中考数学总复习资料：第3讲《最值问题》精品总结

第三讲 最值问题

最值问题的解决方法通常有两种： 1.运用代数证法：

① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。 2. 应用几何性质：

① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；

③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 ④数轴表示两点间距离。

1）代数最值问题

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1设x、y为实数，代数式5x+4y－8xy+2x+4的最小值为

2.使x24(8x)216取最小值的实数x的值为_________。

3.|x+1|+|x-1|的最小值是

|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？

4.定义：对于数轴上的任意两点A，B分别表示数x1,x2，用x1x2表示他们之间

)们把的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2我

x1x2y1y2叫做A，B两点之间的直角距离,记作d（A，B）．

（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（－1，3），则d(O,P)＝_____________;

（2）已知C是直线上y＝x＋2的一个动点，

①若D（1，0），求点C与点D的直角距离的最小值；

②若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的直角距离的最小值．

y321-2-1O-112x-2

5.某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3。

（1）有多少种生产方案？

（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。（总费用=生产成本+运费）

重点：对称形最值问题

6.正方形

的边长为，是

的中点，是对角线

上一动点，则

的最

小值是

7.河岸两侧有

、

两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才

能两村村民来往路程最短

8. ，是内一点，，、分别是和上的动点，求

周长的最小值。

9.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，3）为圆心的圆与y轴相切于 点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

1．如2果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；

（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某

（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面的

点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．.

10.在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2(m1)x4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）． （1）求m的值及点A的坐标；

（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．

①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；

②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；

③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个机战的坐标分别为A6,0，B6,0，C0,43，延长AC到点D,使CD=

1AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E. 2（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

12.在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22mxm2m的顶点为C. (1) 求点C的坐标（用含m的代数式表示）；

(2) 直线yx2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧. ①若P为直线OC上一动点，求△APB的面积；

②抛物线的对称轴与直线AB交于点M，作点B关于直线MC的对称点B'. 以

M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得QB'最小值为

2QB的值最小，则这个213.对于图形S和图象T给一下定义：点P在图象S上，点Q在图形T上，则称点P与点Q的距离的最小值为图形S与图形T的距离． 在平面直角坐标系xoy中，⊙M的半径为1，且圆心M的坐标为（t，0），直线y=（-√3/3）x+2√3与x轴交于点A，与y轴交于点B

（1）若点A与⊙M的距离为1/2，请直接写出实数t的所有可能值；

（2）若点C的坐标为（6，2√3），⊙o与△ABC的距离为0，求r的取值范围； （3）记线段AB与⊙M的距离为d，若0＜d＜1，求实数t的取值范围．