4. 古希腊时期.人们认为竝艾人体的头顶至肚肪的K嗖与肚咗至足农的长嗖之比足毘 “・618,称为黄金分別比例人方名的-新臂纹纳斯••便足如此•此外，川夭人体的头顶至咽
喉的长度®咽嗾至11脐的氏度之比也是、''一1 •若某人満X」述两个员金分削比例.R腿怏为
105cm- 2
头顶至酥子下端的长度为26cm.则尖身离可能足（
A.165cm
CCSX + X*
>
C.185cm
D.190cm
B.17Scm
5•设函数/⑴二竺迟二任［一心才］的图像为（ ）
B. G 0.
6枭学校为了解］000名新生的打幻质.将这些学生编号为1. 2・•••■ 1000•从这些新生中用系统抽样 的力•
法等距抽収100名学牛进行测试.若46号学生被抽氐 则Ffii4名学生中被抽取的足（
A 8号学生 7. tan 255 =(
A.8号学生 8•己知II芳向年a •
A.-2-V3 9•右国是求
21
A
CA = ——
l + 2/f D. = 1 + -
2A
）
B.200号学生
C.616号学卞
D.81S号学牛 > D.24-V3
B.200号学生
C.616号学生
D.815号学生
2満足|« -2p . n（a-Z）±Z.则a与&的央角为《
8.-2 + VJ C.2-V3
宇挺■图中H-I卫煩入（
A. A = B. -4 = 2 + —
10.XZIlli线C-与= l（d>0・b>0）的 条渐近线的恤皿为130 •则「的离心
辜为（ a h
A. 2sin 40
( )
A6
B5
C4
D3
SinSO- °cos5()
ll.Azl^C 的内角 A.B.C 的对边分别是“,仅(，［2):11 a sin A-bsinB^4csin C . cos/二一丄・則。
4 c
B2COS4°
12 •己如椭网C的杰点为斥（-10）・尺（\"）•过佗的H线与C交亍・4\"两点•杆\"；=2|F” •
|個胡昭则C的方程为< x2 ,
A — + y 〜=1
2
）
X
v2
B — + -— = | 3 2
X2 y2
C — + -— = | 4 3 X2 V2
D — + -— = | 5 4
二、填空题：本题共4小題.毎小題5分.共20分・
13.
曲线y二3（x2 + _______________________ 在点（0,0）处的切线方程为 ・
14. idS,为等比数刃｛a」的斛〃项和.若a/ = ab.则S严 __________________________ ・
2/5
15•函奴 f (x) = sin( 2x 4 —) - 3cos x 的IA 小値为 __________________ ・
16.(2 W ZJC^ = 90\\ P为平ill ABC外 乩 PC = 2 .点P到Z/fCB两边，4C・月〃的拒肉均
为馅.那么P到Vrtn zi/?C的距离为 _______________________ .
三、齡答额：共7(：分・昭答E5弓出文字说明、讦明讨再或沽第1严21頌为必考预.每个试麵 考生都必须作
答.第22、23逸为选考題，考生根据要求作答. (-)必考越：60分.
1/. «】2分》
某商场为捉总服务质乩 陆机调仃了旳名男顾客和\"名女顾客.每位岡客对该商场的服务给出漓 总戍不满总的评价.得到卜列列联衣：
IMA 男顾客 不満盘 10 20 40 30
⑴ 分别佔计男、女皴客对该商场服务满总的槪率:
：2)能否有95%的把摊认为男、女科T*对该商场脈务的评价何叢片？
附宀——巴込——
(a+ />)(c +\")(41、)(\" + 〃)
P(K:>k) A 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
18. 《12分〉
记&为等刀:数処｛\"」的前〃项和•己如長=一心.
(1) (2)
若⑷=4,若仏｝的迪项公式8
冷p>0 •求使得S, »心的n取值小范啊.
文科11业
19. （12 分）
如乩ABCD一 4出CQ的衣而是菱形. 彳£=4・ AB = 2・ Z8.ID - 60fc. E.M.V 分别BC.
BB、・A、D的中点.
II）皿明：〃平而C.DEx
：2〉求点C•到平l^C{DE的距离.
O
已知函数 /（v） = 2sin.v-.vcos.v-x > f\\x）为/（x）的导0L
（I）证叭f（x）在区间（0皿）疗件呻审点：
2） ^.rG（O^]lll, f（x）>ax9 求\"的収侑小范生
20. (12 分〉
己划点A. B关于也标原点0対賂|/4同=4 •関\"疋点/!• B IV川线x + 2 = 0相切.
