2017-2018学年山东省青岛大学附中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（6，﹣4） B．（5，2） C．（﹣3，﹣6） 2．（3分）在实数
、
0
、3.14﹣（﹣π），
D．（﹣3，4）
，0，
，0.9090090009…
（相邻两个9之间0的个数逐次加1）中，有理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（3分）若点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，则m的值是（ ） A． B．﹣ C．1
D．﹣1
4．（3分）有下列说法：（1）平方根与立方根相同的数是1（2）﹣a2没有平方根（3）
的算术平方根是4（4）每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示
（5）0.04的算术平方根是0.2；（6）﹣π是（﹣π）2的平方根．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）已知一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ） A．y=﹣x﹣1 6．（3分）估计
B．y=﹣x﹣6
C．y=﹣x﹣2
D．y=﹣x+10
的大小应在（ ）
A．5～6 之间 B．6～7 之间 C．8～9 之间 D．7～8 之间
7．（3分）下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（ ）
第1页（共29页）
A． B． C．
D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣2，4），B（4，2），直线y=kx﹣2与线段AB有交点，则k的值不可能是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．3
D．5
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9．（3分）
的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ．
10．（3分）点A（﹣3，4）到y轴的距离为 ，到x轴的距离为 ，到原点的距离为 ．
11．（3分）在一次函数y=﹣2x+3中，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”），当﹣1≤x≤3时，y的最小值为 ． 12．（3分）已知a是小于3+是 ．
13．（3分）一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 ．
的整数，且
=a﹣2，那么a的所有可能值
第2页（共29页）
14．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8．点D在边BC上，以AD为折痕折叠△ABD得到△AB'D，AB'与边BC交于点E．若△DEB'为直角三角形，则BD的长是 ．
三、作图题（本题满分4分，用直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 15．（4分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （3）写出点B1的坐标； （4）求△ABC的面积．
四、解答题（本题满分74分共有9道小题）
第3页（共29页）
16．（6分）计算下列各题 （1）（2）
．
17．（6分）某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
18．（6分）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
19．（6分）学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人． （1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；
（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由． 20．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅，有关信息如表：
第4页（共29页）
原进价（元/张） 150 40 零售价（元/张） 270 70 成套售价（元/张） 500元 餐桌 餐椅 （1）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和4张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（2）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（1）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（1）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
21．（10分）（I） 观察下列各式的特点：
…
根据以上规律可知：
（2）观察下列式子的化简过程：
（填“＞”“＜”或“=”）．
…
根据观察，请写出式子
（n≥2）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：
．
22．（10分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、
第5页（共29页）
乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题： （1）A，B两城相距多少千米？
（2）分别求甲、乙两车离开A城的距离y与x的关系式． （3）求乙车出发后几小时追上甲车？
（4）求甲车出发几小时的时候，甲、乙两车相距50千米？
23．（10分）如图，已知一次函数y=﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A．B． （1）求点A，B的坐标．
（2）点M为一次函数y=x+3的图象上一点，若△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．
（3）点Q为y轴上的一点，若△ABQ为等腰三角形，不用写过程，请直接写出点Q的坐标．
24．（12分）操作体验
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC的中线AD，并判断△ABD与△ACD的面积大小关系．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，已知点A（2，4），B（﹣1，0），C（3，0），试确定过点A的一条直线l，平分△ABC的面积，请写出直线l的表达式． 综合运用
