提高测试(二)
(一)选择题(每题3分,共30分)
1．〝a＝1〞是〝函数y＝cos2
a_－sin2 a_的最小正周期为 p 〞的( )．
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件 (C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件 【提示】
由于y＝cos2 a_－sin2 a_＝cos 2a_,当a＝1时,函数的最小正周期为p ,当a＝－1时,函数的最小正周期也是p ,所以 a＝1是函数的最小正周期为p 的充分而不必要条件．
【答案】(A)．
【点评】本题考查倍角公式和三角函数的周期性以及充要条件的知识．
2．函数f(_)＝M sin(w_＋j)(w ＞0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)＝－M,
f(b)＝M,则函数g(_)＝M cos(w _＋j)在[a,b]上( )． (A)是增函数 (B)是减函数
(C)可以取得最大值M
(D)可以取得最小值－M 【提示】
利用特殊值法,令M＝w ＝1,j
＝0,则有 f(_)＝sin _,g(_)＝cos _,同时a＝－,b＝,可见,g(_)在[a,b](即[－,])上既不是增函数,也不是减函数,但可以取得最大值1,故排除(A).(B).(D)．本题也可以用作图法求解．
【答案】(C)．
【点评】本题考查正弦函数.余弦函数的性质以及灵活运用这些知识解决问题的能力．
3．已知a .b 是锐角三角形的两个内角,则下列各式中成立的是( )．
(A)cos a ＞sin b ,cos b ＞sin a
(B)cos a ＜sin b ,cos b ＜sin a
(C)cos a ＞sin b ,cos b ＜ sin a
(D)cos a ＜sin b ,cos b ＞sin a 【提示】
a .b 是锐角三角形的两个内角,所以a ＋b ＞90°,a ＞90°－b ,故有 sin
a ＞sin(90°－b),cos a ＜cos(90°－b),即sin a ＞cos b ,cos a ＜sin b．
【答案】(B)．
【点评】本题考查诱导公式以及正弦函数.余弦函数的单调性．
4．下列不等式中正确的是( )． (A)e cos 52°＜e cos 53° (B)＞
(C)＞ (D)＜
【提示】利用函数的单调性．
【答案】(A)． 【点评】
本题综合指数函数.对数函数的性质考查三角函数的单调性．由于cos 52°＞cos 53°,得ecos 52°＞ecos 53°,排除(A);由于tan 200°＝tan 20°,tan 199°＝tan 19°,有
tan 20°＞tan 19°,而0＜＜1,得＜,排除(B);由于
＜,p ＞1,得＜,排除(C);而sin 115°＞sin 116°,且0＜＜1,有＜．故选(D)．
5．设k是4的倍数加上1的自然数,若以cos _表示cos k _时,有cos k _＝f(cos _),则sin k _等于( )．
(A)f(cos _) (B)f(sin _) (C)f(cos k _) (D)f(sin k _) 【提示】
由于sin a ＝cos(－a),设k＝4n＋1,(n＝0,1,2,…),则有
f(sin _)＝f(cos(－a))＝
＝
＝cos[2np＋－(4n＋1)_]
＝cos[－(4n＋1)_]
＝sin[(4n＋1)_]
＝sin k _ ．
以上各步均可逆． 【提示二】
利用特殊值法,令k＝5,则f(cos _)＝cos 5_sin 5_．排除(A),f(cos 5_)＝
cos(5_5_)＝cos 25_sin 5_,排除(C),f(sin 5_)＝f [cos(－5_)]＝ ＝cos(－25_)＝sin 25_sin 5_,排除(D),而f(sin _)＝f [cos(－_)]＝＝cos(－5_)＝sin 5_．
【答案】(B)．
【点评】本题考查函数的概念,诱导公式以及分析问题.解决问题的能力．
6．已知f(_)＝,则当q
(,)时,式子f(sin 2q )的值是( )．
(A)2 sin q (B)2 cos q
(C)－2 sin q (D)－2 cos q 【提示】
f(sin 2q )－f(－sin 2q ) ＝－ ＝－
＝sin q －cos q －sin q ＋cos q ,
因为q (,),得sin q ＜cos q ＜0,
所以,原式＝cos q －sin q＋sin q ＋cos q ＝2 cos q ．
【答案】(B)． 【点评】