U） ?•； A
= O.^M
（2）是否存右淀点P.便得当才运讪七卜|MB|为址值？并说明理由.
（-）选考碗：共10分.请考生衽第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题汁分.
22』选修44堆标系勻参数方閏（10分）
|4/2
广自角半标系T0中・闻红「的罗数方秤为丿.
T^7
（/为聲數）.以七标原心。为极点.X轴
j说轴逼立啖坐标系.直线/的极坐标方程为2pg•+屁sia0+11事
（1）求cm/的直曲坐标方程：
2）求C 1：的点到/距离的赧小值.
23•［选修45 不等式选讲)(10 /> )
已知4厶c为正数.且满足abc = l・证明:
(1> 丄 + 丄 +
u h c
(2) (a + 6)' + (d + c)3+(c + a)-^24・
立总龄
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案及评分参考
r选择題
I. C 2. C 3. B 4・ B 5・ D 6・ A 7. B 8. A 9. A 10. B ll・C
帕 CC ^(-x)3 sin|-Aj*|sin(-x)| s n|v| + §in ” 二/(x) •正呦x
2； x 〒，兀]时，sin|xj = sin x .[sin f = sin x /(x) = 2sinx. /'(x)在(召‘ Jtj 上通减 错 i吴:
①当*卜九
兀］时, /(.r) = 2|sin.xj =
2MIIx ・ xSxcO
2sinx・ 0= 0时•解得：丫二（）• Y二N或Y 共3个殍点•停灵:4油题总可知“尹•/（% =2,正确.
故选C・
12. D
解：设 PR 二 2山中线 k定理 fl PC^AC1 = 2（胡 + 曲）=>4/ + 4 = 2（az 十E）2■宀/+2
在△CEF中.CE2 +£尸=* n/+2 + / =3=>a= —
2
・・・PA = 41 •••三校tt P・ABC为上三枚锥，
・・・卩住底血的射彫为△ cz厂的屮心Q •辻搖人4
pq = ^(V2)2-(|v3); = ¥
gPO告逶告i占心届
二、填空题
13・ y = 3x
解：市題总知：F^^ AH
•••人为F/的中点•且O为屮点 A AO %△卜Z中位线
乂T丽丽=0=> 丄八〃
•••点3在渐近线v = -.v±
a
又••• A为的中点
-c + “ 2 b
•••点A任渐近线y・厶上
即双曲航离心轧丄=2
17. (I)(sin B sinCf - siir A B^inC oMn; B + >in: C sin/?sinC - sin2 A
=> 汉十 c： - be n 2cos 4 -1 => cos 4 = - => -4 -—
2
3
⑵迈“+ b = 2r n “$in A + sinB =2sinC n、：•+sin] ~n C ] = 2sinC
=> 2sinC-翌cosC十士inC =酉
2 2 2
n -sinC - - ' cosC _、& 0 V^sinl C I -
2 2 2
I 6 丿 2
nsm C -------- =—— I 6丿2
.(片)d
V2 V3 V2 I 76 + 72
sin C = sin
—.—+ —— •—= -------------------
2 2 2 2 4
3
1X・⑴证明：连ME・B,C •由M. E分别为〃M1 点•易得ME £ B、C ■
ME \" B、C・父因为入D “B「 NM；A,D ■所次 ND U B、C , ND = 2*，所以
* ■
ME “ ND・ME = ND・所以舛边形NMED是平行W 边形.所以 MN if DE . 乂因为 MN a f lfiC.DE . DE u 半曲CJM • 所以MN 〃
半向C\\DE・
3
（2）解：楚“如图所示的空间讥角乜标系.山趣片人4 •人8 = 2. /HAD 60° •易如 各点的坐
标为：川2,0・0）・A（2» 0. 4）. M（l・75・2）, \"（1,0,2） •则： 4JV=（-b 0. 2）. M/=
（0•苗・（））• /U, =（0. 0. 4）. 4A/=（-!• 7?. 2）・
设半血人加•和半iftj./M的法向*分别为H, =（.1 • V, . ：）•从=（9 • V . Z：｝-
诃“,胡
所以具中―个斤=（2・0. 1）・
叫・NM =0
又！2竺o解得卜■如,所以其中-个时=（屈|,（））. |/I XW =0 所畑阡可=菊=鑰=乎,所畑何.可冲 所以二而介—旳-N的正弦值为廻・
5
19.⑴设人（厂片）、8（补丹）・自线/的方程为y =
+
2
v2 = 3x
联立桶岡方秤峙肖线方稈得：
3
Vv = - x + m 2
消去）丿整理得：9.『+（]力〃 - I2）K +4”, =0
A«(12m-!2)\" 4x9x4m' = 144 288m>0t ..m<^
i2-12m
AnC
W 9 1 k 9
门赳可知焦乱地为八
: 由拋物线忤丿贞町知：AF| + |〃F| =人+也+ “ = 4 ・••竺旦二丄，解得皿=丄 满足A>0 9 2 8 ・・・/的力程为\"]?