（3）如图③，在平面直角坐标系中，若A（1，4），B（3，2），那么在直线y=﹣4x+20上是否存在一点C，使直线OC恰好平分四边形OACB的面积？若存在，
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请计算点C的坐标；若不存在，请说明理由．
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2017-2018学年山东省青岛大学附中八年级（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（6，﹣4） B．（5，2） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，4）
【分析】先判断手所在的象限，再判断象限横纵坐标的正负即可．
【解答】解：因为小手盖住的点在第四象限，第四象限内点的坐标横坐标为正，纵坐标为负，且横坐标的绝对值大于纵坐标的绝对值．故只有选项A符合题意， 故选：A．
2．（3分）在实数
、
0
、3.14﹣（﹣π），
，0，，0.9090090009…
（相邻两个9之间0的个数逐次加1）中，有理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据有理数的定义，可得答案． 【解答】解：，故选：A．
3．（3分）若点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，则m的值是（ ） A． B．﹣ C．1
D．﹣1
、3.14﹣（﹣π）0，0，
是有理数，
，0.9090090009…（相邻两个9之间0的个数逐次加1）是无理数，
【分析】利用待定系数法代入正比例函数y=﹣x可得m的值．
第8页（共29页）
【解答】解：∵点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上， ∴m=﹣×（﹣2）=1， 故选：C．
4．（3分）有下列说法：（1）平方根与立方根相同的数是1（2）﹣a2没有平方根（3）
的算术平方根是4（4）每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示
（5）0.04的算术平方根是0.2；（6）﹣π是（﹣π）2的平方根．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平方根、立方根的意义，无理数与数轴的关系，可得答案． 【解答】解：（1）平方根与立方根相同的数是0，故（1）错误； （2）﹣a2有平方根0，故（2）错误； （3）
的算术平方根是2，故（3）错误；
（4）每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，故（4）正确； （5）0.04的算术平方根是0.2，故（5）正确； （6）﹣π是（﹣π）2的平方根，故（6）正确； 故选：C．
5．（3分）已知一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ） A．y=﹣x﹣1
B．y=﹣x﹣6
C．y=﹣x﹣2
D．y=﹣x+10
【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，根据两直线平行问题得到k=﹣1，然后把（8，2）代入y=﹣x+b求出b，即可得到一次函数解析式． 【解答】解：由题意可得出方程组解得：
，
，
那么此一次函数的解析式为：y=﹣x+10． 故选：D．
6．（3分）估计
的大小应在（ ）
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A．5～6 之间 B．6～7 之间 C．8～9 之间 D．7～8 之间 【分析】估算即可得到结果． 【解答】解：∵64＜75＜81， ∴8＜
＜9，
故选：C．
7．（3分）下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（ ）
A． B． C．
D．
【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y=mx+n过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；
②当mn＜0时，m，n异号，则y=mx+n过1，3，4象限或2，4，1象限． 故选：A．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣2，4），B（4，2），直线y=kx﹣2与线段AB有交点，则k的值不可能是（ ）
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A．﹣5 B．﹣2 C．3 D．5
【分析】当直线y=kx﹣2与线段AB的交点为A点时，把A（﹣2，4）代入y=kx﹣2，求出k=﹣3，根据一次函数的有关性质得到当k≤﹣3时直线y=kx﹣2与线段AB有交点；当直线y=kx﹣2与线段AB的交点为B点时，把B（4，2）代入y=kx﹣2，求出k=1，根据一次函数的有关性质得到当k≥1时直线y=kx﹣2与线段AB有交点，从而能得到正确选项．
【解答】解：把A（﹣2，4）代入y=kx﹣2得，4=﹣2k﹣2，解得k=﹣3， ∴当直线y=kx﹣2与线段AB有交点，且过第二、四象限时，k满足的条件为k≤﹣3；
把B（4，2）代入y=kx﹣2得，4k﹣2=2，解得k=1，
∴当直线y=kx﹣2与线段AB有交点，且过第一、三象限时，k满足的条件为k≥1．
即k≤﹣3或k≥1．
所以直线y=kx﹣2与线段AB有交点，则k的值不可能是﹣2． 故选：B．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9．（3分）
的相反数是 ﹣ ，倒数是 ，绝对值是 ．
【分析】根据相反数的意义，倒数的意义，绝对值的意义，可得答案． 【解答】解：
的相反数是﹣，倒数是
，绝对值是
，
故答案为：﹣，，．
10．（3分）点A（﹣3，4）到y轴的距离为 3 ，到x轴的距离为 4 ，到原点的距离为 5 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答，再利用勾股定理列式计算即可求出点到原点的距离． 【解答】解：点A（﹣3，4）到y轴的距离为3，到x轴的距离为4， 到原点的距离=故答案为：3，4，5．
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=5．
