一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在▱ABCD中、如果∠A＝65°、那么∠C的度数是（ ） A．115°
B．65°
C．25°
D．35°
2．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A．5，12，13
B．1，2，
C．
，
，2
D．4，5，6
3．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为（ ）
A．2 B．1.5 C．4 D．3
4．（3分）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，下表记录了他们10次还原魔方所用时间的平均值与方差S2：
（秒） S2
甲 30 1.21
乙 30 1.05
丙 28 1.21
丁 28 1.05
要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
5．（3分）菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（ ） A．6
B．4
C．5
D．20
6．（3分）下列函数的图象y随x的増大而减小的是（ ） A．y＝2x
B．y＝3x+1
C．y＝4x﹣1
D．y＝﹣2x+1
7．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC丄BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是菱形
8．（3分）已知点E（﹣2，a），F（3，b）都在直线y＝2x+m上，对于a，b的大小关系叙述正确的是（ ） A．a﹣b＜0
B．a﹣b＞0
C．a﹣b≤0
D．a﹣b≥0
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A．20
10．（3分）已知y＝A．5≤y≤6
B．16 C．34 D．25
+5．当0≤x≤2时，则y的取值范围是（ ）
B．5≤y≤8
C．6≤y≤8
D．4≤y≤6
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）二次根式
在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）直线y＝﹣2x+3与y轴的交点坐标为 ． 13．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+6x﹣
＝0的两个实数根，则x1+x2＝ ．
14．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，则BC的长为 cm．
15．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为 ．
16．（3分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D
是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为 ．
三、解答题（本题共9小题，共102分.解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17．（10分）计算： （1）（2）（
+
﹣6﹣
÷
）2+2
18．（10分）解方程： （1）2x2﹣x﹣1＝0 （2）x2+4x＝77
19．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE＝OF． （1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD＝EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
20．（10分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）．
他们的各项成绩如下表所示：
候选人 甲 乙 丙 丁
笔试成绩/分
90 84 x 88
面试成绩/分
88 92 90 86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．21．（10分）已知一次函数y＝（m﹣2）x+n﹣1．
（1）若一次函数图象经过点（0，3）和（1，5），求一次函数的解析式； （2）若把一次函数的图象向上平移3个单位得到直线y＝3x﹣3，求m和n的值； （3）若一次函数的图象经过二、三、四象限，请判断方程x2﹣5x+2（m+n）＝0解的情况，并说明理由．
22．（12分）现有两家可以选择的快递公司的收费方式如下．
甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价．乙公司：按物品重量每千克7元计价，外加一份包装费10元设物品的重量为x千克，甲、乙公司快递该物品的费用分别为y甲，y乙．
（1）分别写出y甲和y乙与x的函数表达式（并写出x的取值范围）；
（2）图中给出了y甲与x的函数图象，请在图中画出（1）中y乙与x的函数图象（要求列表，描点）
x y
… …
… …
（3）若某微商店主选择甲公同寄快递更合算，求他所寄物品重量x的范围．
23．（12分）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝60°，AD＝8．点G是边AB的中点． （1）画出线段CG的垂直平分线，分别交CB于E，交CD于F（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求线段BE的值； （3）求△CEF面积的值．
24．（14分）如图，点E在正方形ABCD的边AD上运动，连接BE，把△ABE沿着BE翻折，点A的对应点为F，连接CF并延长与AD交于点G，与BE的延长线交于点P． （1）若∠FBC＝30°，求∠DCG的度数；
（2）判断∠BPC的度数是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是，请说明理由； （3）连接PD，探索线段BP，CP，DP数量之间的等量关系．写出关系式，并加以证明．
