湘教版九年级上册数学期末考试试卷含答案解析

一、选择题。（每小题只有一个正确答案） 1．已知反比例函数y

k

的图象经过点（1，2），则k的值为（ ） x

A．0.5 B．1 C．2 D．4 aba22．已知＝，则的值是（ ）

b3b1123A． B． C．﹣ D．

53333．方程 x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．已知点A（3，y1），B（5，y2）在函数y＝A．y1＜y2

B．y1＞y2

5 的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）

xC．y1＝y2 D．不能确定

5．下列各式中，不成立的是（ ） A．cos60° ＝2sin30°C．tan30°•tan60°＝1

B．sin15° ＝cos75°D．sin230°+cos230°＝1

6．为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表： 4 月用水量（吨）户数 4 5 5 6 7 8 3 13 1 则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ） A．中位数是5

B．平均数是5

C．众数是6

D．方差是6

k7．k≠0）在同一平面直角坐标系中，函数y＝与y＝kx+1（k为常数，的大致图象是（ ）

xA． B．C． D．

8．如图，在ABC中，点D,E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断AED∽ABC的

1

是（ ）

A．AEDABC C．

ADED ACBCB．ADEACB D．

ADAE ACAB9．如图，点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，已知AE＝3，AC＝6，AD＝2，则BD的长为（ ）

A．4 B．6 C．7 D．8

10．在RtABC中，A90，若B45，则sinC的值为（ ） A．2

二、填空题

11．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，若BC＝2，则DE的长是_____．

1B．2 2C．3 2D．1

12．点P在反比例函数y＝﹣

4图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，则△POA的面积是_____． x13．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡度为i＝1：2.5，过B点作BC⊥AC．垂足为点C．若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为_____米．

2

14．已知关于x的方程x2+3x+q＝0的一个根为﹣3，则它的另一个根为_____，q＝_____． 15．两个相似三角形的最短边长分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么较大三角形的周长为_____cm．

416．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，且tan∠ADE＝，AC＝5，则AB的长

3____．

17．如图所示是小明家房子的侧面图，屋面两侧的斜坡AB＝AC＝6米，屋顶∠BAC＝150°，计划把图中△ABC（阴影部分）涂上墙漆，若墙漆的造价每平方米为100元，则这部分墙漆的造价共需_____元．

18．我们规定：等腰三角形的底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”．如图，

1△ABC是以A为顶点的“特征值”为的等腰三角形，在△ABC外有一点D，若∠ADB＝∠ABC，

2AD＝4，BD＝3，则∠ABC＝_____度，CD的长是_____．

三、解答题

19．计算：|﹣2|+（π+2019）0﹣2tan45°．

20．2018年全国青少年禁毒知识竞赛开始以来，永州市青少年学生跃参如，掀起了学习禁

3

毒知识的热潮，禁毒知识竞赛的成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格．为了了解我市广大学生参加禁毒知识竞赛的成绩，抽取了部分学生的成绩，根据抽查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图

（1）本次抽查的人数是 ；

（2）扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为 度； （3）补全条形统计图；

（4）若某校有2000名学生，请你估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有多少人？

21．为了预防“流感“，某学校对教室采用熏法进行消毒，已知药物燃烧时．室内每立方米空气中的含药量y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间x（分钟）成正比例；药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）已知药物点燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为15毫克．

（1）分别求出这两个函数的表达式：

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于3毫克时对人体没有危害，那么此次消毒后经过多长时间学生才可以安全进入教室？

4

22．某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同． （1）求平均每年生产成本下降的百分率；

（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．

23．如图，某数学兴趣小组为测量教学楼CD的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角∠DEG为30°，再向前走20米到达B处，又测得教学楼顶端D的仰角∠DFG为60°，A、B、C三点在同一水平线上，求教学楼CD的高（结果保留根号）．