11．（3分）在一次函数y=﹣2x+3中，y随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），当﹣1≤x≤3时，y的最小值为 ﹣3 ．
【分析】根据一次函数的性质易得一次函数y=﹣2x+3，y随x的增大而减小；然后计算x=3时得函数值即可得到y的最小值． 【解答】解：∵k=﹣2＜0，
∴一次函数y=﹣2x+3，y随x的增大而减小； 当x=3时，y=﹣2x+3=﹣3．
∴当﹣1≤x≤3时，y的最小值为﹣3． 故答案为减小，﹣3．
12．（3分）已知a是小于3+是 5，4，3，2 ．
【分析】先根据题意估算出3+围，进而可得出结论． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴2＜∴5＜3+
＜3， ＜9，
的整数，
的取值范围，再根据
得出a的取值范
的整数，且
=a﹣2，那么a的所有可能值
∵a是小于3∴a≤5， ∵
=a﹣2，
∴2﹣a≤0，解得a≥2， ∴2≤a≤5，
∴a的所有可能值是5，4，3，2． 故答案为：5，4，3，2．
13．（3分）一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 10 ．
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【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2， 即S3=2+5+1+2=10． 故答案是：10．
14．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8．点D在边BC上，以AD为折痕折叠△ABD得到△AB'D，AB'与边BC交于点E．若△DEB'为直角三角形，则BD的长是 2或5 ．
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
第13页（共29页）
∴AB=10，
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D， ∴BD=DB′，AB′=AB=10．
如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．
设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2=102． 解得：x1=2，x2=0（舍去）． ∴BD=2．
如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．
∵AB′=10，AC=6， ∴B′E=4．
设BD=DB′=x，则CD=8﹣x．
在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8﹣x）2+42． 解得：x=5． ∴BD=5．
综上所述，BD的长为2或5． 故答案为：2或5．
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三、作图题（本题满分4分，用直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 15．（4分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （3）写出点B1的坐标； （4）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可； （2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据点B1在坐标系中的位置写出其坐标即可； （4）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【解答】解：（1）根据题意可作出如图所示的坐标系；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）由图可知，B1（2，1）；
（4）S△ABC=3×4﹣×2×4﹣×2×1﹣×2×3=12﹣4﹣1﹣3=4．
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四、解答题（本题满分74分共有9道小题） 16．（6分）计算下列各题 （1）（2）
．
【分析】（1）先利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算．
【解答】解：（1）原式=7﹣5﹣（=2﹣4=1﹣4
﹣1 ；
+1﹣2
+3
+
）
（2）原式==2+1﹣2=6﹣2
+3 ．
17．（6分）某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
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【分析】首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间=路程÷速度进行计算； 根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间=路程÷速度计算，然后求出时间段即可． 【解答】解：在BD=
=
Rt△ABD=240km，
中，根据勾股定理，得
则台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点；
如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵BE=BD﹣DE=240﹣30=210km， ∴游人在
=14小时内撤离才可脱离危险．
18．（6分）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直
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角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52， 在△CBD中，CD2=132，BC2=122， 而122+52=132， 即BC2+BD2=CD2， ∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+DB•BC， =×4×3+×12×5=36． 所以需费用36×200=7200（元）．
19．（6分）学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人． （1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；
（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．
