基于遗传算法的SABR模型对上证50ETF期权隐含波动率拟合优化的实证研究

作者：陈瑞华 曹柏杨

来源：《中国证券期货》2019年第04期

摘要：作为风险管理和财富管理的重要衍生工具，上证50ETF期权合约自2015年上市以来，已经成为全球流动性最好的期权品种之一，学术界对于其定价理论及其波动率的研究也在日益深入。本文主要研究上证50ETF期权隐含波动率的拟合问题，从SABR随机波动率模型出发，在剔除BorrowRate对于期权隐含波动率的影响后，对上证50ETF期权波动率进行实证分析。同时，为提升SABR模型在参数优化方面的效率与稳定性，本文引入了遗传算法对参数进行优化。实证结果表明，SABR模型可以对当前上证50ETF期权隐含波动率进行有效的拟合与估计，但对于深度实值期权与深度虚值期权而言，SABR模型的误差仍有待进一步优化。 关键词：上证50ETF期权 隐含波动率 SABR模型 遗传算法 一、研究背景

2015年2月9日，我国首只场内期权品种——上证50ETF期权在上海证券交易所上市交易，开启了我国资本市场的“期权”之门，也为我国资本市场的稳健发展奠定了坚实基础。目前，上证50ETF期权已发展成为全球流动性最好的期权品种之一。图1显示了自上市日起至2019年6月30日上证50ETF期权合约日成交量的变化情况。从交易统计数据看，2015年上证50ETF期权合约日均成交量为10. 63万张，2019年日均成交量达到246.80万张，日均成交量增长了23.21倍。

上证50ETF期权交易的日渐活跃带来了期权市场的全面繁荣发展。2017年以来，我国先后上市了豆粕、白糖、铜、天然橡胶、棉花和玉米期权，迎来了商品期权的百花齐放时代，股指期权、利率期权和更多的商品期权也在酝酿推出。随着我国衍生品工具运用和市场运行的日益完善，期权在规避市场风险，促进市场稳定方面的作用日益重要，已成为不可或缺的风险管理和财富管理工具。因此，深化对期权理论和应用的研究十分必要。

期权的定价与对冲一直以来都是期权研究的核心问题。目前，市场上主流的期权定价模型是基于偏微分方程的Black - Scholes - Merton模型（1973）和动态规划的二叉树模型

（1979）。B-S-M模型假设价格是服从几何布朗运动的，但在现实的期权市场交易中，B-S-M模型所假设的标的资产价格服从对数正态分布及波动率为常数的这一条件与经验事实并不相符，模型不能解释“波动率微笑”和“杠杆效应”，导致期权理论定价与真实市场交易价格存在一定的偏差。相对B-S-M模型而言，二叉树模型可以针对不同类型的期权定价，尤其适用于特

殊期权的定价，但该模型的预测值与期权市场的真实价格相比误差也很大，并且模型的拟合速度随模型预测期数增加而下降。

针对B-S-M模型和二叉樹模型的缺陷，为了提高模型预测的精确性和拟合速度，理论界对B-S-M模型波动率为常数这一假设进行了扩展，并用控制变量的方法，增加时间变量，将期权价格看作是时间的函数，提出了随机波动率（SV）模型和随机波动跳跃（SVJ）模型，得以估计预测隐含波动率。定价参数的改进提高了假设条件与期权市场实际定价的吻合程度，进而提高了模型预测结果的可靠性。

值得指出的是，理论界对期权定价模型的深入研究是与期权市场的不断发展完善同步的，尤其是关于期权定价的实证研究。Hull和White（1987，1988）、Heston（1993）首先提出了随机波动率期权定价模型。随后出现了许多在不同分布假设下对欧式期权定价的研究。Corrado和Su（1998）通过对SP500指数期权的实证研究，对随机波动率期权定价模型的参数进行了估算和预测，揭示了随机波动率期权定价模型的实际应用价值。Saurabha和Tiwari（2007）则引入偏度和峰度两个统计变量，使用波动率估计深度货币期权和深度价外期权的价格，得出了更接近期权市场价格的预测结果。

SABR模型（2002）是由Hagan提出的一种随机波动率期权定价模型，其假设隐含波动率符合几何布朗运动，并将隐含波动率设定为标的资产价格和合约行权价格的函数，同时将随机波动率模型与局部波动率模型相结合，可以更加准确地动态刻画市场隐含波动率曲线。SABR模型由于结构相对简单，具有解析解形式，并且对于波动率风险能够进行一致度量，因此成为被广泛应用的随机波动率模型。