24．已知关于x的方程x2﹣4x+3﹣a＝0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围；

（2）当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解；

（3）在（2）的条件下，若方程x2﹣4x+3﹣a＝0的两个根是等腰△ABC的两条边长，求等腰△ABC的周长．

25．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝45°． （1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值？

5

（3）在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．

26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y＝F．

（1）若D的坐标为（4，2）

①则OA的长是 ，AB的长是 ； ②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；

③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．

（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞0，求

EF的值． ACk的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，x

6

参考答案

1．C 【解析】

将（1，2）代入解析式中即可. 【详解】

解：将点（1，2）代入解析式得， 2k， 1k＝2． 故选：C． 【点睛】

此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解决此题的关键. 2．C 【分析】 将

aba变形为﹣1,再代入求值即可.

bb【详解】 a2解：∵＝，

b3∴

1aba2＝﹣1＝﹣1＝﹣， b3b3故选：C． 【点睛】

此题考查的是比例的性质,掌握性质是解决此题的关键. 3．B 【解析】 【分析】

先计算出△的值，然后根据△的意义进行判断方程根的情况． 【详解】

∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根． 故选B．

7

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 4．B 【分析】

把A（3，y1），B（5，y2）代入函数解析式中,即可求出y1和y2,从而比较y1，y2的大小关系. 【详解】

555解：把A（3，y1），B（5，y2）代入y＝中得y1＝，y2＝＝1，

35x5∵1 3∴y1＞y2． 故选：B． 【点睛】

此题考查的是比较反比例函数值的大小,将横坐标代入求出纵坐标是解决此题的关键. 5．A 【分析】

根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值、一个角的正切值和它的余角的正切值互为倒数和一个角的正弦值与余弦值的平方和等于1逐一判断即可. 【详解】

解：A、cos60°＝sin（90°－60°）＝sin30°，错误； B、sin15°＝cos（90°－15°）＝cos75°，正确； C、tan30°•tan60°＝1，正确； D、sin230°+cos230°＝1，正确； 故选：A． 【点睛】

此题考查的是锐角三角函数的性质，掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值、一个角的正切值和它的余角的正切值互为倒数和一个角的正弦值与余弦值的平方和等于1，是解决此题的关键 6．C

8

【分析】

根据中位数的定义、平均数的公式、众数的定义和方差公式计算即可. 【详解】

2＝6，故本选解：A、按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，（6+6）÷项错误；

B、平均数＝（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20＝6，故本选项错误； C、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项正确； D、方差是：S2＝

1 [4×（4﹣6）2+5×（5﹣6）2+7×（6﹣6）2+3×（8﹣6）2+（13﹣6）2]20＝4.1，故本选项错误； 故选C． 【点睛】

此题考查的是中位数、平均数、众数和方差的算法，掌握中位数的定义、平均数的公式、众数的定义和方差公式是解决此题的关键. 7．D 【分析】

根据k的取值分类讨论即可. 【详解】

k解：当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝kx+1在第一、二、三象限，故

x选项C错误，选项D正确，

k当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝kx+1在第一、二、四象限，故选项

xA、B错误， 故选：D． 【点睛】

此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数k与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键. 8．C 【分析】

根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】

9

解：A、∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误； B、∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误； C、D、

ADED不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确； ACBCADAE，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误． ACAB故选C． 【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 9．B 【分析】

只需要证明△AED∽△ACB即可求解. 【详解】 解∵DE ∥ BC，

∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED ∴△AED∽△ACB ∴

ADAE23 ABACAB6∴AB4

∴BD＝AD+AB＝2+4＝6． 故选B． 【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 10．B 【分析】

