高一数学必修一复习资料及例题

第一章 集合及其运算 一．集合的概念、分类： 二．集合的特征：

⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法：

⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四．两种关系：

Ü 从属关系：对象 、 集合；包含关系：集合 、 集合

五．三种运算： 交集：A 并集：A 补集：

B{x|xA且xB} B{x|xA或xB}

ðUA{x|xU且xA}

A，A．

六．运算性质： ⑴ A ⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． ⑶ 若AB，则A ⑷ ⑸

BA，ABB．

A（ðUA），A（ðUA）U，痧（A． UUA）（痧（UB）ð（B）（痧A）（UB）ð（B）UA）UAUA，U．

{a1,a2,a3,,an}的所有子集的个数为2n，所有真子集的个数为2n1，所有

2 ⑹ 集合

nC非空真子集的个数为22，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为n．

第二章 函数

指数与对数运算

一．分数指数幂与根式：

n如果xa，则称x是a的n次方根，0的n次方根为0，若a0，则当n为奇数时，an的n次方根有1个，记做a；当n为偶数时，负数没有n次方根，正数a的n次方根有2nnaa． nn个，其中正的次方根记做．负的次方根记做

1．负数没有偶次方根；

an为奇数nann(a)a|a|n为偶数 2．两个关系式：；

n3、正数的正分数指数幂的意义：amnnam；

a 正数的负分数指数幂的意义：4、分数指数幂的运算性质：

mn1nam．

mnmnmnmn ⑴ aaa； ⑵ aaa；

mnmnmmm(a)a(ab)ab ⑶ ； ⑷ ；

0 ⑸ a1，其中m、n均为有理数，a，b均为正整数

二．对数及其运算

bblogaN．

1．定义：若aN(a0，且a1，N0)，则

2．两个对数：

⑴ 常用对数：a10，

blog10NlgN；

blogeNlnN．

⑵ 自然对数：ae2.71828，3．三条性质： ⑴ 1的对数是0，即

loga10； logaa1；

⑵ 底数的对数是1，即

⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则：

⑴

loga(MN)logaMlogaN； ⑵

logaMlogaMlogaNN；

1logaMn．

⑶

logaMnlogaM； ⑷

nloganM5．其他运算性质： ⑴ 对数恒等式：alogabb；

logab ⑵ 换底公式： ⑶

logcalogcb；

logablogbclogac；logablogba1；

logambnnlogabm．

⑷

函数的概念

一．映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射． 二．函数：在某种变化过程中的两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记做yf(x)，其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域．

三．函数yf(x)是由非空数集A到非空数集B的映射． 四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．

函数的解析式

一．根据对应法则的意义求函数的解析式；

例如：已知f(x1)x2x，求函数f(x)的解析式． 二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；

例如：已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，函数f(x)的解析式． 三．由函数f(x)的图像受制约的条件，进而求f(x)的解析式． 函数的定义域

一．根据给出函数的解析式求定义域： ⑴ 整式：xR

⑵ 分式：分母不等于0

⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0 ⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0

⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0

二．根据对应法则的意义求函数的定义域：

例如：已知yf(x)定义域为[2,5]，求yf(3x2)定义域； 已知yf(3x2)定义域为[2,5]，求yf(x)定义域； 三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域． 函数的值域

一．基本函数的值域问题： 名称 一次函数 解析式 值域 ykxb R 二次函数 yax2bxc 4acb2[,)a0时，4a 4acb2(,]a0时，4a {y|yR，且y0} {y|y0} R 反比例函数 指数函数 对数函数 ykx yax ylogax ysinx 三角函数 ycosx {y|1y1} R ytanx 二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等． 反函数

一．反函数：设函数yf(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x(y)．若对于C中的每一y值，通过x(y)，都有唯一的一个x与之对应，那么，x(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数

x(y)(yC)叫做函数yf(x)(xA)的反函数，记作xf1(y),习惯上改写成yf1(x)．

二．函数f(x)存在反函数的条件是：x、y一一对应． 三．求函数f(x)的反函数的方法： ⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域

