３４ 数学教学研究 第３０卷第１２期２０１１年１２月 平面向量解题的两大策略 洪丽敏 （福建省南安第一中学３６２３００） 平面向量集数与形为一体，一方面，由于 数量的各种运算都有其明显的几何意义，因 此充分利用几何意义结合图形是平面向量解 题的策略之一；另一方面，由于直角坐标系的 引入，平面向量的运算可以通过坐标运算得 以实现，因此根据条件建立适当的坐标系，把 问题转化为坐标运算又是平面向量解决的又 一策略．下面，本文谈谈平面向量解题过程中 这两大策略的合理选择与运用． 策略一：巧用图形、注重几何意义 向量是数形结合的良好载体，向量的有 向线段表示法是用平面几何知识解决向量问 题的基础，为灵活运用几何知识及图形性质 解决向量问题提供了保证． 例１（２０１０年福 州二模）如图ｌ，点Ｐ 在已知△ＡＢＣ的内 部，定义有序实数对 （ ，ｖ， ）为点Ｐ关于 图１ △ＡＢＣ的面积坐标， 其 ，ｖ一 ， 一 ．若点Ｑ 满足嗣一号蔚＋÷赢，则点Ｑ关于△ＡＢｃ 的面积坐标为 解析 如图２，过 点Ｑ作ＢＣ的平行线 交ＡＢ于Ｍ，过点Ｑ作 ＡＢ的平行线交ＢＣ于 Ｎ，则 图２ 茄一砌＋威， 赢＝告窬，荫一专赢， Ｓ△ ｃｈ 一—一Ｉ百 １１ —一 一ｉ一 一 。 同理 Ｓ△０Ａ ｒＢ－－￣－ｆｌ 一一—一 一丽一 。 所以 一 一 一专一百１一百１， 即点Ｑ关于ＡＡＢＣ的面积坐标为 （丢，告，÷）．．一 点评本解法紧扣图形，先逆用向量加 法的平行四边形法则（本质向量的分解），得 到关系式丽一÷ ，商一专百 ，再结合同 底三角形的面积比即为高的比进行求解，不 失为一种简便的方法．事实上，这种解题方法 可把问题进行推广： 如图３，设点Ｐ是 ＡＡＢＣ所在平面内的 一点，若 一 ＋ （ ， ＞ｏ），贝Ｕ有 图３ Ｓ△ＰＡＢ：Ｓ△ＡＢＣ＝ １， Ｓｔ，Ｐ＾ｃ：Ｓ△ＡＢｃ— ：１． 例２（２０１１年大纲全国理１２）设向量 １ ｎ，ｂ，ｃ满足Ｊ口Ｊ＝Ｊ ｂ Ｊ一１，口・ｂ一一寺，（ｎ一 厶 ｃ，６～ｃ＞＝６０。，则Ｉ ｃＩ的最大值等于（ ）． （Ａ）２ （Ｂ）√３ （Ｃ）√２ （Ｄ）１ 解析如图４，设 一口， 一 ， 一 第３Ｏ卷第１２期２０１１年１２月 数学教学研究 ３５ ｃ，则 一口一ｃ，蔬一６一ｃ． 因为ＩｎＩ—Ｉ ｂｌ—ｌ，所以 ｌ ＯＡ Ｉ＝＝＝ｌ ０ｌＢ Ｉ一１． 例３（２０１１年高考天津理１４）已知直 角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ／／ＢＣ， ＡＤＣ＝９０。， ＡＤ＝２，ＢＣ一１，Ｐ是腰ＤＣ上的动点，则 １ 又口・６：一妻，所以 ＡＯＢ＝１２０。． 厶 又＜ｎ—ｃ，ｂ—ｃ＞＝６０。，所以 ＡＢＣ： ６Ｏ。，且６Ｏ。＋１２０。一１８０。，所以Ｏ，Ａ，Ｃ，Ｂ四 点共圆．故当ＯＣ为圆的直径时，Ｉ ｃ『的值最 大，此时 ＡｏＣ一／ＢＯＣ一６０。， ／ＯＡＣ＝／ｏＢＣ一９Ｏ。， １ ＯＣＩ一２ １ ＯＡ１＝＝：２． Ｃ・ ， 、 ●、 ‘ Ｅ Ａ 、 ＼Ｃ 图４ 图５ 点评 本题若直接从向量的运算入手 （如２ｃ＝（口一ｃ）一（６一ｃ）），则计算繁琐，不易 求解，难度大；而本解法紧扣模、数量积、向量 减法、向量夹角的几何意义，利用图形研究各 向量之间的关系，从而使问题得以解决．事实 上，从上面的解题我们可发现ｌ ｃ Ｉ的最小值为 １，如图５（过程略）． 总之，由于向量可用有向线段表示，因此 作图是向量的运算特点之一，通过作图可以 完成向量的运算．因此注重平面向量运算的 几何意义，充分利用向量的图形语言，把向量 运算归结为平面几何问题，是向量运算的优 势之一，是平面向量解题的重要策略． 