根据直角三角形的性质求出∠C，根据45°的正弦值解答． 【详解】

解：∵∠A=90°，∠B=45°， ∴∠C=90°-45°=45°， ∴sinC=sin45°=2， 210

故选：B． 【点睛】

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 11．1 【分析】

根据已知条件和平行线分线段成比例定理可得：AB＝2AD，的长. 【详解】

解：∵DE∥BC，AD＝DB， ∴AB＝2AD，

DEAD1 BCAB2DEAD1，从而求出DEBCAB21∴DE＝BC＝1，

2故答案为1． 【点睛】

此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行列出比例式是解决此题的关键. 12．2 【分析】

设点P的坐标为（x，y），根据反比例函数的解析式可得：xy＝﹣4，然后根据三角形的面积公式即可求出△POA的面积. 【详解】

解：设点P的坐标为（x，y）．

4∵P（x，y）在反比例函数y＝﹣的图象上，

x∴xy＝﹣4， ∴S△POA＝

1|xy|＝2， 2故答案为：2． 【点睛】

此题考查的是反比例函数系数的几何意义，掌握三角形的面积与反比例函数上点的坐标的关系是解决此题的关键. 13．3

11

【分析】

根据AB的坡度即为BC：AC，从而求出BC的长. 【详解】

解：∵AB的坡度为i＝1：2.5， BC⊥AC，大厅水平距离AC的长为7.5m， ∴BC：AC＝1：2.5， 2.5＝3（m）则BC＝7.5÷． 故答案为3． 【点睛】

此题考查的是坡度，熟知坡度的公式：坡面的垂直高度和水平距离的比，是解决此题的关键. 14．0 0 【分析】

将﹣3代入方程中即可求出q的值，然后根据韦达定理可知：x1+x2＝﹣3，从而求出方程的另一个根. 【详解】 解：根据题意，得 9﹣9+q＝0，解得，q＝0； 由韦达定理，知 x1+x2＝﹣3； 则﹣3+x2＝﹣3， 解得，x2＝0． 故答案是：0，0． 【点睛】

此题考查的是一元二次方程的解和韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和利用韦达定理求另一个根是解决此题的关键. 15．30 【分析】

根据已知条件即可求出两个三角形的相似比为5：3，然后根据相似三角形的性质，可设大三角形的周长为5x，则小三角形的周长为3x，根据周长之差为12cm，列方程并解方程即可. 【详解】

解：∵两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，

12

∴两个三角形的相似比为5：3，

设大三角形的周长为5x，则小三角形的周长为3x， 由题意得，5x﹣3x＝12， 解得，x＝6， 则5x＝30， 故答案为30． 【点睛】

此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键. 16．3. 【分析】

先根据同角的余角相等证明∠ADE＝∠ACD，在△ADC根据锐角三角函数表示用含有k的代数式表示出AD=4k和DC=3k，从而根据勾股定理得出AC=5k，又AC=5，从而求出DC的值即为AB. 【详解】

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AB＝CD， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°，

∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ACD＝90°， ∴∠ADE＝∠ACD，

AD4∴tan∠ACD＝tan∠ADE＝＝，

3CD设AD＝4k，CD＝3k，则AC＝5k， ∴5k＝5， ∴k＝1， ∴CD＝AB＝3， 故答案为3. 【点睛】

本题考查矩形的性质和利用锐角三角函数解直角三角形，解决此类问题时需要将已知角的三角函数、已知边、未知边，转换到同一直角三角形中，然后解决问题.

13

17．900 【分析】

过点B作BD垂直于CA延长线于点D，根据已知条件可求：∠BAD＝30°，然后解直角三角形即可求出BD，从而求出△ABC的面积，即可求出这部分墙漆的造价. 【详解】

解：如图，过点B作BD垂直于CA延长线于点D， ∵∠BAC＝150°， ∴∠BAD＝30°．

1∴BD＝AB•sin30°＝AB＝3米．

211∴S阴影＝AC•BD＝63＝9（平方米）

22100＝900（元） 则造价为：9×故答案是：900．

【点睛】

此题考查的是解直角三角形和三角形的面积，掌握构造直角三角形的方法是解决此题的关键. 18．45 【分析】

设等腰三角形的底角为x，根据“特征值”的定义即可得：顶角为2x，再根据三角形的内角和定理即可求出x＝45°，即∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，然后过C点作CH⊥DA垂足为H，交DB延长线于E，先证出△ADB∽△BEC，从而得出