1yxf(y) x ⑵ 反解，用表示，得1yyf(x) x ⑶ 交换、，得

⑷ 结论，表明定义域

1yf(x)yf(x)的关系： 四．函数与其反函数1yf(x)yf(x)的定义域与值域互换． ⑴ 函数与

1yf(x)(a,b)yf(x)的图像上必有点(b,a)，即若 ⑵ 若图像上存在点，则

f(a)b，则f1(b)a．

1yf(x)yf(x)的图像关于直线yx对称． ⑶ 函数与

函数的奇偶性：

一．定义：对于函数f(x)定义域中的任意一个x，如果满足f(x)f(x)，则称函数

f(x)为奇函数；如果满足f(x)f(x)，则称函数f(x)为偶函数．

二．判断函数f(x)奇偶性的步骤：

1．判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称； 2．验证f(x)与f(x)的关系，若满足f(x)f(x)，则为奇函数，若满足

f(x)f(x)，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．

二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． 三．已知f(x)、g(x)分别是定义在区间M、N(MN)上的奇（偶）函数，分

别根据条件判断下列函数的奇偶性．

f(x) g(x) f(x) 奇 奇 偶 偶

奇 奇 偶 奇 偶 偶 1f(x) f(x)g(x) 奇 偶 f(x)g(x) 奇 偶 f(x)g(x) 偶 奇 奇 偶 五．若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)0．

六．一次函数ykxb(k0)是奇函数的充要条件是b0；

2yaxbxc(a0)是偶函数的充要条件是b0． 二次函数

函数的周期性：

一．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，则f(x)为周期函数，T为这个函数的一个周期．

2．如果函数f(x)所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的

T最小正周期．如果函数f(x)的最小正周期为T，则函数f(ax)的最小正周期为|a|．

函数的单调性

一．定义：一般的，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值 ⑴ ⑵

x1，x2，当x1x2时满足：

f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是增函数； f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是减函数．

二．判断函数单调性的常用方法： 1．定义法：

⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论：

*2．导数法：

⑴ 求函数f(x)的导数f'(x)；

⑵ 解不等式f'(x)0，所得x的范围就是递增区间； ⑶ 解不等式f'(x)0，所得x的范围就是递减区间． 3．复合函数的单调性：

对于复合函数yf[g(x)]，设ug(x)，则yf(u)，可根据它们的单调性确定复合函数yf[g(x)]，具体判断如下表：

yf(u) ug(x) yf[g(x)] 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同． 函数的图像

一．基本函数的图像．

二．图像变换：

yf(x)  yf(x)k 将yf(x)图像上每一点向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位，可得yf(x)k的图像 yf(x)  yf(xh) 将yf(x)图像上每一点向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位，可得yf(xh)的图像 yf(x)  yaf(x) 将yf(x)图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(a1)或压缩(0a1)为原来的a倍，可得yaf(x)的图像 yf(x)  yf(ax) 将yf(x)图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩(a1)或拉伸1(0a1)为原来的a，可得yf(ax)的图像 yf(x)  yf(x) 关于y轴对称 yf(x)  yf(x) 关于x轴对称 yf(x)  yf(|x|) 将yf(x)位于y轴左侧的图像去掉，再将y轴右侧的图像沿y轴对称到左侧，可得yf(|x|)的图像 yf(x)  y|f(x)| 将yf(x)位于x轴下方的部分沿x轴对称到上方，可得y|f(x)|的图像

三．函数图像自身的对称

关系 图像特征 关于y轴对称 关于原点对称 f(x)f(x) f(x)f(x) f(ax)f(xa) 关于y轴对称 关于直线xa对称 f(ax)f(ax) f(x)f(ax) x关于直线a2轴对称 f(ax)f(bx) f(x)f(xa)

四．两个函数图像的对称

关系 x关于直线ab2对称 周期函数，周期为a 图像特征 关于y轴对称 关于x轴对称 关于原点对称 关于直线yx对称 关于直线xa对称 关于y轴对称 yf(x)与yf(x) yf(x)与yf(x) yf(x)与yf(x) yf(x)与yf1(x) yf(xa)与yf(ax) yf(ax)与f(ax)