策略二：合理建系、回归坐标运算 向量的坐标语言很好地沟通了向量与实 数之间的联系，特别是向量的线性运算及数量 积的运算律基本上秉承了实数的运算性质，这 使我们能够较方便地理解、运用向量运算． ｌ＋３商ｌ的最小值为 ． 解法１设 一ｚＤ－－ｄ－（ｏ＜ｚ＜１），则 一（１一ｚ）院， 一 一 一 一ｚ ， 商一 ＋蔬一（１－－Ｘ） ＋ ， ＋３商一昙 ＋（３－－４ｚ） ， Ｉ＋３商Ｉ ｚ 一莩 ｚ＋２× ５×（３—４ｚ）－Ｄ－）ｉ：・ ＋（３—４ｚ）。 ２ —２５＋（３—４ ）ｚ ≥２５． 即ＩＰＺ＋３葡ｌ的最小值为５． 解法２ 如图６，以 Ｄ为坐标原点，分别以 ＤＡ，ＤＣ所在直线为Ｘ， Ｙ轴建立直角坐标系，设 ＤＣ＝ａ，ＤＰ＝ｚ（０≤ ≤ “），则Ｄ（Ｏ，ｏ），Ａ（２，０）， 图６ Ｂ（１，ｎ），Ｃ（０，口），Ｐ（Ｏ， ）， 一（２，一ｚ）， 商一（１，ｎ—ｚ），所以 ＋３商一（５，３ｎ一４ｘ）， Ｉ －Ｐ￣＋３商ｌ一 Ｆ 研≥５． 即ｌ ＋３商Ｉ的最小值为５． 点评解法１从向量加减、数乘运算、向 量的模人手，对考生能力要求较高，而解法２ 则通过建立适当的直角坐标系，把向量巧妙 转化为坐标运算问题，大大降低解题的难度， 更是一种理想的解题策略．事实上，这种策略 常会取得独特的效果，比如： （２００６年高考福建理１１）已知ｌ Ｉ一１， Ｉ魂Ｉ＝ ，０－ｏ２・ 一ｏ，点Ｃ ＬＡＯＢ内， ．ＫＬＡＯＣ＝３ｏ。，设 一 ＋ （ｍ，ｎ ３６ 数学教学研究 第３０卷第１２期２０１１年１２月 ∈Ｒ），则丝等于（ ）． （Ａ）百Ｉ （Ｂ）３ （ｃ）譬 （Ｄ） 解析假设点Ｃ在线 段ＡＢ上，以。为坐标原 点，分别以ＯＡ，ＯＢ所在 直线为ｚ，Ｙ轴建立直角坐 标系，如图７，则Ａ（１，０）， Ｂ（ｏ， ），求得ｃ（丢， ）． 因为 一 ＋ 图 商（ｍ，，ｚ６Ｒ），所以 一丢， ＝丢， ＝３， 选Ｂ． 值得注意的是，这种方法若与特例法相 结合，更有意想不到的好效果，比如上述例１ 别解： 可把ＡＡＢＣ特殊取为 直角三角形，并把它放在直 角坐标系中，即以Ｂ为坐标 原点，分别以ＢＣ，ＢＡ所在 直线为 ，Ｙ轴建立直角坐 标系（如图８），则Ｂ（０，０）， 设Ａ（Ｏ，６），Ｃ（ａ，０），易求得 图８ 点Ｑ的坐标Ｑ（号，鲁），则 ｂ Ｓ△ —一２—１ 一 一百一 ’ 同理 ‘Ｌ Ｓ△０ＡＢ３１ —一～—∞一 — 一 ’ △ ＡＢＣｎ 所以 ＝ 一 一号一号一丢． 即点Ｑ关于△ＡＢＣ的面积坐标为 ｒ Ｉ ｌ １、 ＼２’６’３ 再如：（２００７‘高考江西理１５）如图９，在 ＡＡＢＣ中，点。是ＢＣ的中点，过点０的直 线分别交直线ＡＢ，ＡＣ于不同的两点Ｍ，Ｎ， 若 ＝ ， 一 ，则ｍ＋，ｚ的值为 二ｌ ／ Ｃ ｊ ． 图９ 图１０ 这时我们就可取特殊情况轻松求解，如 图１Ｏ，设Ｂ（一１，Ｏ’），Ｃ（１，０），Ａ（０，Ｉ），取 Ｍ（一２，一１），则 直线ＯＭ： ＝＿砉－ ， 直线ＡＣ：Ｘ＋ —Ｉ， 求得Ｎ（吾，÷），则 一（一ｉ，一１）， 一（一２，－－２）， －Ａ－－－￣＝（Ｉ；＿－Ｉ），Ｘ－￣＝（２３一，一詈）， 从而 专，，ｚ一号，ｍ＋ 一２・ 总之，根据题设条件，建立适当的直角坐 标系（有时可与特例法相结合），把向量转化 为坐标运算问题，会大大降低解题的难度，是 解决平面向量问题的一种理想的解题策略． 平面向量的字母语言（“数”）、坐标语言 （“数”）、图形语言（“形”）从不同的角度诠释了 向量的本质．因此，从“数 ‘形”两个角度研究 是解决平面向量问题的两大有效解题策略． （收稿日期：２０１Ｉ一０９—０８）