ADDBAB，根据等腰直角三角形BEECBC41

的性质和已知条件即可求出BE＝42，CE＝32，从而求出EH的长，即可求出CH，然后根据勾股定理即可求出CD的长. 【详解】

解：设等腰三角形的底角为x，

14

1∵△ABC是以A为顶点的“特征值”为的等腰三角形，

2根据定义可知顶角为2x． ∴x+x+2x＝180°， ∴x＝45°，

即∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，

过C点作CH⊥DA垂足为H，交DB延长线于E，如图： ∵∠ADB+∠DAB＝∠ABC+∠CBE，∠ADB＝∠ABC＝45°， ∴∠ADB＝∠E＝45°，∠DAB＝∠EBC， ∴△ADB∽△BEC， ∴

ADDBAB， BEECBC∵△ABC是等腰直角三角形， ∴

AB1， BC2∵AD＝4，BD＝3， ∴BE＝42，CE＝32， ∴DE＝3+42，

∵△DHE是等腰直角三角形， ∴DH＝EH＝322， DE＝42232， 2∴CH＝EH－CE= 4在Rt△DCH中，CD＝DH2CH2＝41． 故答案为：45，41．

【点睛】

此题考查的是新定义类问题、三角形的内角和定理、相似三角形的判定及性质、等腰直角三

15

角形的性质和勾股定理，掌握新定义类问题的定义、三角形的内角和列方程和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键. 19．1 【分析】

根据绝对值的性质、任何非0数的0次幂都等于1和45°的正切值代入计算即可. 【详解】

解：原式＝2+1﹣2 ＝1． 【点睛】

此题考查的是实数的运算，掌握绝对值的性质、任何非0数的0次幂都等于1和45°的正切值是解决此题的关键.

20．（1）120人；（2）18；（3）见解析；（4）1000. 【分析】

（1）根据优秀人数和优秀率即可求出本次抽查的人数；

（2）求出不及格率乘360°即可求出不及格学生所占的圆心角的度数； （3）根据总人数和其他人数计算出良好的人数，然后补全条形统计图即可； （4）求出优秀率和良好率的和乘2000即可. 【详解】

20%＝120（人）解：（1）本次抽查的人数为24÷， 故答案为：120人；

6×（2）扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为360°＝18°， 120故答案为：18；

（3）良好的人数为120﹣（24+54+6）＝36（人）， 补全图形如下：

16

2436 （4）估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有2000×＝1000（人）．

120【点睛】

此题考查的是扇形统计图和条形统计图，结合扇形统计图和条形统计图计算数据是解决此题的关键.

59021．（1）正比例函数的解析式为y＝x，反比例函数的解析式为：y＝；

x2（2）此次消毒后经过30分钟学生才可以安全进入教室． 【分析】

（1）设正比例函数解析式为：yax，反比例函数的解析式为：y别代入解析式即可；

（2）将y＝3代入反比例函数解析式即可求出经过多长时间学生才可以安全进入教室. 【详解】

解：（1）设正比例函数解析式为：yax，反比例函数的解析式为：y∵正比例函数的图象经过点（6，15）， ∴156a 解得：a5 2b

，再将（6，15）分x

b x

∴正比例函数的解析式为y＝

5x， 2∵反比例函数的图象经过点（6，15）， ∴15 解得：b90

∴反比例函数的解析式为：y＝

90； x17

b6

（2）把y＝3代入y＝

90中得x＝30， x∴此次消毒后经过30分钟学生才可以安全进入教室． 【点睛】

此题考查的是求正比例函数和反比例函数解析式及应用，掌握用待定系数法求正比例函数和反比例函数解析式和实际意义与函数的关系是解决此题的关键. 22．（1）每年生产成本的下降率为10%； （2）预测2019该公司的生产成本为72.9万元． 【分析】