【分析】（1）根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分别表示出y1（元）和y2（元）与男生人数x之间的函数关系式； （2）根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论：当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时，求出x的范围就可以求出结论．
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【解答】解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：
y1=0.7[120x+100（2x﹣100）]+2200=224x﹣4800，（x≥50）， y2=0.8[100（3x﹣100）]=240x﹣8000，（x≥50）；
（2）由题意，得
当y1＞y2时，即224x﹣4800＞240x﹣8000，解得：x＜200 当y1=y2时，即224x﹣4800=240x﹣8000，解得：x=200 当y1＜y2时，即224x﹣4800＜240x﹣8000，解得：x＞200 答：当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；
当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买； 当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．
20．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅，有关信息如表：
原进价（元/张） 150 40 零售价（元/张） 270 70 成套售价（元/张） 500元 餐桌 餐椅 （1）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和4张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（2）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（1）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（1）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
【分析】（1）设购进餐桌x张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“总利润=成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题； （2）设本次成套销售量为m套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据
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利润间的关系找出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元． 由题意得：x+5x+20≤200， 解得：x≤30． ∵a=150，
∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张． 依题意可知：
W=x•（500﹣150﹣4×40）+x•（270﹣150）+（5x+20﹣x•4）•（70﹣40）=245x+600， ∵k=245＞0，
∴W关于x的函数单调递增，
∴当x=30时，W取最大值，最大值为7950．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元． （2）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元， 设本次成套销售量为m套．
依题意得：（500﹣160﹣4×50）m+（30﹣m）×（270﹣160）+（170﹣4m）×（70﹣50）=7950﹣2250， 即6700﹣50m=5700， 解得：m=20．
答：本次成套的销售量为20套．
21．（10分）（I） 观察下列各式的特点：
…
根据以上规律可知：
（2）观察下列式子的化简过程：
＞
（填“＞”“＜”或“=”）．
第20页（共29页）
…
根据观察，请写出式子
（n≥2）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：
．
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案； （2）把分子分母同时乘以
﹣
，然后化简即可得到答案；
=
﹣1，
=
﹣
，…，
（3）根据（2）中的规律可得
=
﹣
分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
＞
．
【解答】解：（1）根据题意可得故答案为＞．
（2）
==﹣；
（3）原式=|（）﹣（=（
﹣
﹣1）﹣（）|+…+|（﹣
）+（
﹣）|+|（﹣
﹣）﹣（﹣）+（
﹣）| ﹣
）|+|（﹣
）﹣（）﹣（）
﹣
﹣1）﹣（
﹣﹣1）﹣（﹣1﹣﹣
﹣﹣）
）﹣（﹣）
+…+（=（==
）﹣（
﹣
+10 +9．
22．（10分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如
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图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题： （1）A，B两城相距多少千米？
（2）分别求甲、乙两车离开A城的距离y与x的关系式． （3）求乙车出发后几小时追上甲车？
（4）求甲车出发几小时的时候，甲、乙两车相距50千米？
【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）根据图象中的信息分别求出甲乙两车对应的函数解析式，
（3）根据（2）甲乙两车对应的函数解析式，然后令它们相等即可解答本题； （4）根据（2）中的函数解析式，可知它们相遇前和相遇后两种情况相距50千米，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由图可知， A、B两城相距300千米；
（2）设甲对应的函数解析式为：y=kx， 300=5k 解得，k=60，
即甲对应的函数解析式为：y=60x， 设乙对应的函数解析式为y=mx+n，
，
解得，
，
即乙对应的函数解析式为y=100x﹣100，
（3）解解得
，
2.5﹣1=1.5，
第22页（共29页）
即乙车出发后1.5小时追上甲车；
（4）由题意可得，
当乙出发前甲、乙两车相距50千米，则50=60x，得x=，
