相似三角形总结

A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形B A

E

DC AA EC BD E BCacabbd，可先证得

ef（e,f是两条线段）

eced，这里把f叫做中间比。 然后证f①∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD

CDADB

双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项

⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD

⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB

⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB

结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD

结论：面积法得AB•CD=AC•BC→比例式 证明等积式(比例式)策略

直接法：找同一三角形两条边

变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；

⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型

②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比

相似终极策略：

遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。

（3）等比代换：若a,b,c,d是四条线段，欲证

②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形 求证：

BD•CN=BM•CE．

③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。

求证：BP•PC=BM•CN

☞有射影，或平行，等比传递我看行

①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，求证：

AB•AF=AC•DF

F斜边上面作高线，比例中项一BD大片 ②ABCD

AEC

③梯形ABCD中，AD//BC，作BE//CD, 求证：OC2=OA.OE

☞四

1

共线，看条件，其中一条可转换；

①Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。 求证：EF2=BE•FC

②△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA， 求证：BP2=PE·PF。

③AD是△ABC的角

A平分线，EF垂直平分

F12AD，

交BC的延长线于E，交AB于F. 求证： DE2=BE·CE. DCBE

☞两共线，上下比，过端平行条件边。 ①AD是△ABC的角平分线.

求证：AB:AC=BD:CD. A ⑥△ABC中，AC=BC，F为

底边AB 上的一点，（m、n＞0），取CF

的中点D， 连结AD并延长交BC于E.（1）的值.（2）如果BE=2EC，那么CF所在直线与边

AB有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。☞彼相似，我条件，创造边角再相似①AE2＝AD·AB，且∠ABE＝∠BCE，

试说明△EBC∽△DEB

E123BDCAE BC FD②在△ABC中，AB=AC，

求证：DF:FE=BD:CE.

③在△ABC中，AB>AC，D为AB

A上一点，E为AC上一点，AD=AE， D直线DE和BC的延长线交于点P， E求证：BP:CP=BD:CE. BPC④在△ABC中，BF交AD于E. A(1)若AE:ED=2:3，FEBD:DC=3:2，求AF:FC；

C(2)若AF:FC=2:7，BDBD:DC=4:3，求AE:ED.

（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC

⑤在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，AC边上的中线BM交AD于P，交AE于Q，若BM=10cm，试求BP、PQ、QM的长.

②已知ABD∽ACE，求证：ABC∽

ADE．

③D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，求证：△DBE∽△ABC。

A ED OBC

④D、E分

别在△ABC的AC、AB边上，

且AE•AB=AD•AC，BD、CE交于点O. 求证：△BOE∽△COD.

2

相似三角形总结 一、如何证明三角形相似 例6：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。 20AEME2例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC求证：（1）MA=MD•ME；（2） 的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGDAD2MD∽ ∽ 。

A AAD 42F 3D CBE1

B GFECB FDA

D例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BDCGR是角平分线，求证：△ABC∽△BCD S EQ例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、PBCAD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，AB∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC 例7：如图△ABC 中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。 边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明三、如何用相似三角形证明两角相等、两你的结论。 线平行和线段相等。

DC二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC中，在ADCFGBEBDA12BMEAEF1OD23例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且CAC上截取DAD，在FCB延E长线上KCB截取BE，使AD=BE，求证：DF•AC=BC•FE

AEBAF1ABAD3。求证：∠AEF=∠FBD C 例9、在形ABCDBR、CP、角的平分OSQ∥BC ECABFD平行四边内，AR、DP各为四线， 求证：AB，RP∥3

例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD

例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且

BCAB=∴△DBE∽△ABC BEBD例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻求证：FC=FG

例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF

相似三角形总结（答

案）

例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。

例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°

在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD

例3分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公

用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,

∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴

BCAB=BEBD即：BCBE=ABBD

找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形

AEDADEABBCBCD(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为

“相交线型”的相似三角形。

AAD1E14ED21DBC2BCB2(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA

解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a， 由勾股定理可求得AE=2a， 在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且

AEECEFAE2所以△EAF∽△ECA 例5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利

用相似三角形或平行线性质进

A行证明：

D21证明：过D点作DK∥AB，

交BC于K，

E∵DK∥AB，∴DF：

FE=BK：BE

BC又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC

即DF：FE= BC：AC，∴DF•AC=BC•FE

例6 证明：（1）∵∠BAC=900

，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，

∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900

-∠B，∴

∠1=∠D，

4

∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴证明：作FG⊥BD，垂足为G。设AB=AD=3k则

BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=32k

000

∵∠ADB=45，∠FGD=90∴∠DFG=45∴DG=FG=

MAME2

，∴MA=MD•ME， MDMAAEMA，ADMDMAMEMEAEMEAE2•∴ 2MDMAMDADMAAD（2）∵△MAE∽△MDA，∴

评注：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△

DF2AFFG1∴ AEBG22k∴BG=32k2k22k又∠A=∠FGB=90∴△AEF∽△GBF ∴∠0

ABD∽△ACB，AB2

=AD•AC。

命题2 如图，如果AB2

=AD•AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。

例7 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，

得△AEF∽△DEG，

AEDEAFDG。与结论AE2AFAFEDFB1相比较，显然问题转化为2BF证DG12FB。

证明：过D点作DG∥AB交FC于G则△AEF∽△DEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）AEAF （1） DEDG∵D为BC的中点，且DG∥BF∴G为FC的中点则DG为△CBF的中位线，DG1BF （2）将（2）

2代入（1）得：AEAF2AF

DE1FB2BF例8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等

三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，

AEF=∠FBD

例9 分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQ∥AB，只需证明AR：AS=BR：DS。

证明：在△ADS和△ARB中。

∵∠DAR=∠RAB=12∠DAB，∠DCP=∠PCB=

12∠ABC∴△ADS∽△ABR ARBRASDS 但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，则

ARASBRBQ，∴SQ∥AB，同理可证，RP∥BC 例10分析：要证明AF∥CD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AF∥CD，只要证明

OAOFOCOD即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。

证明：∵AB∥ED，BC∥FE∴

OAOBOEOD，OEOFOAOCOB∴两式相乘可得：OCOFOD 例11 分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到

FCFG?（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。

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证明：∵ FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF 则有GFAFBEAE而FC∥DE ∴△AED∽△AFC

则有

CFDEAFAE ∴GFCFAFBEDEAE又∵BE=DE（正方形的边长相等）∴DFGFBEBE，即GF=CF。

例12 证明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt

△CAE∽Rt△CDO，∴

AEACODCD 又OF∥BC，∴BFABODAD又∵Rt△ABD∽Rt△CAD，∴ACABAEBFCDAD，即ODOD∴AE=BF。

评注：应用比例线段证明两直线平行或两线段

相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。（2）要注意比例性质的灵活运用，善于总结比例式变换时的方法和技巧。变化时，要头脑清醒，思路清晰，一个字母也不放过，并且每一步都要有根有据，切不可无根据的乱变，或者相当然地硬变。

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