25．（14分）已知一次函数y1＝ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数y2
＝bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点A（1，4） （1）当a，b为何值时，y1和y2的图象重合；
（2）当0＜a＜4，且在x＜1时，则y1＞y2成立．求b的取值范围； （3）当△ABC的面积为
时，求线段DE的长．
2018-2019学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在▱ABCD中、如果∠A＝65°、那么∠C的度数是（ ） A．115°
B．65°
C．25°
D．35°
【分析】由平行四边形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A＝65°， 故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等是解题的关键． 2．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A．5，12，13
B．1，2，
C．
，
，2
D．4，5，6
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项符合题意； B、12+22≠（C、（
）2，不能构成直角三角形，故选项不合题意；
）2，不能构成直角三角形，故选项不合题意；
）2+22≠（
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项不合题意． 故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为（ ）
A．2 B．1.5 C．4 D．3
【分析】根据三角形中位线定理解答．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，CB的中点， ∴DE＝AC＝2， 故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．（3分）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，下表记录了他们10次还原魔方所用时间的平均值与方差S2：
（秒） S2
甲 30 1.21
乙 30 1.05
丙 28 1.21
丁 28 1.05
要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：因为乙和丁的方差最小，但丁平均数最小， 所以丁还原魔方用时少又发挥稳定． 故选：D．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（3分）菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（ ） A．6
B．4
C．5
D．20
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长．
【解答】解：由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO， 则AB＝故选：C．
＝
＝5，
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理在直角三角形中的运用；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
6．（3分）下列函数的图象y随x的増大而减小的是（ ） A．y＝2x
B．y＝3x+1
C．y＝4x﹣1
D．y＝﹣2x+1
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、k＝2＞0，y随着x的增大而增大，不符合题意； B、k＝3＞0，y随着x的增大而增大，不符合题意； C、k＝4＞0，y随着x的增大而增大，不符合题意； D、k＝﹣2＜0，y随着x的增大而减小，符合题意； 故选：D．
【点评】考查了正比例函数及一次函数的性质，解题的关键是了解比例系数的符号与其增减性的关系，难度不大．
7．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC丄BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是菱形
【分析】直接利用菱形与矩形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，故正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC丄BD， ∴四边形ABCD是菱形，故正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
四边形ABCD是矩形，故错误． 故选：D．
【点评】此题考查了菱形与矩形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．8．（3分）已知点E（﹣2，a），F（3，b）都在直线y＝2x+m上，对于a，b的大小关系叙述正确的是（ ） A．a﹣b＜0
B．a﹣b＞0
C．a﹣b≤0
D．a﹣b≥0
【分析】根据已知函数的解析式得出y随x的增大而增大，再比较即可． 【解答】解：∵y＝2x+m，k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大，
∵点（﹣2，a），（3，b）都在直线y＝2x+m上，﹣2＜3， ∴a＜b， ∴a﹣b＜0， 故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能理解一次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A．20 B．16 C．34 D．25
【分析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，OM＝2，推出OD＝AM＝5，再利用勾股定理求出AD即可解决问题．
