将矩阵化为约当标准型

补充：

~1sIA1sIPAP~adjsIA1P~P =detsIA

1~1PsIAP1

 =

(s1)(s2)P(s1)(s2)(s1)2(s2)(s1)2P1

s2s2(s1)P1P(s1)(s2) =

2det(IA)(1)(2)有两重根121和单特征值32，凡是矩阵A的特征多项式

在adjsIA中的公因子则必然和detsIA可以相消。

经过线性变换后，系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式，

特别指出，如果nn维矩阵A由下式给出

00A0010011021n1

并且其特征值1,2,n互异，作非奇异线性变换xPx，则化A 为对角线标准型矩阵

~100002P1AP000n 其中，P为范德蒙德（Vandermond）矩阵。即

11123P1n1n1n12311nn1n

补充：

设约当块数为q和q个mi（约当块的阶数）。A矩阵惟一决定的约当型矩阵式

J1JJ2Jq

设变换矩阵p与J具有同样阶数组的分块矩阵型

令

P[p1p2pq]

即，pi是nmi阶矩阵。则APPJ

A[p1p2pq][p1p2J1pq]J2Jq

根据分块矩阵的乘法规则，有

[Ap1Ap2Apq][p1J1p2J2pqJq]

上式实际上是q个等式，即ApipiJi,i1,2,,q

将nmi阶矩阵pi写成列向量形式，于是有

Pi[pi1pi2pimq]

i11ipimi]1i A[pi1pi2pimi][pi1pi2即

Api1ipi1Api2pi1ipi2Apimipimi1ipimi

也可写成

(iIA)pi10(iIA)pi2pi1(iIA)pimipimi1

顺序解以上方程组就可以确定pi的mi个列向量。这些列向量中只有第一个pi1是对应于

i的特征向量，而其余的mi1个向量pi2,,pimi,称之为对应特征值i的广义特征向量，可由

上式递推解出。

设矩阵A的重特征值为1，代入式(iIA)pi10中，即由

(1IA)p110

可求出A的对应于1的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数，就是该特征值对应的约当块数，或表示为

11nrank1IA

降秩数11就是对应1的线性无关特征向量个数，或者是对应1的约当块块数。换句话说，矩阵A的特征值分组

1,2,q中，有12a11。

将式 中计算p12的式子，

(1IA)p12p11

2(IA)p12(1IA)p110 (IA)11两端同时乘以，

该方程线性无关的解的个数是nrank1IA，但这个数目中包括p11的个数，即11。

2所以，解出线性无关的列向量p12的个数，

12rank1IArank1IA2

也就是对应1的大于或等于2阶约当块的块数。

例 将已知矩阵A化为约当型。

2i00A120012321212

解：先求A的特征多项式，因为A矩阵是对角分块矩阵，所以特征多项式是每个对角分块矩阵特征多项式的乘积，即

(sIA)(sI3A1)(sI2A2)(sI1A3)(s2)6

将特征值

2代入式11nrank1IA ， 求约当型中的约当块数。

01000100011nrank2IA6rank121210=6-3=3 由此，由A矩阵化成的约当型共有3个约当块。

22rankIArankIA1211代入求出约当型中大于等于2阶的块数

然后，将

0100000002123rank2IA3rank00312000

所以，由A矩阵化成的约当型将有一个1阶块，两个大于或等于2阶的块。

23rankIArankIA1311代入，求出约当型中大于等于3阶的块数

再将将

2131rank2IA3101

所以，由A矩阵化成的约当型共有3个约当块，其中一个1阶块， 一个2阶块，一个3阶块，即

2100210021JPAP20122

设i是系统的一个特征值，若存在一个n维非零向量pi，满足

Apiipi

或

(iIA)pi0

则称pi为系统相对于特征值i的特征向量。

例如： 系统矩阵为

10A23

试求其特征值和一组特征向量。

解： 由系统的特征方程

12IA32023

系统的特征值为11,22

设对于特征值1,2的特征向量p1,p2分别为

ppp111p221p12，p22

(iIA)pi0(i1,2)

11p1221p11p0212

1(1IA)p12得到

2(2IA)p2211p2121p21p0222

则有p11p120

2p21p220

取p111,p211，得p121,p222。故

p1p1p111p221p121，p222

下面确定将A矩阵化为约当标准型的变换矩阵P

1由JPAP

得APPJ

10A22 P115书例2.8设

其特征值为共轭复数对11j,21j,其对应的特征向量也是复数向量，

1p111p2j1，

j， 变换阵和它的逆矩阵都是复数矩阵，即

1P1j11jj1P1jj21j 

1~A变换后的结果也是复数矩阵，即

01j~AP1AP10j