坐标系

知识梳理 知识点 考纲展示 ❶ 理解坐标系的作用． ❷ 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． ❸ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． ❹ 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义． ❺ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别． ❶ 了解参数方程，了解参数的意义． ❷ 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． ❸ 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． ❹ 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.

1．坐标系 (1)坐标变换

x（λ>0）x′＝λ·

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，

y′＝μ·y（μ>0）

坐标系 参数方程 点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．

(2)极坐标系

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．

2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单

x＝ρcos θ

位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则，

y＝ρsin θ

ρ＝x＋y. ytan θ＝（x≠0）x

222

要点整合

1．常见直线的极坐标方程

(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；

(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； π

(3)直线过点M(b，)且平行于极轴：ρsin θ＝b.

22．几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos θ； π

(3)当圆心位于Ma，，半径为a：ρ＝2asin θ.

2

题型一．平面直角坐标系中的伸缩变换

x′＝3x，y2

例1．求椭圆C：x＋＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．

642y′＝y

2

[解] 设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)， 1x＝3x′，y22

由上述可知，将代入x＋＝1，

64

y＝2y′，x′24y′2

得＋＝1，

964

x′2y′2x2y2化简得＋＝1，即＋＝1为曲线C′的方程，表示焦点在y轴上的椭圆，焦点

916916坐标为(0，7)，(0，－7)．

x′＝λx（λ>0），

平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将

y′＝μy（μ>0）

x＝λ，y′x′

代入y＝f(x)，得＝fλ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程 y′μ

y＝μ

x′

1x′＝x

2

变式：在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C1：x2＋y2＝36变为

1y′＝y

3



曲线C2.

(1)求C2的方程；

(2)P、Q分别为C1与C2上的点，求|PQ|的最小值与最大值．

解：(1)设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，

x＝2x′则， y＝3y′

∴4x′2＋9y′2＝36， x′2y′2即＋＝1.

94

x2y2

∴曲线C1在伸缩变换后得椭圆C2：＋＝1.

94

(2)C1是以O为圆心，半径r＝6的圆，C2是以O为中心，长半轴长a＝3，短半轴长b＝2的椭圆，

∴|PQ|min＝r－a＝6－3＝3. |PQ|max＝r＋a＝6＋3＝9.

题型二．极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化

π2

例2. 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsinθ－＝.(ρ≥0，0

42≤θ<2π)

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标． [解] (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，

π2

直线l：ρsinθ－＝，

42

即ρsin θ－ρcos θ＝1，

则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0. (2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，

22x＋y－x－y＝0，

将两方程联立得

x－y＋1＝0，

x＝0，

解得

y＝1，

π即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为1，，

2即为所求．

将极坐标(或极坐标方程)转化为直角坐标(或直角坐标方程)，直接利用公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ即可．将直角坐标(或直角坐标方程)转化为极坐标(或极坐标方程)，要灵活运用xy

＝ρcos θ，y＝ρsin θ以及ρ＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，同时要注意θ所在直角坐标系中的象

x限．

变式：在极坐标系中，曲线ρ＝acos θ围成的几何图形的周长为________． 解析：由ρ＝acos θ得

ρ2＝aρcos θ，即x2＋y2－ax＝0，

aa

x－＋y2＝， 即22|a|

曲线表示半径r＝的圆，

2|a|

其周长为2πr＝2π·＝π|a|.

2答案：π|a|

2

2

题型三．曲线的极坐标方程的综合应用

例3. 在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的

4面积．

[解] (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

π

(2)法一：将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，

4解得ρ1＝22，ρ2＝2. 故ρ1－ρ2＝2， 即|MN|＝2.

1

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.

2法二：(数形结合法)

由图知△C2MN是腰长为1的等腰直角三角形， 1∴S＝. 2

在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极

坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．

6

变式：在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，A、B是C上两点，22cosθ＋3sin2θO为极点，若OA⊥OB，求△OAB面积的最大值．

π662

解：可设A(ρA，θ)，B(ρB，θ±)．∴ρ2， 22，ρB＝2A＝22cosθ＋3sinθ2sinθ＋3cos2θ3622∴ρAρB＝ 22（2cosθ＋3sinθ）（2sin2θ＋3cos2θ）＝

，

12

sin2θ＋64

36

2

∴当sin22θ＝0时，(ρ2AρB)max＝6，即(ρAρB)max＝6.

16∴S＝ρAρB的最大值为.

22