本文从SABR模型出发，在剔除Borrow Rate对于期权隐含波动率的影响后，对上证50ETF期权波动率进行实证分析，探讨上证50ETF期权隐含波动率的拟合问题。同时，为提升SABR模型在参数优化方面的效率与稳定性，还引入了遗传算法对参数进行优化。 二、SABR模型及其参数估计 （一）SABR模型

SABR模型扩展了原始的B-S-M模型中关于波动率为恒定常数的假设条件，假设期权的隐含波动率同样服从几何布朗运动，假设隐含波动率是关于标的资产价格和期权合约行权价格的函数，同时假设标的资产远期价格F及其波动率α均为随机过程，且两个随机过程之间具有相关系数ρ。

其中，因子F与Aα是随机的，参数β，ν，ρ为常数。参数ν表示波动率的聚集状态，可以看作是波动率的波动率;参数β∈[0，1]决定标的资产远期价格与平值期权隐含波动率之间的关系：如果β≈1，就表明在市场价格正常波动情况下，平值期权的隐含波动率影响不显著;如果

β《1，则说明平值期权隐含波动率和市场价格运动方向相反，尤其在β趋近于0时，这种现象就更加明显。此外，对于该模型而言，当β趋近于1时，该随机模型接近对数正态分布，当趋近于0时，该随机模型接近正态分布。

需要注意的是，对上述目标函数进行优化的过程中，不同的优化方法对于优化结果均有一定的影响。本文通过使用遗传算法对参数ν，ρ进行优化。 （三）遗传算法

遗传算法借鉴了生物界自然选择和自然遗传的机制，是一种高效、并行、全局搜索的随机搜索算法。遗传算法与传统算法之间的区别在于，大多数经典优化算法都是基于单一的度量函数的梯度或高阶统计来生成确定性的试验解序列;遗传算法则是通过模拟自然演化过程来搜索最优解，而不需要依赖梯度信息。遗传算法能在搜索过程中自动获取和积累有关搜索空间的知识，并能自适应地控制搜索过程以求得最优解。借助遗传算法对SABR模型中的目标函数进行参数优化，是一种具有更高优化效率的参数估计方法。

借助遗传算法，求解出α，β，ν，ρ四个参数，可以得出当前时刻基于SABR模型的期权隐含波动率曲线。由于波动率与期权价格满足一对一的对应关系，投资者可以根据基于SABR模型的期权隐含波动率与B-S-M模型的期权隐含波动率曲线的偏差，制定相应的波动率交易策略，获取相对稳健的投资收益。

三、SABR模型对上证50ETF期权隐含波动率的拟合与估计 （一）数据选取

需要注意的是，在利用SABR模型对期权波动率进行估计时，所采用的是期权标的资产的远期价格。而对于上证50ETF期权合约而言，其标的资产上证50ETF并不具备相对应的上证50ETF远期合约或上证50ETF期货合约。但考虑到上证50指数具有对应的期货合约，且上证50ETF与上证50指数具有高度相关性，我们将对上证50指数期货价格数据进行近似处理，以替代上证50ETF远期价格数据（见表1）。

上证50ETF期权合约的数据选取则与上证50ETF相对应（见表2）。

首先，我们对上证50ETF在上市以来的日数据的基本特征进行统计分析，包括均值、标准差、偏度、峰度等（见表3）。

图2展示了上证50ETF日收益率的分布图和Q—Q图。

通过观察上证50ETF日收益率分布及Q-Q图，我们可以发现，上证50ETF的日收益率均值接近于零，但收益率分布存在尖峰厚尾效应。这种分布下，收益率出现极端值的概率远高于

正态分布。而标准B-S-M模型假定标的资产价格服从几何布朗运动，即假定标的资产对数收益率服从正态分布，从而B-S-M模型大大低估了到期时刻期权成为深度实值期权或深度虚值期权的概率，相应也低估了深度实值和深度虚值期权的理论价格。市场的真实行为与B-S-M模型假设的差距，也正是出现“波动率微笑”的重要原因。 （二）上证50ETF远期价格的估计