【解答】解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°， ∴∠DAO＝∠ABM， ∵∠AOD＝∠AMB＝90°， ∴在△DAO和△ABM中，
∴△DAO≌△ABM（AAS）， ∴OA＝BM，AM＝OD， ∵A（﹣3，0），B（2，b）， ∴OA＝3，OM＝2， ∴OD＝AM＝5， ∴AD＝
＝
，
∴正方形ABCD的面积＝34， 故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 10．（3分）已知y＝A．5≤y≤6
+5．当0≤x≤2时，则y的取值范围是（ ）
B．5≤y≤8
C．6≤y≤8
D．4≤y≤6
【分析】先化简二次根式，然后由一次函数的性质来解答． 【解答】解：y＝
+5＝
+5＝|2x﹣1|+5．
∵0≤x≤2， ∴0≤|2x﹣1|≤3．
∴5≤|2x﹣1|+5≤8，即5≤y≤8． 故选：B．
【点评】考查了二次根式的性质与化简，一次函数的性质，注意：二次根式的被开方数是非负数．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）二次根式
在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥﹣2 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵二次根式∴x+2≥0，解得x≥﹣2． 故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12．（3分）直线y＝﹣2x+3与y轴的交点坐标为 （0，3） ． 【分析】令x＝0，求出y的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵当x＝0时，y＝3，
∴直线y＝﹣2x+3与y轴的交点坐标是（0，3）． 故答案为：（0，3）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 13．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+6x﹣【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣6， 故答案为：﹣6
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
14．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，则BC的长为 2
cm．
＝0的两个实数根，则x1+x2＝ ﹣6 ．
在实数范围内有意义，
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA＝OB，再根据邻补角的定义求出∠AOB＝60°，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB＝OA，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OB＝AC＝×4＝2cm， ∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝2cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC＝故答案为：2
．
＝
＝2
cm．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了矩形的对角线相等且互相平分．
15．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为 ．
【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【解答】解：根据勾股定理，AB＝BC＝AC＝
＝2＝3
， ，
＝
，
∵AC2+BC2＝AB2＝26，
∴△ABC是直角三角形， ∵点D为AB的中点， ∴CD＝AB＝×故答案为：
．
＝
．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．
16．（3分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为 （3，） ．
【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题． 【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小． ∵D（，0），A（3，0）， ∴H（，0），
∴直线CH解析式为y＝﹣x+4， ∴x＝3时，y＝， ∴点E坐标（3，）， 故答案为：（3，）．
【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共9小题，共102分.解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17．（10分）计算： （1）（2）（
+
﹣6﹣
÷
）2+2
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算． 【解答】解：（1）原式＝＝0；
（2）原式＝5﹣2＝7﹣2＝7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18．（10分）解方程： （1）2x2﹣x﹣1＝0 （2）x2+4x＝77
【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）∵2x2﹣x﹣1＝0， ∴（x﹣1）（2x+1）＝0，
+2
+2+2
+2
﹣3
则x﹣1＝0或2x+1＝0， 解得x＝1或x＝﹣0.5；
（2）∵x2+4x﹣77＝0， ∴（x﹣7）（x+11）＝0， 则x﹣7＝0或x+11＝0， 解得x＝7或x＝﹣11．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE＝OF． （1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD＝EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB＝OD，由SAS证明△BOE≌△DOF即可； （2）先证明四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等即可得出四边形EBFD是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，
