著名机构初中数学培优讲义相交线与平行线.第04讲(C级).教师版

相交线与平行线

中考要求

内容 基本要求 了解余角、补角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相同；了解垂线、垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，了解点到直线的距离的意义；了解线段相交线 平行线 垂直平分线及其性质；知道过直线外一点有且只有一条直线平行与已知直线；知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解两平行线之间距离的意义，会度量两平行线间的距离 会用三角尺和直尺过直线外一点做这条直线的平行线；会用直尺或量角器过一点做已知直线的垂线；会用线段垂直平分线的性质解决简单问题；掌握平行线的性质，会判断两条直线是否平行 略高要求 较高要求 例题精讲

相交直线的概念及性质

如果直线a与直线b只有一个公共点，则称直线a与直线b相交，O为交点，其中一条是另一条的相交线． 相交线的性质：两直线相交只有一个交点．

A14C32BD邻补角的概念：

两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1和3，1和4，2和3，2和4互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

对顶角的概念及性质：

（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可

以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1和2，3和4是对顶角.

（2）对顶角的性质：对顶角相等。

垂线的概念及性质：

（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它

们的交点叫垂足.

如图所示，可以记作“ABCD于O”

ACDB（2）垂线的性质：

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.

5.同位角、内错角、同旁内角的概念：

①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在

第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.

②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直

线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角

③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的

一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.

E2AC1346578FDB

看图识角：

（1）“F”型中的同位角.如图.

MAEEMBDNFCMNMBDANCFN（2）“Z”字型中的内错角，如图.

AM

MBNDNC（3）“U”字型中的同旁内角.如图.

AMCN

平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。

平行线的性质：平行线之间的距离处处相等. 两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

平行线的画法：

平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为： 一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），

三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．

平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

平行线的判定

两直线平行的判定方法

方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行

方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行

方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 方法四 垂直于同一条直线的两条直线互相平行

方法五 （平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 方法六 （平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行

平行线的性质：

性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等

简称：两条直线平行，同位角相等

性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等

简称：两条直线平行，内错角相等

性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补

简称：两条直线平行，同旁内角互补

两条平行线间的距离：

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等

【例1】 如图，直线AB、CD交于O，OE平分AOD，BOCBOD30°，求COE的度数．

CAEOD图3B【解析】由BOC、BOD互为邻补角可知，BOCBOD180．

又BOCBOD30，故BOD105，BOC75． 由对顶角相等可知，AODBOC75°．

又OE平分AOD，故AOE37.5，从而可知，COE37.5105142.5．

【答案】142.5

【例2】 过点O任意作7条直线，求证：以O为顶点的角中，必有一个小于26. 【解析】略

【答案】如图，点O把7条直线分成14条射线，记为OA1，OA2，…，OA14.

相邻两射线组成14个角，记为1，2，…，14.

其和为一个周角：12L14360. 若结论不成立，则i≥26，(i1,2,L,14). 相加，得36012L14≥2614364.

这一矛盾说明，在1，2，…，14中，必有一个角小于26.

A1A2A3A4A5OA6A7

180. n【解析】在平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动通过O点，即n条直线交于同一点O，将以O为【例3】 平面上有nn≥2条直线两两相交，试证明：所得的角中至少有一个角不大于

顶点的周角分成了n对互不重叠的角度（共2n个角），设为 1，2，...，2n.由平行线性质可知，这2n个角的每一个都与原来n条直线中某两条直线的一个交角相等，即这2n个角都是原来n条

180180直线两两相交所成的角.假设这些角都大于，于是有 12...2n2n360，这

nn与12...2n360相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.

【答案】在平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动通过O点，即n条直线交于同一点O，将以O为

顶点的周角分成了n对互不重叠的角度（共2n个角），设为 1，2，...，2n.由平行线性质可知，这2n个角的每一个都与原来n条直线中某两条直线的一个交角相等，即这2n个角都是原来n条

180180直线两两相交所成的角.假设这些角都大于，于是有 12...2n2n360，这

nn与12...2n360相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.

