析可得到各质点随时间变化的位移、速度和加速度动力反应，并进而可计算出构件内力的时程变化关系。

2实例分析

某8层钢筋混凝土框架（如图1所示），集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值为G1=G2=…=G12=1200kN，柱的截面尺寸为800mmx800mm，采用C40的混凝土，E=32.5kN/mm2，梁的刚度EI=∞，建筑场地为Ⅱ类，抗震设防烈度7度，设计地震分组为第二组，设计基本地震加速度为0.1g，结构阻尼比ζ=0.05。

图1 某8层钢筋混凝土框架计算简图

2.1振型分解反应谱法

求结构的各周期和振型 2.1.1建立振动微分方程 （1）柔度法：

[A]=

：特征值

：特征向量

N层均匀结构柔度矩阵通式：

（2）刚度法：

K2MX0

[B]=

:特征值

：特征向量

N层结构刚度矩阵通式：

[K]n=

若k1=k2=k3=…=kn

2.1.2经典Jacobi法计算周期和振型[2] 只能用于实对称矩阵计算 （1）经典Jacobi法计算基本步骤: ①选定Ak-1非主对角线元素的最大值

②确定

③计算Ak

④计算Xk

2.1.3 Fortran程序计算[3] （1）程序内容:

DIMENSION A(8,8),V(8,8),P(8)

DOUBLE PRECISION A,V,P N=8 DATA P/8*1/

DO 10 I=1,N-1 A(I,I)=P(I)+P(I+1)

4

A(I,I+1)=-P(I+1) A(I+1,I)=A(I,I+1) A(N,N)=P(N)

10 CONTINUE

EPS=0.0001

CALL CJCBI(A,N,EPS,V,L) IF (L.NE.0) THEN

WRITE(*,20) (A(I,I),I=1,N) END IF

20 FORMAT(1X,8D13.4) WRITE(*,*)

WRITE(*,20)((V(I,J),J=1,N),I=1,N) END

SUBROUTINE CJCBI(A,N,EPS,V,L)

DIMENSION A(N,N),V(N,N)

DOUBLE PRECISION A,V,FM,CN,SN,OMEGA,X,Y INTEGER P,Q L=1 DO 20 I=1,N V(I,I)=1.0 DO 10 J=1,N IF (I.NE.J) V(I,J)=0.0

10 CONTINUE 20 CONTINUE 25 FM=0.0

DO 30 I=2,N DO 30 J=1,I-1

IF (ABS(A(I,J)).GT.FM) THEN FM=ABS(A(I,J))

P=I Q=J END IF

30 CONTINUE

IF (FM.LT.EPS) THEN L=1 RETURN END IF

IF (L.GT.1000) THEN L=0 RETURN END IF L=L+1 X=-A(P,Q)

Y=(A(Q,Q)-A(P,P))/2.0 OMEGA=X/SQRT(X*X+Y*Y) IF (Y.LT.0.0) OMEGA=-OMEGA SN=1.0+SQRT(1.0-OMEGA*OMEGA) SN=OMEGA/SQRT(2.0*SN) CN=SQRT(1.0-SN*SN) FM=A(P,P)

A(P,P)=FM*CN*CN+A(Q,Q)*SN*SN+A(P,Q)*OMEGA A(Q,Q)=FM*SN*SN+A(Q,Q)*CN*CN-A(P,Q)*OMEGA A(P,Q)=0.0 A(Q,P)=0.0 DO 60 J=1,N

IF ((J.NE.P).AND.(J.NE.Q)) THEN FM=A(P,J)

A(P,J)=FM*CN+A(Q,J)*SN A(Q,J)=-FM*SN+A(Q,J)*CN

END IF

60 CONTINUE

DO 70 I=1,N

IF ((I.NE.P).AND.(I.NE.Q)) THEN FM=A(I,P)

A(I,P)=FM*CN+A(I,Q)*SN A(I,Q)=-FM*SN+A(I,Q)*CN END IF

70 CONTINUE

DO 80 I=1,N FM=V(I,P)

V(I,P)=FM*CN+V(I,Q)*SN V(I,Q)=-FM*SN+V(I,Q)*CN

80 CONTINUE

GOTO 25 END

（2）对8层钢筋混凝土框架结构程序的运行结果如下图所示：

图2 该8层结构的特征值、特征向量程序计算结果

2.1.4振型组合 取前三阶振型进行计算

T1= 0.80783 T2= 0.27234 T3= 0.16719

表1 前三阶振型的特征向量

X1 0.08912 0.1752 0.2554 0.3268 0.3871 X2 X3 0.2554 0.4342 0.4342 0.4665 0.483 0.483 0.3871 0.1752 -0.08912 -0.3268 -0.4666 0.3871 0.4665 0.1752 -0.2554 -0.483 -0.3269 0.08912 0.4342 ①结构j振型i质点的水平地震作用标准值，按下式计算[4]

式中Fji——j振型i质点的水平地震作用标准值； αj——相应于j振型自振周期的地震影响系数； Xji——j振型i质点的水平相对位移；

rj——j振型的参与系数。 ②水平地震作用效应

图3 地震影响系数

表2 水平地震作用效应组合

层数 F1i F2i F3i V1i V2i V3i V/2 M 1 11.8964 20.8920 18.0992 349.3551 69.7506 22.7720 178.4886 446.2214 2 23.3844 35.5320 21.8116 337.4587 48.8586 4.6728 170.5046 426.2616 3 34.0889 39.5255 8.1963 314.0743 13.3265 -17.1388 157.4119 393.5297 4 43.6188 31.6777 -11.9368 279.9854 -26.1989 -25.3351 141.1737 352.9343 5 51.6672 14.3372 -22.5831 236.3665 -57.8766 -13.3984 121.8589 304.6472 6 57.9538 -7.2954 -15.2845 184.6993 -72.2138 9.1847 99.2636 248.1589 7 62.2783 -26.7431 4.1678 126.7455 -64.9183 24.4692 72.2454 180.6134 8 64.4672 -38.1752 20.3014 64.4672 -38.1752 20.3014 38.8121 97.0303 2.2底部剪力法