在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（SAS）；
（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：如图所示： ∵OB＝OD，OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， 又∵BD＝EF，
∴四边形EBFD是矩形．
，
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
20．（10分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）．
他们的各项成绩如下表所示：
候选人 甲 乙 丙 丁
笔试成绩/分
90 84 x 88
面试成绩/分
88 92 90 86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．【分析】（1）根据中位数的概念计算； （2）根据题意列出方程，解方程即可；
（3）根据加权平均数的计算公式分别求出余三名候选人的综合成绩，比较即可． 【解答】解：（1）这四名候选人面试成绩的中位数为：（2）由题意得，x×60%+90×40%＝87.6 解得，x＝86， 答：表中x的值为86；
（3）甲候选人的综合成绩为：90×60%+88×40%＝89.2（分）， 乙候选人的综合成绩为：84×60%+92×40%＝87.2（分）， 丁候选人的综合成绩为：88×60%+86×40%＝87.2（分）， ∴以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙．
＝89（分）；
【点评】本题考查的是中位数、加权平均数，掌握中位数的概念、加权平均数的计算公式是解题的关键．
21．（10分）已知一次函数y＝（m﹣2）x+n﹣1．
（1）若一次函数图象经过点（0，3）和（1，5），求一次函数的解析式； （2）若把一次函数的图象向上平移3个单位得到直线y＝3x﹣3，求m和n的值； （3）若一次函数的图象经过二、三、四象限，请判断方程x2﹣5x+2（m+n）＝0解的情况，并说明理由．
【分析】（1）把点（0，3）和（1，5）代入y＝（m﹣2）x+n﹣1，求出m和n的值，即可得出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数的图象向上平移3个单位得到直线y＝3x﹣3，求出原函数的解析式，再与函数y＝（m﹣2）x+n﹣1进行比对，即可求出m和n的值；
（3）根据一次函数的图象经过二、三、四象限，得出k＜0，b＜0，从而求出m，n的取值范围，再判断出方程△的值大于0，即可得出方程x2﹣5x+2（m+n）＝0解的情况． 【解答】解：（1）∵一次函数图象经过点（0，3）和（1，5）， ∴解得：
， ，
∴一次函数的解析式是y＝2x+3；
（2）∵一次函数的图象向上平移3个单位得到直线y＝3x﹣3， ∴原一次函数的是y＝3x﹣6， ∴m﹣2＝3，n﹣1＝﹣6， ∴m＝5，n＝﹣5；
（3）∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴m﹣2＜0，n﹣1＜0， ∴m＜2，n＜1，
∴方程x2﹣5x+2（m+n）＝0的判别式△＝25﹣4×1×2（m+n）＝25﹣8（m+n）＞0， ∴方程x2﹣5x+2（m+n）＝0有两个不相等的实数根．
【点评】本题重点考查了根的判别式、一次函数的性质及图象与几何变换，是一个综合
性的题目，也是一个难度中等的题目．
22．（12分）现有两家可以选择的快递公司的收费方式如下．
甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价．乙公司：按物品重量每千克7元计价，外加一份包装费10元设物品的重量为x千克，甲、乙公司快递该物品的费用分别为y甲，y乙．
（1）分别写出y甲和y乙与x的函数表达式（并写出x的取值范围）；
（2）图中给出了y甲与x的函数图象，请在图中画出（1）中y乙与x的函数图象（要求列表，描点）
x y
… …
0 10
1 17
… …
（3）若某微商店主选择甲公同寄快递更合算，求他所寄物品重量x的范围．
【分析】（1）根据题意可知甲公司为分段函数；根据乙公司的快递费用＝7×物品重量+10，即可得出y乙与x的函数表达式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征找出y乙与x的函数图象经过的两点，描点、连点成线，即可画出（1）中的函数图象．
【解答】解：（1）由题意可知y甲与x的函数表达式为：
；
y乙与x的函数表达式为：y乙＝7x+10（x≥0）；
（2）当x＝0时，y乙＝7x+10＝10； 当x＝1时，y乙＝7x+10＝17．
描点、连点成线，画出函数图象，如图所示．
故答案为：0；1；10；17．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用待定系数法求出相应的函数解析式．
23．（12分）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝60°，AD＝8．点G是边AB的中点． （1）画出线段CG的垂直平分线，分别交CB于E，交CD于F（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求线段BE的值； （3）求△CEF面积的值．
【分析】（1）利用尺规作出线段CG的垂直平分线即可． （2）连接BD，DG，作EH
CD于H．设CH＝x．利用相似三角形的性质，解直角
三角形等知识，构建方程求出x即可解决问题． （3）利用勾股定理求出OE即可解决问题． 【解答】解：（1）如图直线EF即为所求．
（2）连接BD，DG，作EH∵四边形ABCD的菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠BCD＝60°，
