弦的中点问题

温县第一高级中学数学组 任利民

弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点，且主要有以下几个命题角度：

角度一：利用中点弦确定直线或曲线方程

x2y2

[典题1] (1)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(4,0)，过点

abF的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )

x2y2x2y21 B. 1 A.

4536124x2y2x2y21 D. 1 C.

248189211xy21,(2)已知22是直线l被椭圆2 所截得的线段的中点，则

l的方程是________．

x2y2

[解析] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程＋＝1，得

a2b2

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.22ab两式相减可得：由 x1＋x2＝2，

y1y2101221,20,2xx14312ab3y1＋y2＝-2，代入上式可得：

2222222cab16,a24,b8. a3b即 ，又 联立解得

x2y21. 所以椭圆的方程为：

248(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则

x122y121，且

2x222y21，

两式相减得

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.

2y1－y21

又x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，所以＝－，

2x1－x2

111

故直线l的方程为y－＝－(x－)，即2x＋4y－3＝0.

222答案：(1)C (2) 2x＋4y－3＝0 角度二：由中点弦解决对称问题

[典题2] (1)已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线l：y＝－kx＋2对称，求k的取值范围．

x221

(2) 已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．

22

①求实数m的取值范围；

②求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．

[解析] (1)法一：由题意知k≠0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线上1

关于直线l对称的两点，则MN的方程可设为y＝x＋b(b>0)，代入y＝x2，

k1

得x2－x－b＝0，

k

11

所以Δ＝2＋4b>0，① x1＋x2＝.

kk

11

设MN中点的坐标为(x0，y0)，则x0＝，y0＝2＋b，

2k2k因为(x0，y0)在直线l：y＝－kx＋2上， 1131

所以2＋b＝－k·＋2，所以b＝－2.②

2k2k22k12将②代入①，得2＋6－2>0.

kk

6611

所以2<6，即k2>，所以k> 或k<.

k666故k的取值范围为(,66)(,). . 662

法二：设M(x1，x21)，N(x2，x2)关于直线l对称，

2x21－x211因为MN⊥l，所以＝，即x1＋x2＝.

kx1－x2k

又MN的中点在l上，

2

x2x1＋x21＋x213所以＝－k·＋2＝－k·＋2＝，

222k2

因为MN的中点必在抛物线内，

2x21＋x2x1＋x2312，即>2， 所以>222k2

所以k2>

661，即k> 或k<.

66666)(,). 66故k的取值范围为(,(2)①由题意知m≠0，

1

可设直线AB的方程为y＝－x＋b.

m

由1

y＝－mx＋b

x22

＋y＝1，2

消去y，得

1＋12x2－2bx＋b2－1＝0. 2mm

1x22

因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝

m24

－2b2＋2＋2＞0.(ⅰ)

m

2mb，mb1

将线段AB中点Mm2＋2m2＋2代入直线方程y＝mx＋解得b＝－

2

m2＋2

.(ⅱ) 2m2

由(ⅰ)(ⅱ)得m＜－666或m＞.故m的取值范围为－∞，－∪333

2

6，＋∞.

3

166

②令t＝∈－，0∪0，，

m22

3－2t4＋2t2＋

2

t2＋1·，

12t＋

2

t2＋

12

则|AB|＝

且O到直线AB的距离为d＝设△AOB的面积为S(t)，所以 11S(t)＝|AB|·d＝

22

t2＋1

.

12

t2－2＋2≤， －222

1

当且仅当t2＝，即m＝±2时，等号成立．

2故△AOB面积的最大值为

2. 2

处理中点弦问题常用的求解方法

(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式y1－y2

相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中x1－x2点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．

(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．