2012高三文科第一轮复习分类归纳整理之函数的奇偶性

函数的奇偶性

1知识点

（1） 定义：

偶函数：对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数；

奇函数: 对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。

(2) 判断函数奇偶性的步骤

①定义域关于原点对称

②判断f(x)与f(x)的关系

若f(x)=f(x)则函数yf(x)为偶函数

若f(x)=f(x)则函数yf(x)为奇函数

（3）奇函数的性质

①奇函数定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称

1

②yf(x)在x0有意义，则f(0)

③奇函数在其关于原点对称的区间上单调性

（4）偶函数的性质

①偶函数定义域关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称

②偶函数在其关于原点对称的区间上单调性

(5)常见的奇偶函数

ax1x1yxyloganyxa1x1①，② ，③ ，④ysinx⑤ycosx

2x2x,(x0)y2xx2,(x0)⑥

1.6函数的奇偶性

考点一：奇偶性的概念

1．下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）

2

①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)0；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知函数

f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为［a1,2a］，则（

）

A．

a13，b＝0 B．a1，b＝0 C．a1，b＝0 D．a3，b＝0

3．已知

f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则x0时，f(x)的表达式是

4．已知

f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，那么f（2）等于

5．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2+2x+b(b为常数)，则f(-1)=

x6. 设函数f(x) (x∈R)为奇函数，

f(1)12，f(x2)f(x)f(2)，则f(5)

考点二：判断函数的奇偶性

（1.定义法：分两步, 2.图象法：看是否关于原点或y轴对称）

1．判断下列函数的奇偶性：

3

2x1yx21， （1）

(2)

ylog2x1x1； （3）f(x)|x2||x2|；

（4）

1x2f(x)x33 （5）

2(x0)xxf(x)22(x0)xx（6）f(x)lg(xx1)

xxxxf(x)33g(x)332.若函数与的定义域均为R，则

A. f(x)与g(x)与均为偶函数 B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

C. f(x)与g(x)与均为奇函数 D.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

考点三：奇偶性性质的应用（最值，不等式，单调性,图象）

注重数形结合的方法，通过图象来分析解决问题

1．已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m1)f(2m1)0，

则实数m的取值范围为 。

2． 如果偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[b,a]有（ ）

A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值

4

3. 若g(x)是奇函数，yg(x)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f(x)在（－∞，0）上有（ ）

A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3

22x1是奇函数，则常数a值为__________。

4． （1）若函数

f(x)a（2）已知

f(x)log32axax是奇函数，则a2007＋2007a=

5.若函数 f(x)=(K-2)x2+(K-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是 。

6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

1xy(),xR3yx,xRysinx,xRyx,xR2①； ②；③；④．

7.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=

ylog22x2x的图像关于（ ）对称

（A）原点 （B）直线yx （C）y轴 （D）直线yx

1x.若f(a)b.则f(a)1x（ ）

8.已知函数

f(x)lg 5

A．b B．－b

1C．b 1D．－b

9.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是

10．若函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上单调递减，则（A．f(3)f(4)0 B．f(3)f(2)0

C．f(2)f(5)0 D．f(4)f(1)0

11.函数

f(x)3x3x2在其定义域内是( ) A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数

C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数

考点四：奇偶性与抽象函数

1．已知函数f(x)对一切x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，

（1）求证：f(x)是奇函数；（2）若f(3)2，求f(12)．

6

）

2．已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y，恒有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，又

f(1)23．（1）求证：f(x)为奇函数；（2）求证：f(x)在

R上是减函数；（3）求f(x)在[3，6]上的

最大值与最小值．

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