本题考查函数的概念,三角函数值符号.二倍角公式以及三角函数恒等变形的能力．
7．已知sin a
＝,a (,p),tan(p－b)＝,则tan(a －2b )的值等于( )．
(A) (B)－ (C) (D)－ 【提示】
由sin a ＝,a ∈(,p),得cos a ＝－,tan a ＝－．
又tan(p－b)＝,得tan b ＝－,tan 2b ＝＝－．
所以,tan(a －2b )＝＝．
【答案】(A)． 【点评】
本题考查同角三角函数的关系,诱导公式.二倍角的正切公式,两角差的正切公式以及运算能力．
8．要得到函数y＝cos(－),_∈R的图象,只需将函数y＝,_∈R的图象( )．
(A)向左平行移动个单位长度
(B)向右平行移动个单位长度
(C)向左平行移动个单位长度
(D)向右平行移动个单位长度
【提示】
由y＝cos(－)＝cos(－)＝＝＝
【答案】(A)．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质．注意:当由函数y＝的图象得到函数y＝的图象时,需将函数y＝的图象上的所有点沿_轴平移个单位长度(当＜0时向左移,当＞0时向右移)．
9．适合tan(2_＋)＝,_∈的_值的个数是( )．
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【提示】
由tan(2_＋)＝,得2_＋＝kp ＋(k∈Z),即_＝kp
－(k∈Z),满足_∈时,k可取1,2,3,4,故_的值为,,,共4个值．
【答案】(C)．
【点评】本题考查反正切函数的定义． 10．若0＜a
＜,则arcsin[cos(＋a )]＋arccos[sin(p＋a
)]等于( )．
(A) (B)－ (C)－2a (D)－－2a
【提示】 用特殊值法,由0＜a ＜,取a ＝,
则原式＝arcsin(－)＋arccos(－)＝－＋＝．
【答案】(A)．
【点评】本题主要考查反正弦.反余弦的定义及解决问题的能力．
(二)填空题(每题4分,共20分)
1．若角a 的顶点与原点重合,其始边与_轴的非负半轴重合,角a 的平分线过点(－p,p ),那么sin a ＝________,cos a ＝___________．
【提示】角a 的终边与y轴的非正半轴重合,即a ＝＋2kp(k∈R)．
【答案】－1,0
【点评】本题考查三角函数的定义．
2．函数y＝的值域为__________．
【提示一】化原函数为sin _＝,由sin _1,得－11,解之得－y1．
【提示二】运用〝分离常数法〞．y＝＝－1＋,当sin _＝－1时,函数的最小值为－;当_＝1时,最大值为1．
【答案】[－,1]．
【点评】本题考查三角函数的值域及其应用．
3．对于正整数n,f(n)＝sin n a ＋cos n a ,若已知f(1)＝a( sin a ＋cos a ),
则f(3)＝____________． 【提示】
f(1)＝sin a ＋cos a ＝a,于是,得sin a cos a＝,
从而f(3)＝sin3 a ＋cos3 a ＝a(1－)＝． 【答案】． 4．已知＜b
＜a ＜,cos(a －b )＝,sin(a ＋b )＝－,则sin 2a 的值为____． 【提示】 由＜b
＜a ＜,得0 ＜a
－b ＜,p ＜a
＋b ＜,根据cos(a －b )＝,有sin(a －b )＝;根据sin(a ＋b )＝－,有cos(a ＋b )＝－,
所以,sin 2a ＝sin[(a －b )＋(a ＋b)]
＝sin(a －b )cos(a ＋b )＋cos(a －b )sin(a ＋b )
＝_(－)＋()_(－)＝－．
【答案】－． 【点评】
本题考查三角函数的和角公式.同角三角函数关系及运算能力．解题中运用了角的变换,注意到(a
＋b )＋(a －b )＝2a ,得sin 2a ＝sin[(a ＋b
)＋(a －b)],用两角和的正弦公式就可以得出sin 2a 的值,变换的思想是数学的基本思想．
5．函数y＝是减函数的区间为__________．
【提示】由y＝＝＝1＋．
利用对数函数的定义域,知sin 2_＞0,得_∈(kp ,kp＋)(k∈Z)．又y＝sin 2_的递增区间为[－＋kp ,＋kp](k∈Z),而y＝sin 2_的递增区间即为原函数的递减区间．
所以,原函数的递减区间为(kp ,kp＋)(k∈Z)．
【答案】 (kp ,kp＋)(k∈Z)． 【点评】
本题考查三角函数.对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法．