CD于H．设CH＝x．
∴△ABD，△BCD都是等边三角形， ∵BG＝AG， ∴DG⊥AB， ∵AB∥CD， ∴DG⊥CD，
∴∠AGD＝∠CDG＝90°， ∵DG＝AD•sin60°＝4∴CG＝
＝
，
＝4
，
∵EF垂直平分线段CG， ∴OC＝CG＝2
，
∵△COF∽△CDG， ∴∴∴OF＝
＝＝
＝
， ＝
，
，CF＝7，
在Rt△CEH中，∵CH＝x，∠EHC＝90°，∠CEH＝30°， ∴EH＝
x，EC＝2x，
∵tan∠EFH＝tan∠CFO， ∴∴
＝＝
，
，
∴FH＝x， ∴CH+FH＝CF， ∴x+x＝7，
∴x＝∴EC＝
， ，
＝
．
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣
（3）在Rt△OEF中，OE＝∴EF＝OE+OF＝
+
＝
＝， ＝
．
＝，
∴S△CEF＝•EF•CO＝•
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．（14分）如图，点E在正方形ABCD的边AD上运动，连接BE，把△ABE沿着BE翻折，点A的对应点为F，连接CF并延长与AD交于点G，与BE的延长线交于点P． （1）若∠FBC＝30°，求∠DCG的度数；
（2）判断∠BPC的度数是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是，请说明理由； （3）连接PD，探索线段BP，CP，DP数量之间的等量关系．写出关系式，并加以证明．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠ABE＝∠EBF，AB＝BF，由等腰三角形的性质可求∠BCF＝75°，即可求解； （2）设∠FBC＝x°，则∠BCF＝∠BPC的度数；
（3）如图，连接PD，BD，延长PB到N，使BN＝PD，由“SAS”可证△NBC≌△PDC， 可得PC＝CN，∠PCD＝∠BCN，可得∠PCN＝90°，由等腰直角三角形的性质可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
＝90°﹣
，由三角形内角和定理可求
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵把△ABE沿着BE翻折，点A的对应点为F， ∴∠ABE＝∠EBF，AB＝BF，且AB＝BC， ∴BF＝BC，且∠FBC＝30°， ∴∠BCF＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCG＝15°；
（2）∠BPC的度数是定值， 理由如下：
设∠FBC＝x°，则∠BCF＝∴∠PBF＝
＝45°﹣
，
+x°）﹣（90°﹣
）＝
＝90°﹣
，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣（45°﹣45°； （3）PB+PD＝
PC．
理由如下：如图，连接PD，BD，延长PB到N，使BN＝PD，
∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BDC＝45°， ∵∠BDC＝∠BPC＝45°，
∴点B，点C，点D，点P四点共圆，
∴∠BPD＝∠BCD＝90°，∠PBC+∠PDC＝180°， ∵∠NBC+∠PBC＝180°，
∴∠NBC＝∠PDC，且BC＝CD，BN＝PD，
∴△NBC≌△PDC（SAS） ∴PC＝CN，∠PCD＝∠BCN， ∵∠PCD+∠PCB＝90°， ∴∠NCB+∠PCB＝90°， ∴∠PCN＝90°，且PC＝NC， ∴PN＝
PC，
PC， PC．
∴PB+BN＝∴PB+PD＝
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（14分）已知一次函数y1＝ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数y2
＝bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点A（1，4） （1）当a，b为何值时，y1和y2的图象重合；
（2）当0＜a＜4，且在x＜1时，则y1＞y2成立．求b的取值范围； （3）当△ABC的面积为
时，求线段DE的长．
【分析】（1）把A（1，4）代入y1＝ax+b求得a+b＝4，得到b＝4﹣a，于是得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）第一种情况，如图2，第二种情况，如图3，根据函数解析式得到B（C（
0），D（0，4﹣a）．E（0，a），求得BC＝
﹣
，0），
，根据三角形的面积列
方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵y1＝ax+b的图象过点A（1，4）， ∴a+b＝4， ∴b＝4﹣a，
∴y1＝ax+（4﹣a），y2＝（4﹣a）x+a， ∵y1和y2的图象重合， ∴a＝4﹣a， ∴a＝2，b＝2；
即当a＝2，b＝2时，y1和y2的图象重合； （2）∵a+b＝4，如图1，
∴a＝4﹣b， ∴y1＝（4﹣b）x+b， y2＝bx+（4﹣b），
∵0＜a＜4，0＜4﹣b＜4且x＜1时，y1＞y2成立， ∴由图象得4﹣b＜b， ∴2＜b＜4；
（3）第一种情况，如图2， 根据题意易求得B（∴BC＝
﹣
，
﹣
）＝
，
，0），C（
0），D（0，4﹣a）．E（0，a），
∵S△ABC＝BC•ya＝×4（∴2•
＝
，
解得：a＝1或a＝6，
∴D1（0，3），E1（0，1），D2，（0，﹣2），E2（0，6）， ∴DE1＝2，DE2＝8； 第二种情况， ∵B（∴BC＝∵S△ABC＝
，0），C（
， （
）＝
，
，0），D（0，a）．E（0，4﹣a），
解得：a＝3或a＝﹣2，
∴D3（0，3），E3（0，1），D4（0，﹣2），E4（0，6）， ∴DE3＝2，DE4＝8，
综上所述，DE＝2或DE＝8．三角形的面积的计算，
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
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