（1）设每年生产成本的下降率为x，根据增长率问题的公式列一元二次方程并解方程即可；

（2）根据（1）中下降率列式计算即可. 【详解】

解：（1）设每年生产成本的下降率为x， 根据题意得：100（1﹣x）2＝81，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：每年生产成本的下降率为10%． （2）81×（1﹣10%）＝72.9（万元）．

答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元． 【点睛】

此题考查的是一元二次方程的应用：增长率问题，掌握增长率问题的公式是解决此题的关键. 23．CD＝（1.5+103）米． 【分析】

根据三角形外角的性质可得：∠DEF＝∠FDE＝30°，根据等角对等边即可得：EF＝FD＝20米，再根据锐角三角函数即可求出DG，根据矩形的性质即可求出CG，从而求出教学楼CD的高. 【详解】

解：∵∠DFG＝∠DEF+∠EDF，∠DFG＝60°，∠DEF＝30°， ∴∠DEF＝∠FDE＝30°， ∴EF＝FD＝20米，

18

在Rt△DFG中，DG＝DF•sin60°＝20×∵四边形AEGC是矩形， ∴CG＝AE＝1.5米，

∴CD＝DG+CG＝（1.5+103）米． 【点睛】

3＝103（米）， 2此题考查的是解直角三角形，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键. 24．（1）a＞﹣1；（2）x1＝3，x2＝1；（3）7． 【分析】

（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，列不等式并解不等式即可；

（2）根据（1）中a的取值范围，求出a最小整数值，然后代入解方程即可；

（3）根据（2）中方程的解和等腰三角形的腰分类讨论，然后根据三角形的三边关系进行取舍，最后求周长即可. 【详解】

解：（1）根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（3﹣a）＞0， 解得a＞﹣1；

（2）a的最小整数为0， 此时方程为x2﹣4x+3＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝3，x2＝1；

（3）∵方程x2﹣4x+3﹣a＝0的两个根是等腰△ABC的两条边长， ∴等腰三角形的三边为3,3,1或1,1,3 ∵1＋1＜3

∴1,1,3不能构成三角形

∴等腰△ABC的腰长为3，底边长为1， ∴等腰△ABC的周长＝3+3+1＝7． 【点睛】

此题考查的是一元二次方程根的情况、解一元二次方程和求等腰三角形的周长，掌握一元二

19

次方程根的情况和△的关系、因式分解法解一元二次方程及三角形的三边关系是解决此题的关键.

25．（1）见解析；

12时，y有最小值，最小值为；

221（3）在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，AE的长为2﹣2或．

2（2）y＝x2﹣2x+1；0x2；当x＝【分析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得：∠B＝∠C＝∠ADE＝45°，再根据三角形外角的性质可得：∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，从而得出∠BAD＝∠CDE，最后根据有两组对应角相等的两个三角形相似即可证出△ABD∽△DCE；

（2）由△ABD∽△DCE，可得：

ABBD＝，然后分别用x和y表示出CD、EC，代入到CDEC比例式中即可求出y关于x的函数关系式，再根据点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），即可求出x的取值范围，最后根据二次函数求最值即可；

（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论：当AD＝DE时，可得：△ABD≌△DCE，从而可得BD＝CE，根据此等式列方程即可求出AE；当AE＝DE时，可得：△ADE为等腰直角三角形，即DE⊥AC，由相似的性质得AD⊥BC，根据三线合一可得D是BC中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=DC，从而得出：E也是AC的中点,即可求出AE; 当AD＝AE时，因为∠ADE=45°，可得∠DAE＝90°，此时D与B重合，不符合题意. 【详解】 （1）证明：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC ∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°

∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE ∴∠BAD＝∠CDE ∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE， ∴

ABBD ＝CDEC∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，

20

∴BC＝2，CD＝2﹣x，EC＝1﹣y， ∴

1x221＝，即y＝x2﹣2x+1＝（x﹣）+， 1y2x22∵点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合） ∴0＜BD＜BC 即0x当x＝2 12时，y有最小值，最小值为；