i O
⑵设交点p（q, 0）,直线/的方程为\"匕 匕
/-3A
联匚林回方程与N线方秤得：
2
河£」比利係、・-2v — g=0
匕=0
・・・0 —〉严3（丹-0）
•・.一片=3旳
联立卜+竽1解g J）—-1 卜甘3儿
:.-3*° = >!>•,二一3八・・心二 1 •满足 A > 0
•・・网卜/心-丄2）'+卜-儿）'
20. d>yf(A)= cosx ------------ ■令£(K)=厂(x) = cosx -------------
• I > 1 ,
,町|,分
日上恒成立, “⑴二 _CO、X ------ --- <0 在 卜|・
(\"I)
则g'（x）d] I. 上单调遡减・
• V(0)»l>0.彳分厂
(r
2 16
1
则存在唯一的“（0.勻使紂*（州）=0, 则当\"（-1•心）时./（*）\"• gfr）金（」•斗）上单HUMttL
即&（.丫）打彳\\,費1&农呛•的极大C点，WM?总得
证.
⑵/（.r）=siiiA-ln（l + .r）
— 在（T.入）匕单円递增.在 .r+1 ①当时,由⑴可知,K（A）=cosx
（人，彳‘;上单调递诚，
又片
| Or , fl ^(0)=0- K 打，便側
訴，
PCJM.
«J'trG(-l. 0). \\X)・？)时.g(X)<0, ,li.t€(0.片)时.j?(x)>0.
则/(x)rt-(-L 0). ；A-(. y| I:单凋递拓 ft(O. ,r,)卜肿递増,
盯（0）=0, /jy ； =1- In； 1十£卜0,
\\ 2 /
所以|j存金•个不点.即/（0）= 0.
■
7 -兀吋• •厂S）-
co^.t ---------- <0 ・岀：/ (x) &
■ I
n —9 /T
■
卜卬调i蚩减.H.
心)
>0・ /(;r) = -ln(1+ /r)v0 • W1! f(x\\ 在 V■■兀匕存在唯一的2二点・
③SA€(ZT » 會8)时•易Xllsiiix（;?■ +«）上不存在孚点・ 综丄和述• /（口秤（一1・+8）・1：冇且仅有曲企布点.21.⑴X所有可能的取值为-1, 0, lr
P(.Y=-|) = (|-a)/T P(X=0)= \"4(l-a)(l-“)
则X的分布列为:
X -1 0 1 6
p
(1・“)0 妙+(l-a)(l-0) 4\") ⑵i・
由⑴町如 n = P（X =-1） = 04. /> = P（X=0） = 0.5. c = /J（X=l） = （>」 则有 £ = 0.4P t +O57>+0」P「BPO.5A> =04£ 丨 + 0」£“ • 则有0.1（人・£）=0.4化十J叩£■厂P\"（—
则数列比厂P｝（心0.】• 2.….7）是以4为公比•以斥一此为首项的等比数列.
• • 11・
由i町知.片二J（呂_&）•只一&=4°（片・心），••…■ £-人二4（片一&）•
I•述式子JR加右I
人一耳=（片_吒）（1+4 + 4*+…+4?卜（昇-引岂乜 ^/；=L /> =0 代入 I 二叫丄二1.
3
4 — I
同网.比-（卩化）（1 + 4 +尹+4）
257
由片二肖可知，为心°时'认为甲药比乙幽有效的槪率II'常小，为小概率半件・ 所以这种方糸比絞合理.
• «iMnin；< ：iii»jfe得才=耳=一1十丄.即则丄二力.代入竹
1+/ 1+厂 1 +/•
x+l = ----------- 二 --- n(“]) 14— r
4(“叽 4(2)-
X+I
白纟£丿・工一卩5八〃 ••一 /75111 0 > 入得 2A ± J5> 4-11—0
7
⑵由宁宀可得C的参数方程为｛；：；：；：；（0为参敷）
2cos\" + 2屈in〃+ll| 伽討♦ : |+11
,2j^ + - = -/r时.
