参数恒成立问题

一、分离参数法

12xn1xnxa例 1：设fxlgn，其中a是实数，n是任意给

定的自然数，且n≥2，假设fx当x,1 时成心义, 求a的取值范围。

分析一下这道题的特点：因为分母n是正数，要使得fx当x,1成心义，分子12xn1nxa就必需也是正数。

x容易看出，能够将a分离出来。

分析：当x,1时，fx成心义，故有

xxx121xxx12n1na0a1

nnnx1x2x1令：x1，

nnn只要对x在,1上的最大值，此不等式成当即可。 故能够利用函数的最值分离出参数a。 解：由x,1时，fx成心义得：

x1x2x112n1na0a1，

nnnxxx由指数函数单调性知上式右边的函数

x1x2x1x1

nnn12n11的最大值是：1＝1n

n2nn故：a>

11n 2一样地，利用最值分离参数法来确信不等式 fx,0, （ xD为实参数）恒成立中参数取值范围的大体步骤:

（1）将参数与变量分离，即化为f1f2x或f2f2x的形式； （2）求f2x在xD时的最大（或最小）值；

（3）解不等式f1f2maxx或f2minx 得的取值范围。 思想方式：把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

例2：已知概念在R上函数f(x)为奇函数，且在0,上是增函数，关于任意xR，求实数m范围，使fcos23f4m2mcos0恒成立。

解：∵ f(x)在R上为奇函数，且在0,上是增函数， ∴ f(x)在,上为增函数 又∵ fcos23f4m2mcos0

∴ fcos23＞－f4m2mcos＝f2mcos4m ∴ cos232mcos4m 即2m2cos3cos2 ∵ 2－cos1,3，

3cos242cos2∴ 2m

2cos2cos2cos222cos∴ m>

2cos2cos4[2cos2]

2cos令2－cost,t1,3

∴ m>4－t2 t2在t1,3上恒成立 t2即求gtt在t1,3上的最小值

t即4－m∴ 4－m<22即m>4－22

∴ m的取值范围为（4－22，＋∞） 例 3： 设0设集合A＝x|xabab,ab，

111B=x|xa2a2,a2

2221由题设知AB，那么： aba2

21 aba2

21于是得不等式组： ba2a

21 ba2a

222(0a5) 41313 又 aaa，最小值为；

216241111 a2aa, 最小值为；

42242 ∴ b3, 163即 ：b的取值范围是0,

16二、主参换位法

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会碰到讨论的麻烦或即便能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的成效。

2例4：假设关于任意a1,1，函数fxxa4x42a的

值恒大于0，求x的取值范围。

分析：此题假设把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，那么函数的最小值

很难求出，思路受阻。假设视a为主元，那么给解题带来转机。

解：设 gax2ax24x4，把它看成关于a的直线， 由题意知，直线恒在横轴下方。 因此 g10 g10 解得： x1或x2或x3

例 5：关于（0，3）上的一切实数x,不等式x2m2x1恒成立，求实数m的取值范围。

分析：一样的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必需除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。

解：假设设fxx2m2x1m2x12m，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。因此 f00 f30 解得：

1m5 2

三、构建函数法

当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，能够通过构建函数来解决。咱们明白，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方式已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题，往往收到意想不到的成效。那个地址，咱们要紧介绍如何通过构造一次函数，二次函数模型，并利用它们的性质来确信参数的取值范围。

（1） 构造一次函数

例6：假设对一切p2，不等式log2xplog2x12log2xp恒成立，

2求实数x的取值范围。

解：原不等式变形为plog2x1log2x2log2x10，

2此刻考虑p的一次函数：

fpplog2x1log2x2log2x1

2∴ fp0在p2,2上恒成立

f22log2x1log2x2log2x10

2 f22log2x1log2x2log2x10

2∴

解得： x8或0x1 21∴ x的取值范围为0,8,

2注：此题关于一切p2不等式恒成立，因此应视p为主元，视x为参数，把不等式左侧变成关于p的一次函数型。

（2） 造二次函数

例7： 关于0,，cos22msin2m20恒成立，求实数m范围。

2解： 原不等式变形为： sin22msin2m10

即 sin22msin2m10

令 sint，t0,1

∴ t22mt2m10 令ft＝t22mt2m1

∴ 题意为ft>0在t0,1上恒成立。

2m0 21 ∴ 2m10 f0

或 02m1 21＝2m2－4×1×(2m1)<0

2m1 21或 g112m2m1>0

1m0或0m1或m1 21∴ m，

2解得 ： 1即 m的取值范围为：,

24 数形结合法

某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，那么可采纳数形结合法。因为辨正唯物主义以为：万物皆有形。因此从宏观上讲，抽象的数学问题必存在着形象的直观模型，这是因为数学问题本身确实是客观世界事物的抽象。咱们在解题时，能够成心识地去熟悉，挖掘和制造抽象的直观形象，变抽象为直观，充分运用直感，由数思形，以形辅数。数形结合往往能迅速而简捷地找到解题途径。关于解含参不等式恒成立问题，咱们能够先把不等式（或通过变形后的不等式）两头的式子别离看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观看两图象（专门是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。

81182y2a0恒成立，例八、已知关于一切x，y∈R，不等式x222xyxx求实数a的取值范围。

811881182y2a0ax222xy2y2要使原解：x222xyxxxx81182y2}min不等式恒成立a{x222xy，又xx9292x2xyy[()2()2y22y2]2

xx2299=(xy2)(2y2)22，考虑到点M（x,），

xxN（y,-2y2）那么点M在曲线C1：xy=9上，点N在曲线C2：x2+y2=2(y≤0)上。显然|MN|min=32222，现在a6.

故知足条件的a 的取值范围为(,6]

评析：对一些不等式两边的式子，函数模型较明显、函数图象较容易作出的，能够考虑作出函数图象，用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题，也超级容易患到意想不到的成效。

1例9：假设不等式3x2logax0在x0,内恒成立，求实数a的取

3y O x 值范围。

1解： 由题意知 ： 3x2logax 在x0,内恒成立。

3在同一坐标系内别离作出y3x2 和 ylogax的图象

1因为x0,时，ylogax的图象位于函数y3x2的图象上方，

3当 a> 1时，显见不成立。 故 011ylogax的图象必需过点,

33或在那个点的上方，那么： loga ∴ a1 ② 271a1 2711 33由 ①，② 知 ：

1∴ a 的取值范围为,1

27

当前面的方式都难以解决问题时，咱们能够考虑从特殊到一样的思想，先考虑一些变量的特殊值，找出相应的知足题设的参数的取值，然后猜想出参数的取值范围，并将问题转化为：在已知参数取值范围的情形下，证明所给问题恒成立。 例10： 已知对一切实数，不等式a4sincos23a0恒

4成立，试求实数a的取值范围。

分析： 取＝，

23那么由a4sincos23a0解得： a>

8222又取＝0，时均得： a由此猜想： a由于当 a3, 823, 25743 时，对一切R 82∵ cos20，4sin3

∴ a4sincos23aa3403a0恒成立

4故 a

3为所求。 82