上文提到，为实现SABR模型对期权波动率进行估计，我们利用上证50指数期货价格数据进行近似处理以替代上证50ETF远期价格数据。根据上证50指数期货价格数据与上证50ETF数据之间的高相关性关系，上证50ETF期货合约价格与上证50指数期货价格具有同一个布朗运动，在数据上存在一个稳定的价差，且收益率基本一致。因此，可通过对上证50指数期货数据进行修正，以获取上证50ETF远期合约的价格数据估计，具体步骤如下： 首先，在2019年1月2日至2019年1月18日的数据区间内，计算上证50指数与上证50ETF数据之间的平均价差△price;

最后，将经过调整后的数据作为上证50ETF远期价格数据。结果如图3所示： 可以看出，IH1901与调整后的IH1901走势基本一致，我们使用调整后的IH1901价格序列作為上证50ETF远期价格序列。

（三）上证50ETF期权合约隐含波动率的估计

上证50ETF期权合约属于欧式香草期权，因此可使用B-S-M模型对期权合约的隐含波动率进行计算。然而我们需要注意的是，对于普通的欧式期权而言，其理论价格及市场价格均满足期权平价公式：

以2019年1月15日的行情为例，考虑BorrowRate因素的影响后，将上证50ETF 1月到期的期权合约隐含波动率进行调整，结果如图4所示。

从图4可以看到，在不考虑Borrow Rate的情况下，看跌期权的隐含波动率高于相同行权价格的看涨期权的隐含波动率。在经过Borrow Rate调整后，看涨期权与看跌期权的隐含波动率近似一致。因此，本文在考虑Borrow Rate的影响下，对上证50ETF期权合约的隐含波动率进行计算，从而消除Borrow Rate对于SABR模型所带来的误差。

（四）基于遗传算法优化的SABR模型对上证50ETF期权隐含波动率的拟合

利用B-S-M模型，在考虑Borrow Rate的因素下，计算在2019年1月2日至2019年1月18日这一时间区间内，到期日为2019年1月23日的1分钟频率下的平值看涨期权隐含波动率σATM，（InF，InσATM）（见图5）。

图5显示，InF与InσATM呈线性负相关的关系，利用 InσATM=Inα+（β-1） InF

可以通过最小二乘法估计出β =0.3679。

下面，我们利用遗传算法对参数α，ν，ρ进行优化，设定种群初始规模为50，遗传迭代次数为400，对样本数据进行训练，经过400次迭代后，参数优化的结果追踪如图6所示。 由图6可以看到，随着迭代次数的增加，种目标函数的结果迅速收敛趋于稳定，后代种群均值变化较小，可以认为参数收敛至最优解。最后得到的SABR模型参数结果如表4所示。 利用上述参数，我们对上证50ETF期权合约2019年1月21日数据进行了拟合比较，结果如图7所示。可以看到，SABR模型可以较好地拟合上证50ETF期权合约隐含波动率，但对于深度虚值期权合约和深度实值期权合约而言，拟合存在一定误差。 四、结论与展望

SABR模型在B-S-M模型的基础上，对波动率为常数的假设进行了扩展，假定其服从几何布朗运动，同时将随机波动率模型与局部波动率模型相结合，使得模型可以更加准确地刻画市场隐含波动率曲线。本文基于上证50ETF期权合约，利用上证50指数期货与上证50ETF的高相关性，通过调整上证50指数期货数据来获取对应的上证50ETF的近似远期价格，进而利用SA-BR模型对上证50ETF期权市场的波动率进行研究。同时，为提高SABR模型对期权合约波动率的拟合效果，剔除了Borrow Rate对于隐含波动率计算所带来的影响。此外，通过使用遗传算法实现了SABR模型中的参数优化问题，最终使得SABR模型在上证50ETF期权上得以应用，并确定了该模型稳定的参数估计结果，说明该模型在上证50ETF期权市场具有较强的适用性。

尽管SABR模型在上证50ETF期权合约的波动率拟合上取得较为稳定的结果，但对于深度虚值与深度实值的期权合约而言，拟合结果仍存在一定误差。由于在SABR模型参数估计过程中，上证50ETF的远期价格是利用与上证50股指期货的相关性近似计算而来，与实际远期价格存在一定偏差，一定程度上会对参数估计产生影响，进而带来模型风险。因此，对于上证50ETF远期价格的估计，有待进一步进行估计方法的调整和数据的精细化处理，以更好地验证SABR模型动态刻画波动率微笑的特点是否与实际市场相吻合等问题。