第五周周一数学测试题

命题人 王彬

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1.已知集合A．2．已知复数

1，集合

B．

C．

，则

D．

（ A ）

（i为虚数单位），z的共轭复数为z，则zz（ C A．2iB﹣2iC﹣2D．2

17973.设a()4,b()5,clog2，则a，b，c的大小顺序是（B ）

979A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a 【解答】解：∵a=（）

=

＞b=（）

”是“

＞1，c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：B．

”的充分不必要条件 ”

4.下列说法正确的是（ D ） A．“B．命题“C．关于D．若

的方程是

上的偶函数，则

”的否定是“

的两实根异号的充要条件是的图象的对称轴是

.

5.执行如图所示的程序框图，若输入的x,yR，则输出t的最大值为（ C ） A．1 B．2 C．3 D．0

6．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（ D ）A．

B．

C．

D．

=5，

【解答】解：设该女第n天织布为an尺，且数列为公比q=2的等比数列，则由题意可得解得a1=

，故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=

+

+4

，、

7．已知P是△ABC内一点，率是（ C ）A．

=，现将一粒黄豆撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概

B． C． D．

=﹣2

，∵

，

+

+4

=，

【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∴+=﹣4，得=﹣4∴=2=﹣4，即

由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的一个三等分点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P=8.有6个人站成一排，甲乙两人都站在丙的同侧的不同站法有 B 种. A.540. B. 480 C, 384 D.360

=，

．

9．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（ B ） A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）

【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1 设g（x）=

（x∈R），则g′（x）=

=

又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减 ∵f（x）＜ex∴g（x）＜1又∵g（0）=10．双曲线C：

=1∴g（x）＜g（0）

﹣y2=1的左右顶点分别为A1，A2，点P在双曲线C上，且直线PA1的斜率的取值范

围为[1，2]，那么直线PA2的斜率的取值范围是（ A ）

11（-，-）A．[，] B．（，） C．[﹣，﹣] D．

36【解答】解：双曲线C的左右顶点分别为A1（﹣即有n2=

，可得k

•k

=

•

，0），A2（=

，0），设P（m，n），则

∈[1，2]，

﹣n2=1，

=，由k

即有直线PA2的斜率的取值范围为[，]．

11.已知方程A．

在 B．

上有两个不同的解

C．

，则下列结论正确的是（ C ）

D．

x,x0,ex12.已知函数f(x)，g(x)4xlnx,x0xe对xR恒成立（其a2x1a2a1(aR)，若f(g(x))中e是自然对数的底数），则a的取值范围是（ A ）

A.[1,0] B．（-1,0） C．[2,0] D．[1,0]

2

xxx2x1e42a2aa0在,可得,故不等式可化为,即不等式f(g(x))eg(x)1xe(,0]恒成立，令t2x,t(0,1],也即不等式t22ata2a0在(0,1]上恒成立.当对称轴a0时,

只需a2a0,即1a0时不等式恒成立;当a1时,只需12aa2a0,但这不可能；当

0a1时,则只需a22a2a2a0,这也不可能.所以综上实数a的取值范围是1a0,

二．填空题：本小题共4小题，每小题5分共20分

513．若sin()2，则sin2__ ____________

439（x22x2)4的展开式中，x3的系数为 ﹣32 ．14．（用数字填写答案）．

x2y215．已知双曲线221（a＞0，b＞0），M，N

ab是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动

点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1•k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为

．解：由题意，可设点M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．∴两式相减得

．再由斜率公式得：k1k2=

，∴

．∵|k1|+|k2|，故答案为：

．

，且

．

根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知

15．设x是实数，定义[x]不超过实数x的最大整数，如：[2]=2，[2.3]=2，[﹣2.3]=﹣3，记函数 f（x）=x﹣[x]，函数g（x）=[3x+1]+给出下列命题：

①函数f（x）在[﹣，]上有最小值，无最大值；②f（﹣）=f（）且f（x）为偶函数； ③若g（x）﹣2x=0的解集为M，则集合M的所有元素之和为﹣2； ④设an=f（

），则当n为偶数时

ai=，当n为奇数时，则

ai=

+

．

其中正确的命题的序号是 ①③④ ．

【解答】解：对于①，x∈[﹣，0）时，[x]=﹣1，f（x）=x+1；x∈[0，]时，[x]=0，f（x）=x；

所以x∈[﹣，]时，函数f（x）=x﹣[x]=；即f（x）在[﹣，]上有最小值

0，无最大值；命题正确．对于②，f（﹣）=﹣（﹣1）=，f（）=﹣0=， 所以f（﹣）≠f（），命题错误．对于③，方程g（x）﹣2x=0可化为[3x+1]+﹣2x=0， 即[3x+1]=2x﹣；根据题意得，等式左边为整数，设2x﹣=k（k为整数）， 解得x=（k+）；所以3x+1=（k+）+1=k+，其整数部分为k； 当k为奇数时， k+的整数部分为（k+1）=k，解得k=﹣3，此时x=﹣； 当k为偶数时， k+的整数部分为k+1=k，解得k=﹣，此时x=﹣； 则集合M={﹣，﹣}，所以M的所有元素之和为﹣﹣=﹣2；命题正确． ④因为an=f（

）=

﹣[

]=

﹣[

]=

﹣[

]，

所以当n为偶数时ai=（+1）+（﹣0）+„+（+1）+（﹣0）=，

当n为奇数时ai=（+1）+（﹣0）+„+（+1）+（﹣0）+（+1）=+；

三．解答题（共6小题，共70分）

17. （本小题满分12分）设函数f(x)(23sinxcosx)cosxcos2(x).