【例4】 三条不同的直线相交于同一点O，其中某两条直线相交得到的一对对顶角是60．在以O为顶点

的六条射线上各取一不同于O的点，按顺时针方向依次记为A，B，C，D，E，F．则AOB，BOC，COD，DOE，EOF和FOA中至少有两个角是( )． A．60 B．120 C．锐角 D．钝角 【解析】如下图所示，画出两条直线在点O处交成60对顶角后，第三条过点0的直线要么过60角内部，

要么过120的内部(即60角的外部)．无论下图中(a)，(b)哪种情况，都至少有两个角是锐角．故选C．

【答案】C

FED（a）AO60°CFEBA60°BDC（b）

【例5】 求证：成对顶角的两个角的平分线，在同一直线上． 【解析】略

【答案】如图，AB，OF分别为AOC，BOD的平分CD交于O，则AOC与BOD成对顶角．设OE，线。

AECBDF∵AOEEOC，BOFFOD，且AOCBOD，∴AOEBOF。 又∵BOFFODDOA180

∴AOEFODDOA180。即EOF180 ∴OE，OF在同一直线上。

【例6】 如下图所示，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE.

现有一辆装满货物的卡车停放在D点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？

ADBEC【解析】略

【答案】因为卡车的速度是固定不变的．卡车11分钟内能否将货物运到铁路线旁，关键是能否在铁路线AE

上找到一点，使这点到D点的距离不大于11分钟卡车所行驶的路程．由“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”，想到过点D作AE的垂线，然后再比较垂线段的长度与卡车11分钟能行驶的路程的大小，得出结论．

如图所示，汽车由D点到直线铁路段AE的最短距离是由D向AE引的垂线DH．连结DE．

11SAEDS正方形184320921600

2211又SAEDAEDE1600DH800DH

22∴800DH921600 ∴DH1152（米）

卡车行1152米，需要11529612 (分钟)> 11(分钟)． ∴在11分钟内不能将这车货物由D点运到铁路线旁．

ADHBEC

【例7】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.

⑵ 三条平行直线呢?四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律. 【解析】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.

⑵ 当有3条平行线时，有3?412对同位角，3?26对内错角，3?26对同旁内角； 当有4条平行线时，有6?424对同位角，6?212对内错角，6?212对同旁内角； 当有5条平行线时，有10?440对同位角，10?220对内错角，10?220对同旁内角. ⑶ 当n条线彼此平行时，被直线m所截，即l1∥l2∥…∥ln，

则共有(l1，l2)、(l1，l3)、(l1，l4)、…(l1，ln)；(l2，l3)、(l2，l4)、…(l2，ln)、…(ln-2,ln-1)、(ln-2,ln)、n(n-1)对平行线，每对平行线被m所截，产生4对同位角，2n(n-1)n(n-1)?42n(n-1)对同位角，?2n(n-1)对内2对内错角，2对同旁内角，则共有

22n(n-1)错角，?2n(n-1)对同旁内角．

2(ln-1,ln)共(n-1)+(n-2)+L+2+1=【答案】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.

⑵ 当有3条平行线时，有12对同位角，6对内错角，6对同旁内角； 当有4条平行线时，有24对同位角，12对内错角，12对同旁内角；

当有5条平行线时，有10?440对同位角，10?220对内错角，10?220对同旁内角. ⑶ 当n条线彼此平行时，被直线m所截，即l1∥l2∥…∥ln， 则共有

n(n-1)对平行线，每对平行线被m所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，2则共有2n(n-1)对同位角，n(n-1)对内错角，n(n-1)对同旁内角

【例8】 下图有 对内错角．

GDAEMBCFN【解析】24．做此类型题：第一、要找三种关系角（同位角、内错角、同旁内角）关键在于寻找线段；第

二、不同的线段找出来的三种关系角是不会重复；第三、在线段很多的时候，要找出相同特点的线段的条数m，只需算出一条线段的关系角的对数n，故该特点的线段的关系角为mn．在本题中，线段DE、DF、EF，每条线段都有2对内错角；线段AD、BE、CF，每条线段都只有2对内错角；线段AB、AC、BC，每条线段都只有1对内错角；线段AF、BD、CE，每条线段都有3对内错角；故总的内错角为：2323133324．

【答案】24

【例9】 已知，如图，AECAC,试用两种方法证明AB∥CD

AECDB【解析】略

【答案】解法一：过点E作AEFA,则AB∥EF,

又AECACAEFCEF, ∴EF∥CD, ∴AB∥CD

AEDB

FC解法二：作AEFA180, 则AB∥EF,

∵AECAEFCEF360， ∴ACAEFCEF360， ∴CCEF180， ∴CD∥EF, ∴AB∥CD

AECBF

D

【例10】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.