当乙出发后到乙到达终点的过程中，则60x﹣（100x﹣100）=±50， 解得，x=1.25或x=3.75，
当乙到达终点后甲、乙两车相距50千米，则300﹣50=60x，得x=即小时、1.25小时、3.75小时、
23．（10分）如图，已知一次函数y=﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A．B． （1）求点A，B的坐标．
（2）点M为一次函数y=x+3的图象上一点，若△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．
（3）点Q为y轴上的一点，若△ABQ为等腰三角形，不用写过程，请直接写出点Q的坐标．
，
小时时，甲、乙两车相距50千米．
【分析】（1）分别计算函数值为0定义的自变量和自变量为0对应的函数值可得到A、B点的坐标；
（2）利用同底等高面积相等求解，先确定点M在直线y=﹣x或y=﹣x+6上，然后通过解方程组求M点的坐标；
（3）先计算出AB，分类讨论：以A为顶点得到Q（0，﹣3），以B为顶点得到Q（0，3
+3）或（0，﹣3
+3），以Q为顶点利用QA=QB可求Q点坐标．
【解答】解：（1）当y=0时，﹣x+3=0，解得x=6，则A（6，0）， 当x=0时，y=﹣x+3=3，则B（0，3）；
第23页（共29页）
（2）∵△ABM与△ABO的面积相等，
∴M点到直线AB的距离与O点到AB的距离相等， ∴点M在直线y=﹣x或y=﹣x+6上， 解方程组
得
，解方程组
得
，
∴M点的坐标为（﹣2，1）或（2，5）； （3）AB=
=3
，
当AQ=AB，则Q（0，﹣3）， 当BQ=BA=3
时，则Q（0，3
+3）或（0，﹣3
+3），
当QA=QB时，作AB的垂直平分线交y轴于Q，如图，设Q（0，t）， ∵QA2=62+t2，QB2=（3﹣t）2， ∴62+t2=（3﹣t）2，解得t=﹣， ∴此时Q（0，﹣，）．
综上所述，Q点坐标为Q（0，﹣3）或Q（0，3﹣）．
+3）或（0，﹣3
+3）或（0，
24．（12分）操作体验
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC的中线AD，并判断△ABD与△ACD的面积大小关系．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，已知点A（2，4），B（﹣1，0），C（3，0），试确定过点A的一条直线l，平分△ABC的面积，请写出直线l的表达式． 综合运用
第24页（共29页）
（3）如图③，在平面直角坐标系中，若A（1，4），B（3，2），那么在直线y=﹣4x+20上是否存在一点C，使直线OC恰好平分四边形OACB的面积？若存在，请计算点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于点E，则可表示出△ABD和△ACD的面积，可比较其大小关系；
（2）由（1）可知直线l应过BC的中点F，由B、C的坐标可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线l的表达式；
（3）由条件可知直线OC过AB的中点G，由AB的坐标可求得G的坐标，利用待定系数法可求得直线OC的解析式，联立两直线解析式可求得C点坐标． 【解答】解：
（1）如图①，过A作AE⊥BC于点E，
∵AD为BC边上的中线， ∴BD=CD，
∴BD•AE=CD•AE， 即S△ABD=S△ACD；
（2）如图②，设BC的中点为F，
第25页（共29页）
∵直线l平分△ABC的面积， ∴由（1）可知直线l过点F， ∵B（﹣1，0），C（3，0）， ∴F（1，0），
设直线l的表达式为y=kx+b， 把A、F的坐标代入可得∴直线l的表达式y=4x﹣4；
（3）如图③，连接AB交OC于点G，
，解得
，
∵直线OC恰好平分四边形OACB的面积， ∴直线OC过AB的中点，即G为AB的中点， ∵A（1，4），B（3，2）， ∴G（2，3），
设直线OC解析式为y=ax，则3=2a，解得a=， ∴直线OC表达式为y=x，
联立两直线解析式可得，解得，
第26页（共29页）
∴存在满足条件的点C，其坐标为（
【模型一】
“一线三等角”模型： 图形特征：
，）．
赠送初中数学几何模型
运用举例：
60°60°60°
45°45°45°
1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；
yAOCBx
2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则
S1S4 ．
1s12s2s3第27页（共29页）
3s4l
3. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E． （1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
AE
4.如图，已知直线yBDC
11x1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx2bxc与22直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。 （1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P； （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标。
yEADBCx
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5.如图，已知正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，点M在线段BF上（不与点B重合），连接EM，将线段EM绕点M顺时针旋转90°得MN，连接FN．
（1）特别地，当点M为线段BF的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：NFC= °，
NF= ； BM（2）一般地，当M为线段BF上任一点（不与点B重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN交CD于点G，求
NG的值 FMADEGNBMFC
6..如图，矩形AOBC中，C点的坐标为(4，3)，，F是BC边上的一个动点（不与B，C重合），过F 点的反比例函数y
k
(k>0)的图像与AC边交于点E。 x
(1)若BF＝1，求△OEF的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点k的值；若不存在，请说明理由
yAECFOBx
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