2（1）求函数f(x)在[0,]上的单调递增区间； （2）设锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为

a2c2b2a2b2c2，求f(A)的取值范围. a,b,c，且

c2ac16.解：（1）f(x)23sinxcosxcos2xsin2x3sin2xcos2x2sin(2x)

6由2k22x62k2(kZ)解得k6xk3(kz)

又∵x[0,]，∴0x5或5x∴f(x)在[0,]上的单调递增区间为[0,]，[,]. 3366a2c2b2a2b2c22accosB2abcosC（2）由及余弦定理可得： c2acc2ac整理得：2acosBccosBbcosC

∴f(A)2sin(2A)的取值范围

6是(1,2].

18. （本小题满分12分）成都某单位有车牌尾号为3的汽车A和尾号为7的汽车B，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5.成都地区汽车限行规定如下： 现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．

（Ⅰ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率； （Ⅱ）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X)．

车尾号 限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 1和6 2和7 3和8 4和9 5和0

19．（本小题满分12分）如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l． （I）求证：l⊥平面CDE；

（II）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．

？若

【解答】证明：（I）由侧视图可知四边形ADEF是正方形，∴AD∥EF， 又∵EF⊂面BEF，AD⊄面BEF，∴AD∥面BEF

又∵AD⊂平面ABCD，面ABCD∩面BEF=l，∴AD∥l， 由主视图可知，AD⊥CD，由侧视图可知DE⊥AD，

∵AD⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，AD∩CD=D，∴AD⊥面CDE，∴l⊥面CDE． （II）以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，2，0）、E（0，0，1）、F（1，0，1）． 设M（0，0，m）（0≤m≤1），则

设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则∴∴∴cos＜

，令z=1，得=2﹣m，||=

＞=

，|=

|=

=． ． ，解得

或m=6（舍）

．

．若点M（x0，

，

，

=0，

∴当M为DE的靠近E的三等分点时直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于20．（本小题满分12分）已知椭圆y0）在椭圆C上，则点

的离心率为，且过点

称为点M的一个“椭点”．（I）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

【解答】解：（I）由题意知e==，a2﹣b2=c2，即可得a2=4，b2=3，即有椭圆的方程为（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以

，即

+

=1；

，

，

又

，

由得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，

△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2﹣m2＞0． x1+x2=﹣y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 =k2•代入

+km（﹣

，即

）+m2=

，得：

，

，x1x2=，

，2m2﹣4k2=3，

，O到直线l的距离为

，

△ABO的面积为

把2m2﹣4k2=3代入上式得

．

，

21. （本小题满分12分）已知函数f(x)lnxa(x1)，（其中a0，e是自然对数的底数）.

1212xxa有唯一实根，求(1lna)a的值； 2ae1e21（Ⅱ）若过原点作曲线yf(x)的切线l与直线yex1垂直，证明：； aee（Ⅰ）若关于x的方程f(x)（Ⅲ）设g(x)f(x1)ex，当x0时，g(x)1恒成立，求实数a的取值范围.：

（Ⅱ）因为过原点所作曲线yf(x)的切线l与直线yex1垂直，

11所以切线l的斜率为k，且方程为yx.设l与曲线yf(x)的切点为(x1,y1)，

ee1'f(x)1e所以，„„„„5y1lnx1a(x11)1y1x1e分 所以a1111，且lnx110， x1ex1e1111，则m'(x)2，所以m(x)在（0,1）上单调递减，在(1,)上单调递增. xexx111若x1(0,1)，因为m()2e0，m(1)0，

eee令m(x)lnx1e1e211111a所以x1(,1)，而a在x1(,1)上单调递减，所以.

eeeex1e若x1(1,)，因为m(x)在(1,)上单调递增，且m(e)0，则x1e，

e1e2111a所以a0（舍去）.综上可知，；„8分 eex1e

②当a2时， 因为g'(x)在[0,)上递增， 因为g'(0)2a0，则存在x0(0,)，使得

g'(x0)0.所以g(x)在(0,x0)上递减，在(x0,)上递增，

又x(0,x0)时，g(x)g(0)1，所以g(x)1不恒成立，不合题意. 综合可知，所求实数a的取值范围是(0,2]．

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点,

x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线C:sin22acos(a0)，

2t，直线2y42t2已知过点P(2,4)的直线L的参数方程为：x2L与曲线C分别交于M,N．

（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程； （Ⅱ）若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值．

22.解：（Ⅰ）y2ax,yx2.....................................5分

x2（Ⅱ）直线l的参数方程为2t（2y42t22t为参数）,代入y22ax得到t222(4a)t8(4a)0,

则有t1t222(4a),t1t28(4a)................8分

222因为|MN||PM|,|PN|,所以(t1t2)(t1t2)4t1t2t1t2解得 a1..........10分