一个不等式猜想的推广及证明

一个不等式猜想的推广及证明

梅　　宏

(长沙电力学院数学与计算机系,长沙　410077)

中图分类号:O122.3-42　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2001)23-0023-02　　在文[1]中,宋庆、宋光在证明下面两个不等式:

若a,b,c∈R,则

(a+b)(

+

定理1的证明　根据引理,我们有

aj-ai

aiaj

2n

1a+1b

4)≥4+4(

b-a4

≥n

a2)b

6

(1)c-b(2)

aj-ai

2n

aiaj

,1≤i(6)

(a+b+c)(6

1a

6

+

1b

+

1c

6

)≥9+6[(b-a

6

将不等式(6)两边同时平方,得到

ajai+≥n2aiaj

2n

b2

)+(c

6

a-c

+

c2

)+(aa2)]b

aj-ai

2n

aiaj

2

+2,1≤i后,提出了下面的猜想:

若ak∈R(k=1,2,…,n),则

k=1

再将上面

2n

n(n-1)2

个不等式相加,并在两边同时加

上n,得到

aj-ai

2n

6ak6

nn

1ak

k=1

≥n2+2n

6(1≤iai2

)aj

(3)

　a2a1anan-1++…+++na1a2an-1an

2

1≤in

n

并作注:采用上述“步步为营”的方法,可繁笨地证明

n=4,5等时(3)式正确.

　≥n

6

2n

aj-ai

2n

aiaj

2

+

n(n-1)2

×2+n.

下面我们将不等式(3)进行推广,得到了比不等式(3)更强的结果.

定理1　若ak∈R(k=1,2,…,n),则

k=1

即　6ak6

k=1

1ak

k=1

　≥n+n

+

2n

22

1≤i6

2n

aj-ai

2n

aiaj

2

.证毕.

6ak6

nn

1ak

k=1

(≥n2+n21≤i6aj-ai

2n

有了不等式(4),许多与之有关的不等式的结果都可以得到加强与推广.

(4)

ai2

)aj

推论1　若ak∈R+(k=1,2,…,n),则

k=1

在证明定理1之前,我们先证明一个引理.引理　若a,b∈R+,则　证　

2n

2n

2n

6ak6

nn

1ak

k=1

≥n2.

推论2　1+

ab

(5)

2n

b-ab-a

n

2n

ababab2n

≥n

b-a

1112n++…+>23nn+1

2n

・1+

1≤i6

j-iij

2.

定理2　若0n

=

2n

bab-a

-2n

　6ak6

k=1

nn

1ak

n+1npq-qpn+12

k=1

=

2n

ab

2n

ba

n-1

n-12n

+

ba

n-2

≤n+

2

22n(7)

　・≥n

a+…+b

2n

ab

b-a

2n

ab

.证毕.

或个等于p,其22

余的等于q时,等号成立,其中[x]表示不超过实数

当且仅当ak中有

收稿日期:2001-00-00作者简介:

24数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第23期

学习《考试说明》指导高三数学复习

石志群

(姜堰市第二中学高三数学组,江苏)

中图分类号:G632.474　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2001)23-0024-03　　近几年的高考数学试题,始终以数学科《考试说明》为命题依据,在稳定中创新,逐步强化对能力的考查.其表现是《考试说明》的发展、变化上将原来考试内容中的知识要求与能力要求分离开来,连同新增的“对知识和能力的考查注意如下几点”统一为考试要求.根据这一变化,我们认为高考复习时对以下几个方面需引起重视.

1　强化重点知识的教学,确保基础题的得分率　

的“拟柱体”问题,2001年的信息传输问题),但实质上是考纲内必考知识的“最近发展区”,且可以完全不用,甚至不知道也没关系,关键还在于基本功是否过关(如1999年的“拟柱体”问题,就可以用分割或镶补的方法补成或割成熟悉的几何体).因此,对《考试说明》中各知识点的考查要求(即了解、理解、灵活和综合运用)需吃清、吃透,只有这样,才能把好钢用在刀刃上.

考能力是在用知识的过程中体现的,只有对知识的透彻理解、熟练掌握才能体现为能力上的灵活

尽管有“命题范围遵循教学大纲又不拘泥于教学大纲”之说,且偶有看似考纲外的内容(如1999年

x的最大整数部分.

证　下面我们介绍一种称为选择主元的方法来证明这个定理.

首先选择a1,a2,…,an个元素中的某个元素,如ak(=x),作为主元(即作为变量),让其在区间

[p,q]上变化,其余(n-1)个元素a1,a2,…,ak-1,ak+1,…,an固定(即作为常量),作函数

f(x)=(a+x)(b+

)

xa=ab+1+bx+

x

an分别取p或q时,6ak6

k=1

nn

1ak

k=1

才可能取得最大值.

假设ak中有m个取p,n-m个取q,则

k=1

6ak6

nn

1ak

k=1

=[mp+(n-m)q]=n+m(n-m)

2

mn-m+pqp-q

qp

2

≤n2+　・nn+112p-q

2qpn2

.

=(

2

ab+1)+(

bx-j=1,j≠k

a2),x

2

于p,其余的等于q时,等号成立.证毕.

显然,当且仅当ak中有

或

n+12

个等

其中a=

j=1,j≠k

6

n

aj,b=6

n

1aj

.

定理2为美国第六届中学生数学竞赛试题5之推广.

a在区间[p,q]上是关于x

x的单调函数,其最大值只可能在端点p或q处取

显然,函数bx-

参考文献:

[1]　宋庆,宋光.三个待解决的不等式问题.不等式

得.因此,函数f(x)的最大值也只可能在端点p或q处取得.

由于当x取a1,a2,…,an个元素中的任一个元素时,上面的讨论均成立.因此,只有当a1,a2,…,

研究.杨学枝主编.拉萨:西藏人民出版社,

2000,6,119-120.

收稿日期:2001-08-27

),男,江苏姜堰人,姜堰市第二中学高级教师,学士.作者简介:石志群(1962—