(三)解答题(每题10分,共50分) 1．求值．
【提示】〝切化弦〞后,利用三角函数基础知识,可解． 【答案】 原式＝ ＝ ＝ ＝
＝－
【点评】本题考查灵活运用同角三角函数关系.两角差的正弦.二倍角公式及运算能力．
2．已知0＜b ＜,＜a ＜,cos(－a )＝,sin(＋b )＝, 求sin(a ＋b )的值． 【提示】
用已知角表示所求角,注意到(＋b )－(－a )＝＋(a ＋b ),
于是sin(a ＋b )＝－cos[＋(a ＋b )]＝－cos[(＋b )－(－a )],
只要求出sin(－a ),cos(＋b )就可以了． 【答案】 ∵ 0＜b ＜,＜a ＜, ∴ －＜－a ＜0,＜＋b ＜p． 由cos(－a )＝,得sin(－a )＝－． 由sin(＋b )＝,得cos(＋b )＝－． ∴ sin(a ＋b )＝－cos[＋(a ＋b )]
＝－cos[(＋b )－(－a
)]
＝－ cos(＋b )cos(－a )－sin(＋b )sin(－a )
＝―(―)_―_(―) ＝
【点评】本题考查同角三角函数关系,诱导公式.两角差的余弦公式的灵活运用,考查计算推理能力以及变换的思想．
3．已知△ABC的三个内角A.B.C满足A＋C＝2B,且＝, 求的值．
【提示】由题设A＋C＝2B,可得B＝60°,考虑把当作未知数,通过三角函数式的恒等变形,得到关于的一元二次方程解出即可． 【答案】
∵ 在△ABC中,A＋C＝2B,
∴ B＝60°,A＋C＝120°,
令＝q , 则由 得 于是, ＝ ＝ ＝ ＝
又 －＝－＝－． ∵ ＝－, ∴ ＝－, 即＝0 , ＝0, ∵ 0,
∴ ＝0,cos q
＝, 所以,＝． 【点评】
本题综合考查三角函数的基础知识,考查灵活运用三角公式进行恒等变形运算的能力．
4．已知sin 2a ＝,(－＜a ＜p ),函数f (_)＝sin(a －
_)－sin(a ＋_)＋2 cos a 有最大值0 ,求当_为何值时,f (_)有最小值?最小值是多少? 【提示】
化简函数式,得f (_)＝2 cos a(1－sin _)．根据题意,计算出cos a 的值,再利用
sin _ 1,就可以求出f (_)的最小值． 【答案】
∵ f (_)＝sin(a －_)－sin(a ＋_)＋2 cos a
＝sin a cos _－cos a sin _－sin a cos _－cos a sin _＋2 cos a
＝2 cos a －2 cos a sin _
＝2 cos a(1－sin _)
又f (_)≤0,
∴ 2 cos a(1－sin _)≤0,
而1－sin _≥0,
∴ cos a ＜0, ∵ －＜a ＜p , 于是－＜a ＜－ 或＜a
＜p,－＜2a ＜－p,或p ＜2a ＜2p ．
又sin 2a ＝＞0,
∴ －＜2a ＜－p,且cos 2a ＝－．
也就是2 cos 2 a ＝－,即cos a ＝－．
∴ f (_) ＝－,
当sin _＝－1时,即_＝2 kp－(kZ)时,f (_)有最小值－． 【点评】
本题综合考查三角函数的基础知识(两角和差的正弦公式.同角三角函数关系.二倍角公式.函数的最值等)以及运算能力．
5．记函数f (_) ＝1－2a－2acos _－2 sin2 _的最小值为f(a)．
(1)写出函数f(a)的表达式;
(2)若f(a)＝,求这时函数f(a)的最大值． 【提示】
化简函数式,得f (_) ＝,由 cos _ 1,利用二次函数的图象性质,应分情况讨论． 【答案】
(1)∵ f (_) ＝1－2a－2a cos _－2 sin2 _
＝1－2a－2a cos _－2(1－cos2 _)
＝2 cos2 _－2a cos _－2a－1 ＝．
又 cos _ 1,
①当－11,即－2a2时,取cos _＝,f(a)＝;
②当＞1,即a＞2时,取cos _＝1,f(a)＝＝1－4a;
③当＜－1,即a＜－2 时,即cos _＝－1,f(a)＝＝1．
综上,有 f(a)＝．
(2)若f(a)＝,显然a－2．
①当－2a2时,＝,即a2 ＋4a＋3＝0,a＝－1或a＝－3(舍去),
②当a＞2时,1－4a＝,即a＝(舍去)．
于是,满足f(a)＝,a＝－1,此时,f(_)＝,当cos a ＝1时,
f ma_(_)＝＝5． 【点评】
本题综合二次函数的图象性质,考查与三角函数有关的函数最大(小)值的问题,考查灵活运用所学知识分析问题.解决问题的能力,以及数形结合.分类讨论.转化等数学思想方法．
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