⑵ 三条平行直线呢?四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律. 【解析】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.

⑵ 当有3条平行线时，有34=12对同位角，32=6对内错角，32=6对同旁内角； 当有4条平行线时，有64=24对同位角，6212对内错角，6212对同旁内角； 当有5条平行线时，有10440对同位角，10220对内错角，10220对同旁内角. ⑶ 当n条线彼此平行时，被直线m所截，即l1∥l2∥…∥ln，

则共有(l1，l2)、(l1，l3)、(l1，l4)、…(l1，ln)；(l2，l3)、(l2，l4)、…(l2，ln)、…(ln-2,ln-1)、(ln-2,ln)、n(n-1)对平行线，每对平行线被m所截，产生4对同位角，2nn1nn142nn1对同位角，2nn1对内2对内错角，2对同旁内角，则共有

22nn1错角，2nn1对同旁内角．

2(ln-1,ln)共(n-1)+(n-2)+L+2+1=

【答案】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.

⑵ 当有3条平行线时，有12对同位角，6对内错角，6对同旁内角； 当有4条平行线时，有24对同位角，12对内错角，12对同旁内角；

当有5条平行线时，有40对同位角，10220对内错角，10220对同旁内角. ⑶ 当n条线彼此平行时，被直线m所截，即l1∥l2∥…∥ln， 则共有

n(n-1)对平行线，每对平行线被m所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，2则共有2n(n-1)对同位角，n(n-1)对内错角，n(n-1)对同旁内角

【例11】 学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可

能是( )

A．第一次向左拐30，第二次向右拐30 B．第一次向右拐50，第二次向左拐130 C．第一次向右拐50，第二次向右拐130 D．第一次向左拐50，第二次向左拐130 【解析】选择A，注意区分拐角是与前进方向所成的角，本题考察了同位角相等，两直线平行.教师可将此

题的后三个选项拓展，让学生求出两次拐角后与原方向的夹角.

【答案】A

【例12】 如图，一条公路修在湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120o，第二次拐的角B是150，第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求C的大小.

AOBCN【解析】过点B作OA∥EF,那么OA∥EF∥CN

∵OA∥EF

∴FBAA120，∴FBCBFBA30

∵EF∥CN，∴C180FBC150

【答案】150

…，a97，97条直线，【例13】 在同一平面内有a1，a2，a3，如果a1∥a2，a2a3，a3∥a4，a4a5，a5∥a6，

a6a7，…，那么a1与a97的位置关系是 . 【解析】略

【答案】寻找规律，(a1∥a1)，a1∥a2，a1a3，a1a4；a1∥a5，a1∥a6，a1a7，a1a8…，4个一

循环，97424L1，所以a97∥a1

【例14】 有一直的纸带，如图折叠时，_________．

30°CEαBAD

【解析】∵AC∥BD

∴CBE30

由折叠问题可知：ABCABD

1∴ABD1803075

2∵AC∥BD ∴ABD75

【答案】75

113【例15】 如下图，已知AB∥CD，EAFEAB，ECFECD，求证：AFCAEC

444AECFDB【解析】略

【答案】如右图所示，分别过点E，F做AB和CD的平行线，

易得：AECEABECD4EAF4ECF4(EAFECF)

AFCFABFCD3EAF3ECF3(EAFECF)

3即有：AFCAEC

4AF2C1EDCDBAEFB

【例16】 如右图所示，已知AB∥CD，BE平分ABC，DE平分ADC.

