离散型加权幂平均不等式的拓广与深化1

阳凌云

（株洲师范高等专科学校 数学与计算机科学系, 湖南 株洲412007）

摘 要：本文从文[1]中的一个定理出发，对其参指数及其变元作适当的变换，将加权幂平均不等式进行了拓广与深化，使对此问题的研究更具深刻性. 关键词：幂平均不等式；拓广；深化

中图分类号: 文献标码:A 文章编号:

Extending and Deepening of Discrete Weighted Power mean Inequality

YANG Ling-yun

(Department of Mathematics & Computer Science, Zhuzhou Teachers College, Zhuzhou, Hunan 412007,China．)

Abstract: On the basis of the theorem from paper [1], this paper has made a appropriate transformation of parametric and substitution of Variable elements． It broadens and deepens the weighted Power mean inequality, so that the research on them can be of greater depth．

Key words: Power mean inequality; broaden; deepen．

1 前言

离散型加权幂平均不等式（又称Schlömilch不等式）[2]的一般形式是: 若m＞n时，则

abainiiab≤iiai1nm m,nR 1m当且仅当b1b2bn时，上式取到“=”．

本文旨在将上述不等式中的“权”改造为“幂权”，以拓广其应用范围． 文[1] 对离散型Hölder不等式进行了推广，并给出了如下结论（记“

i1n”为“

”）：

引理 设xi＞0，yi＞0，当 1≤则有

收稿日期: 2005-09-21

11111

＜ 或 p＜0，q＜0 或 p＜0，≥1时， pqppq

作者简介: 阳凌云(1947-),男,湖南湘潭人,株洲师专教授,主要从事数学教学与函数论及数学教育理论研究.

xyii≥n111pqxyii1pp1qq （1）

当0＜

111＜+≤1时，则有 ppq

xyii≤n111pqxy （2）

i1ppi1qq若

11+=1，当且仅当xipkyiq（k＞0）时，（1）、（2）式均取“=”， pq11+≠1，当且仅当x1x2xn, y1y2yn时，（1）、（2）式均取“=”． pq若

现在对（1）、（2）式中的参指数p与q作巧妙的代换，同时对其变元xi与yi作适当的变形，即可将离散型加权幂平均不等式进行拓广与深化，得到更为深刻的结果.

2拓广与深化

定理（加权幂平均不等式的推广）设ai＞0，bi＞0，

当 0，＜ 或 0，＜ 时（其中 +≠0），则有

abi a1i1i1abi≤ a1i1i1． （3）

当且仅当 b1b2bn时，（3）式取到“=”．

1111证明 设引理中的，， xiai，yiaibi，

qp此时

11=1． 注意 1，0  0，＜． pq当

11111

＜1时（+≠0），则有 1=＜ 或 p＜0，=1． pqppq

于是根据引理中的（1）式可得

11aiaibi1≥ai1aibi，

整理得

a1ibi≥

a11ia1ibi．

又当 ＞0时，两边同时

1次方可得 abi≤a1i1iabia1i1i11 ． （3）

因为

11+=1，则由引理中的（1）式取“=”的条件可知：当且仅当 pqai1=kai1bi （k＞0）

即

b1b2bn时，（3）式取到“=”．

1，00，＜． 注意

当

111＞1时（+≠0），则有 0＜＜+=1． ppq又当＜0时，再根据引理中的（2）式同理可证（3）式成立（只须注意＜0时，不等式两边同时

1次方后不等号反向）． 若令（3）式中的0，此时就得到离散型加权幂平均不等式一般形式. 即 若m＞n时，则有

abainiiab≤iiai1nm m,nR 1m当且仅当b1b2bn时，上式取到“=”．

故（3）式是加权幂平均不等式的一般形式的拓广与深化.

参考文献：

[1] 阳凌云．两个分式型不等式的拓广与深化[J]，株洲工学院学报，2004（2）． [2] 匡继昌．常用不等式[M]，长沙：湖南师大出版社（第二版），1992．