（1）基本原理[4]:

表3 顶点附加地震系数顶点附加地震作用系数 Tg(s) 0.35 <0.35~0.55 >0.55 T1>1.4Tg 0.08T1+0.07 0.08T1+0.01 0.08T1-0.02 T11.4Tg 0.0

（2）该8层钢筋混凝土框架结构计算结果：

表4 该8层结构底部剪力法计算结果

Fi 5.0225 10.0450 15.0675 20.0900 25.1124 30.1349 35.1574 40.1799 Vi 206.6112 201.5887 191.5437 176.4763 156.3863 131.2739 101.1389 65.9815 Vi/2 103.3056 100.7944 95.7719 88.2381 78.1932 65.6369 50.5695 32.9908 M 258.2640 251.9859 239.4297 220.5953 195.4829 164.0923 126.4237 82.4769 2.3该8层结构底部剪力法和振型分解法比较

表5 两种方法比较

八层均匀（ki=k,i=1,8；m） 层号 1 2 3 4 5 6 7 8 振型分解反应谱法（KN） 178.49 170.50 157.41 141.17 121.86 99.26 72.25 38.81 173.39 168.93 160.02 146.65 128.82 106.53 79.79 48.59 底部剪力法（KN） 相对误差(%) -2.86 -0.92 1.65 3.88 5.71 7.32 10.45 25.20 3其它比较

对结构层数发生变化，结构均匀性发生变化的情况下进行了类似的计算比较，如表6-表9所示：

表6 三层均匀、非均匀

三层均匀(k1=k2=k3=k；m) 层振型分解反号 应谱法（KN） 1 2 3

表7 四层均匀、非均匀

四层均匀(k1=k2=k3=k4=k；m) 层振型分解反底部剪相对误差(%) 四层非均匀（k1=k2=k3=k4=k；m） 振型分解反底部剪相对误差(%) 底部剪力法（KN） 相对误差(%) 三层非均匀（k1=k2=k3=k；m） 振型分解反应谱法（KN） 底部剪力法（KN） 相对误差（%） 132.08 122.40 105.79 102.75 60.17 63.45 -7.33 -2.87 5.45 136.48 122.40 -10.32 103.95 102.70 60.15 63.31 -1.20 5.24 号 应谱法（KN） 力法应谱法（KN） 力法（KN） 1 2 3 4

表8 八层均匀

八层均匀（ki=k,i=1,8；m） 层号 1 2 3 4 5 6 7 8 振型分解反应谱法（KN） 底部剪力法（KN） 161.82 153.16 141.66 138.52 106.31 109.25 58.44 65.34 -5.35 -2.21 2.77 11.81 （KN） 186.25 163.20 -12.37 153.19 147.50 106.84 116.11 55.56 69.03 -3.71 8.68 24.24 相对误差(%) -2.86 -0.92 1.65 3.88 5.71 7.32 10.45 25.20 178.49 170.50 157.41 141.17 121.86 99.26 72.25 38.81

表9 十一层均匀

173.39 168.93 160.02 146.65 128.82 106.53 79.79 48.59 十一层均匀(ki=k,k-1,12；m) 层号 1 2 3 4 5 6 振型分解反应谱法（KN） 底部剪力法（KN） 相对误差(%) 181.74 179.26 174.29 166.83 156.89 144.46 -3.18 -1.52 1.02 3.36 4.92 5.69 187.71 182.02 172.53 161.40 149.54 136.69 7 8 9 10 11 122.47 106.41 87.22 63.10 33.42 129.55 112.15 92.26 69.89 45.04 5.78 5.39 5.78 10.76 34.76 4数据分析与结论

4.1数据分析

（1）结构越不均匀，两种计算方法误差越大，如表6、表7所示。 （2）高度越高，误差越大，如图4所示。

（3）在三层（15m）以下，振型分解法算出的内力较大；三层以上，基底剪力法算出的内力较大；三层时，误差最小。如图4所示。

图4 高度不同的均匀结构计算结果比较

4.2 结论

从以上分析结果可以看出，对于高度小于40m（本例中八层以下）的均匀结构，底部剪力法和振型分解法计算结果具有较好的吻合性；而对于高度高于40m或非均匀结构，两种算法结果差别较大。因此，规范对高度小于40m的均匀规则结构采用底部剪力法，而对于一般的高层或非均匀结构采用振型分解法的规定是经济合理的。此外，我们还可以看到，对均匀结构，在15m（三层）的高度时，两种方法误差最小；在小于15m时，振型分解法算出的内力较大；而在大于15m时，基底剪力法算出的内力较大。

问题：本文采用的是经典Jocabi法进行的数值分析，经典Jocabi法只用用于对称矩阵的计算，对于质量变化的非均匀结构，刚度法公式

中的

方法来计算，如QR算法等。

将是非对称的，这就要采用其它的数值分析

参 考 文 献

[1]金春福.浅谈建筑结构抗震设计方法[J].中国科技信息,2006,(1).

[2]同济大学计算数学教研室.现代数值数学和计算[M].上海：同济大学出版社，2004.219-234.

[3]程誉，王惇，翁卫兵.Fortran语言程序设计[M].北京：中国电力出版社，2002. [4]GB 50011-2010 建筑抗震设计规范[S].