1求证：EAC

2

AEBCD【解析】略

【答案】过点E作EF∥AB，如图所示，

AEB

FDC因为 AB∥CD，故EF∥CD， 于是ABEBEF，CDEFED， 从而BEDBEFFEDABECDE， 又BE，ADC， DE平分ABC，11所以ABEABC，CDEADC，

221因此BEDABCADC，

2因AB∥CD，故ABCC，ADCA，于是BED即E

1AC， 21AC 2

【例17】 如图AB∥CD∥EF，A140，E110．则DCG______． CG平分ACE，EFGCABD【解析】∵EF∥CD，∴ECD180E70，

同理ACD40 ∴ACE110 ∵CG平分ACE ∴ECG55

∴DCGECDECG705515

【答案】15．

【例18】 如下图所示AB∥CD．求证：BED360

ABECD【解析】略

【答案】把B，D，E都集中在某一顶点处，证明它们可构成一周角，或把它们其中某一个角分成

两部分，证明每一部分分别与另两角的和是180． 证法1：

如图，过B点作FG∥DE，交CD于G， 因为AB∥CD，所以ABFCGF 因为FG∥DE，

所以ABFABEFBE360 所以ABFD

因为ABFABEFBE360 所以DABEE360

证法2：

如图，过E点作EF∥AB，则BBEF180 因为AB∥CD，所以EF∥CD，FEDD180 所以BBEFFEDD360

又BEFFEDBED，∴BBEDD360即BED360

证法3：

如图，延长CD交BE延长线于M． 因为AB∥CM，

所以BM180，CDE为DME的外角 所以CDEMMED 因为BED为是DEM的补角， 所以BEDEDMM 因为EDMDEMM180

ABFECGD

ABFECD

∴BED360

ABECDM

【例19】 ⑴如图⑴，已知MA1∥NAn，探索A1、A2、…、An，B1、B2、…、Bn1之间的关系.

⑵如图⑵，已知MA1∥NA4，探索A1、A2、A3、A4，B1、B2之间的关系. ⑶如图⑶，已知MA1∥NAn，探索A1、A2、…、An之间的关系.

MB1B2Bn-1NAnAn-1NA1A2B2MB1A1A2A3A4NAnMA1A2A3A4An-1

(1) (2) (3)【解析】略

【答案】（1）A1A2LAnB1B2LBn1；

(向右凸出的角的和＝向左凸出的角的和，A1,An均为锐角) （2）A1A2A3A4B1B2180o；注意和第⑴问的区别； （3）A1A2A3LAn(n1)180o. 总结方法思想,巧作平行线.

【例20】 如图所示，两直线AB、CD平行，则l23456 ( )

A．630 B．720 C．800 D．900

A125

BE34FGD6HC【解析】分别过E，F，C，H点做AB的平行线，再求各个角度的和．选D

【答案】D.

【例21】 如图所示，AB∥ED，AE，BCD，证明：2

EDCAB【解析】略

【答案】证法l ： 因为AB∥ED，所以AE180．(两直线平行，

同旁内角互补)过C作CF∥AB．

EDCAB12

F由AB∥ED，得CF∥ED (平行于同一条直线的两条直线平行) 因为CF∥AB，有B1 (两直线平行，内错角相等) 又CF∥ED，有2D，(两直线平行，内错角相等) 所以BCD1BCD2360 (周角定义) 所以2 (等量代换)

证法2： 由AB∥ED，得AE180．(两直线平行，同旁内角互补) 过C作CF∥AB （如图）．

EDFAB21

C由AB∥ED，得CF∥ED.(平行于同一条直线的两条直线平行) 因为 CF∥AB，所以B1180(两直线平行，同旁内角互补)， 又 CF∥ED，所以2D180(两直线平行，同旁内角互补)

所以BCDB(12)D(B1)(2D)360所以2．(等量代换)

【例22】 已知AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上．

（1）AB，CD间有一点E，点E在直线MN左侧，如图1，求证AMECNEMEN． （2）当AB，如图2，AME，CNE，MEN直线有什么关系？ CD间的点E在直线MN右侧时，（3）如图3，当点E在AB，CNE，MEN之间有何关系？ CD外侧时，探索AME，AEC图1NDC图2NMBAMEDCE图3NDBAMB

【解析】略

【答案】（1）过点E作EF∥AB

∴AMEMEF ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴EF∥CD ∴CNENEF

∴AMECNEMEN （2）过点E作EF∥AB ∴AMEMEF180， ∵EF∥AB，AB∥CD．∴EF∥CD

∴NEFCNE180，AMEMEFNEFCNE360， ∴AMECNE360MEN． （3）过点E作EF∥AB， ∴AMEMEF ∵EF∥AB，AB∥CD ∴EF∥CD． ∴CNENEF

∴AMECNEMEN.