22（3）当AD＝DE时，△ABD≌△DCE， ∴BD＝CE，

∴x＝1﹣y，即2x﹣x2＝x， ∵x≠0，

∴等式左右两边同时除以x得：x＝2﹣1，将x＝2﹣1代入y= x2﹣2x+1中， ∴AE＝y＝2﹣2， 当AE＝DE时， ∵∠ADE=45°

∴△ADE为等腰直角三角形 ∴DE⊥AC， ∴AD⊥BC ∴D是BC中点， ∴AD=DC

∴E也是AC的中点，

1所以，AE＝；

2当AD＝AE时， ∵∠ADE=45°

∴∠DAE＝90°，D与B重合，不符合题意； 综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形， AE的长为2﹣2或【点睛】

此题考查的是相似三角形的判定及性质、二次函数求最值和等腰三角形的性质，掌握有两组

1． 2 21

对应角相等的两个三角形相似、利用二次函数求最值和根据等腰三角形腰的情况分类讨论是解决此题的关键.

26．（1）①8；4；②EF∥AC，理由见解析；③当点P的坐标为（最小，最小值为5． （2）

20，0）时，PD+PE的值33EF＝． AC4【分析】

①根据矩形的性质和点O、D的坐标即可求出点B的坐标，（1）从而求出OA和AB的长； ②将点D坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，从而求出E、F两点坐标，然后根据有两组对应边成比例且对应夹角相等的两个三角形相似，证出：△ABC∽△EBF，从而得出∠BCA＝∠BFE，根据平行线的判定即可证出EF∥AC； ③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出此时的DE′，然后利用待定系数法求出直线DE′的解析式，从而求出此时P点坐标；

（2）设点D的坐标为（m，n），与（1）①同理可得：点B的坐标为（2m，2n），然后与（1）②中同理可证：△ABC∽△EBF，从而求出【详解】

解：（1）①∵四边形OABC是矩形， ∴D为OB的中点

∵点O的坐标为（0，0），点D的坐标为（4，2）， ∴点B的坐标为（8，4）， ∴OA＝8，AB＝4． 故答案为：8；4． ②EF∥AC，理由如下： ∵反比例函数y＝∴k＝4×2＝8．

∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴， ∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1）， ∴BF＝6，BE＝3，

k的图象经过点D（4，2）， xEF. AC 22

∴∴

33BFBE＝，＝， BCBA44BFBE＝． BCBA∵∠ABC＝∠EBF， ∴△ABC∽△EBF， ∴∠BCA＝∠BFE， ∴EF∥AC．

③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，根据两点之间，线段最短，此时PD+PE的值最小，并且PD+PE=PD+P E′= DE′，如图所示．

∵点E的坐标为（8，1）， ∴点E′的坐标为（8，﹣1），

∴根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式得：DE′＝(84)2(12)2＝5． 设直线DE′的解析式为y＝ax+b（a≠0），

4ab2将D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，

8ab13a4， 解得：b5∴直线DE′的解析式为y＝﹣

3x+5． 43当y＝0时，﹣x+5＝0，

4解得：x＝

20， 320，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5． 3∴当点P的坐标为（

（2）∵点D的坐标为（m，n），

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∴点B的坐标为（2m，2n）． ∵反比例函数y＝∴k＝mn，

k的图象经过点D（m，n）， x11∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m，n），

22∴BF＝∴∴

33m，BE＝n， 2233BFBE＝，＝， BCBA44BFBE＝． BCBA又∵∠ABC＝∠EBF， ∴△ABC∽△EBF， ∴

3EFBF＝＝． ACBC4【点睛】

此题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数及反比例函数解析式和两条线段和最小时的作图方法和求法，掌握矩形的对角线互相平分、有两组对应边成比例且对应夹角相等的两个三角形相似、两点之间线段最短、平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和待定系数法求函数解析式是解决此题的关键.

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