6 2
23・（】）・・ “ZH =1•“・b・c匚R.・；・—二b« , 一二ac・-二ub・ a b c
嬰证“‘ 2 丄 + 丄+ 丄■即证,+b： +/ A be + ac + cb •
a b c
即证加 h 2lr * 2（' 2 2/x 4 2M 4 2ith
ill均値不镯试可阳* 2如,宀八加,当且仅吕 a-b-c-l时取等号.
三式HI加可得 2a + 0 + 2cy a 2bc + lac + 2ob, 原不等式得证.
⑵ID均值不等AnJ W- +（» + <・） +（\"“）'N3・^2j亦・2伍・2阪、=3-Vs? = 24. Xfi5T1“\"n・=i时取等号.
2侖7）十（2\\&）（
文科答案
一、选择: 二、填空，
1-6： CCBBDC 13・\"3x
14.|
7-12： DBADAB
15・・4
16・迈
12•依世点可加：6 为OF”佗的丰仿线 =04 〃尺 =3也8尺斤一 urn乙40斤 : 乂 Z斤
阳 :，F F十込一 M・乂乙HUF十乙AOF严厶BF2
15. f{x) — cosZv 3cos.v - I 2ws:x 3COSMW …、小'‘丄 I /-in.
4
厲團像 I' I 〈间irjP?r .
16. / 的射影力〃・浪据18倉咏：:C/! \"CH■壬
由二余弦定艸.得：cos /¥7/ • cos Z ACH cos Z PCA r cos/ P( “ ' /
_ y/2 一
•• sinZPCM二 \\ .•・ PH — \\ 2
三、解答:
17. （丨）P 二 0.8： Pu=0.6
（2）
18.
'^>4>3.K4!.故有95%的把掘认为男•女顾客对该商场的杵价有堆异。
（ I ）由題可灿：局 9心-依 a< 0.艮'4•故亿・2n * 10 < 2 ）依J&左设：心-幻r + b 乂侬 0•冯\"二$£即亿=后 5k
故：久-；『:伽
\\ ^>0, .\\-4k >O.fg： i<0
•・ £,上6几* 0「匕简得:,lln + !0^0t«M： 1W”GO・且川 N.
19. ( I ) JU ID中点F.违BF・VF.身证$四边形MVFB.处DF部是¥行四边形
MN BF DE.从而iir^A/A^riftlGO/r
(2) P；上上一 ；X X4- 2；', 乂D£二V),
DC,-2v/5, CE = yT7
则：DC,2 = DEZ CE'・・・・M_EG・・ $^g=； £
设所求趾离为h^\\h ^-― 扌/
20. 1
/ (r) 一 CCKX + VMUV I—-• f (v) 一 vcosr
/ (x)在(o. '； ) M： /(x)6i ( ； » 单减；
故专\"(o.；)时./(x) > / (0) 0： %•£(；, “IH・ /(；)= 2 I ・ /\")= -2 根抓爭虫«化件定珂：」唯一的“_(；.”.便得/(乩)=0 综上:/•(”)在区间(OR存在雖•手点“
(2)设g(x) = /(x) or•注盘到g(0)=0・又必”0在[0.刃上粗成万
J圧必了门g (0) M0•从而可得,< 0《必要性得怔〉
反乙 当“ 30时.av<0.li] (1 >対UW在((h屁)巾贈・在(心，町卩减
../(•X)…
min{/(0).f(x)}
0>ax(充分性得世)
综上；“三(8.0]
21. ( 1 )闘心M(o・0)•則r = \\a + 2\\.O'：OM24OA2 = r2可得< 如+4
\" + 4a + 4 ’； ) =\"s,na
解得：o=0或4=4,故；r — 2或6
(2 > 由逊當可 i殳 M (x.r) ..4(2 cosa. 2 sin a) .OM = /. “J 得：x = l cos (“
y \"in (a ： ) • \\fQ \\fA /On“
/cosrt.H M 作 N0 ®
2 丁 0
2 vz(fsina —2aw«)24- (2sina + /dna)2
化衙佚 /?cos:a - 4/sin«.即4A ・
故存在P < L0)合题.此时M4 MP A论 MH - I
线x I 交丁 \"点
6
£宀 f Cd + 弓
l:2x + \\ 3^ + 11 0
(2 )设所求距离为\"・C上任总一点P (cosa. 2sm*.* a + b2 f-c? ab ac bc ^b2 c: > ab ac he 二
2
(W )
(2v 心)‘(FQ-6-C — 1 时取 “一T
[(a h)' + (a <•) ? (b c)'] >0
・(2V /M) ' ? 3 f(2\\ ab)(2\\/ac) (.
. ) -24
7