AEC图1NMFDC图2BAFNMEDCE图3NDFBAMB

【例23】 如图所示，已知CB∥OA，COAB100，E，F在CB上，且满足FOBAOB，OE平分COF．

⑴ 求EOB的度数；

⑵ 若平行移动AB，那么OBC：OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；

⑶ 在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使OECOBA？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．

CEFB

OA

【解析】略．

【答案】⑴ 40；⑵ 1:2；⑶ 存在，OECOBA60．

【例24】 作图题：在方格纸中，将△ABC向右平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．

【解析】分别找出△ABC向右平移3个单位后对应的关键点，然后顺次连接即可． 【答案】如下图

所画△A1B1C1即为所求．

【点评】本题考查了平移变换中的作图问题，属于基础题，关键是找出平移后的关键点．

【例25】 将△ABC沿AD平移，A点平移到点D，画出平移后的△DEF．

【解析】连接AD，过B、C分别做AD的平行线，并且在平行线上截取BE=CF=AD，连接ED，EF，DF，

得到的△DEF即为平移后的△DEF．

【答案】

．

【点评】用到的知识点为：平移前后的图形的对应点的连线平行且相等．

课后作业

1.如图，直线AB∥CD，EFA30o，FGH90o，HMN30o，CNP50o，则GHM的大小

是 .

EA30F90x30CH50GMBND

P【解析】过点G，H作AB，CD的平行线，那么AB∥OG∥HQ∥CD

EAO30F90x30CH50GMQBRD

NP∵AB∥OG，HQ∥CD

∴OGEAFE30，MQRHQPCNP50 ∵OG∥HQ，∴GHQOGHHGEEGO60 ∵在MHQ中,MHQHMQMQH180

又∵MQRMQH180，∴MHQHMQMQR

【答案】40

∴MHQ503020，∴GHMGHQMHQ40

2.请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明.

（1）如图⑴，已知：AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N，MG，NH分别平分AME，CNE.求证：MG∥NH.从本题我能得到的结论是： .

（2）如图⑵，已知：AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N，MG，NH分别平分BMF， CNE.求证：MG∥NH.从本题我能得到的结论是： . （3）如图⑶，已知：AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N，MG，NH分别平分AMF， CNE，相交与点O.求证：MGNH.

从本题我能得到的结论是： .

（4）如图⑷，已知：AB，CD相交于O，OF平分AOC，OE平分BOD.求证：F，O，E三点共线.从本题我能得到的结论是： .

GAHCFNEMBDEAHCFMGN(2)EBDAHGCF(3)MONBDAFCDOEB(1)(4)【解析】略

【答案】（1） 两直线平行，同位角的角平分线平行.

（2）证明：∵AB∥CD，∴BMFCNE

又∵MG，NH分别平分BMF，CNE

11∴GMFBMFCNEHNM，∴MG∥NH

22从本题我能得到的结论是： 两直线平行，内错角的角平分线平行. （3）证明：∵AB∥CD，∴AMFCNE180o 又∵MG，NH分别平分AMF，CNE

11∴GMFHNEAMFCNE90o

22∴MON180oGMFHNE90o，∴MG⊥NH

从本题我能得到的结论是： 两直线平行，同旁内角的角平分线垂直. （4）证明：∵AB，CD相交于O，∴AOCBOD

∵OF平分AOC，OE平分BOD

11∴AOFAOC，DOEBOD

22∵AOCAOD180o，∴AOFAODDOE180o即F，O，E三点共线 从本题我能得到的结论是： 对顶角的平分线，在一条直线上. 要证明三点共线 ，我们可以通过证明这三点所成的角为180o.

3.如下图，已知：AB∥CD，ABFDCE，求证：BFEFEC

AFECDB

【解析】（法1）：如图所示，过点F作FG∥AB，过点E作EH∥CD，

则AB∥FG∥HE∥CD，则ABF1，DCE4， 23，又因为ABFDCE，所以14，

即BFEFEC

AF34C12EDB

（法2）：如图所示，延长BF，DC相交于G点，

∵AB∥CD，∴ABFBGD ∵ABFDCE， ∴BGDDCE，

∴BG∥EC，∴BFEFEC

如果延长CE，AB相交于H点，如右图，也可用同样的方法证明

AFEGCDB

（法3）：如右图所示，连接点B，C

∵AB∥CD，∴ABCBCD， ∵ABFDCE，∴12 ∴BF∥EC，∴BFEFEC

AF2C1EDB

4.如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF（ ）

A、把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B、把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C、把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D、把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位

【解析】根据平移的性质可知，图中DE与AB是对应线段，DE是AB向右平移4个单位，再向上平移2

个单位得到的．

【答案】由题意可知把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△DEF．故选C． 【点评】本题主要考查了平移的性质，观察图象，分析对应线段作答．