2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（ ） A．{5} 4}
2．（5分）设iz＝4+3i，则z＝（ ） A．﹣3﹣4i
B．﹣3+4i
C．3﹣4i
D．3+4i
B．{1，2}
C．{3，4}
D．{1，2，3，
3．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q
B．￢p∧q
C．p∧￢q
D．￢（p∨q）
4．（5分）函数（fx）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（ ） A．3π和
B．3π和2
C．6π和
D．6π和2
5（．5分）若x，y满足约束条件A．18 6．（5分）cos2
A．
B．10 ﹣cos2B．
则z＝3x+y的最小值为（ ） C．6
D．4
＝（ ）
C．
D．
7．（5分）在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ） A．
B． C．
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D．
8．（5分）下列函数中最小值为4的是（ ） A．y＝x2+2x+4 C．y＝2x+22﹣x 9．（5分）设函数f（x）＝A．f（x﹣1）﹣1
D．f（x+1）+1
B．y＝|sinx|+D．y＝lnx+
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1
10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ） A．
B．
C．
D．
11．（5分）设B是椭圆C：+y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ） A．
B．
C．
D．2
12．（5分）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（ ） A．a＜b
B．a＞b
C．ab＜a2
D．ab＞a2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．（5分）已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝ ． 14．（5分）双曲线
﹣
＝1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离
为 ．
15．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积
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为
，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝ ．
16．（5分）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 备
新设10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 备
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22．
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9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
（1）求，，s12，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2
，则认为新设备生产产品的该项指标的
均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM． （1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（12分）设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝已知a1，3a2，9a3成等差数列． （1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜
． ，
20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直
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线OQ斜率的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．
（1）写出⊙C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集； （2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．
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答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．解析：利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U（M∪N）． 答案：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}， ∴M∪N＝{1，2，3，4}， ∴∁U（M∪N）＝{5}． 故选：A．
2．解析：把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
答案：由iz＝4+3i，得z＝故选：C．
3．解析：先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案． 答案：对于命题p：∃x∈R，sinx＜1，
当x＝0时，sinx＝0＜1，故命题p为真命题，￢p为假命题； 对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，
因为|x|≥0，又函数y＝ex为单调递增函数，故e|x|≥e0＝1， 故命题q为真命题，￢q为假命题，
所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢（p∨q）为假命题，
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．
故选：A．
4．解析：化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．
答案：∵f（x）＝sin+cos＝∴T＝
＝6π．
）＝1时，函数f（x）取得最大值
．
；
sin（+
），
当sin（+
∴函数f（x）的周期为 6π，最大值故选：C．
5．解析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 答案：由约束条件作出可行域如图， 联立
，解得A（1，3），
由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1+3＝6． 故选：C．
6．解析：法一、直接利用二倍角的余弦化简求值即可． 法二、由诱导公式即二倍角的余弦化简求值．
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答案：法一、cos2＝＝＝法二、cos2＝cos2＝cos
﹣cos2
﹣cos2
．
﹣sin2＝
．
故选：D．
7．解析：我们分别计算出区间（0，）和（0，）的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．
答案：由于试验的全部结果构成的区域长度为﹣0＝， 构成该事件的区域长度为﹣0＝， 所以取到的数小于的概率P＝＝． 故选：B．
8．解析：利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D． 答案：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A错误； 对于
B，因为
0＜|sinx|≤1，所以
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y＝
|sinx|+当且仅当
，
，即|sinx|＝2时取等号，
因为|sinx|≤1，所以等号取不到， 所以y＝|sinx|+
＞4，故选项B错误；
，
对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x＝当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C正确； 对于D，因为当x＝时，
所以函数的最小值不是4，故选项D错误． 故选：C．
，
9．解析：先根据函数f（x）的解析式，得到f（x）的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为（0，0），从而得到答案． 答案：因为f（x）＝
＝
，
所以函数f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1），
所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位， 得到函数y＝f（x﹣1）+1，该函数的对称中心为（0，0）， 故函数y＝f（x﹣1）+1为奇函数． 故选：B．
10．解析：由AD1∥BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线PB与AD1所成的
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角．
答案∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2， 则PB1＝PC1＝＝
，
＝
＝
，
＝
，BC1＝
＝2
，BP＝
∴cos∠PBC1＝∴∠PBC1＝
，
∴直线PB与AD1所成的角为故选：D．
．
11．解析：求出B的坐标，设P（
，sinθ），利用两点间距离
公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可． 答案：B是椭圆C：点P在C上，设P（所以|PB|＝＝当sinθ＝
+y2＝1的上顶点，所以B（0，1），
，sinθ），θ∈[0，2π），
＝
＝
，
时，|PB|取得最大值，最大值为．
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故选：A．
12．解析：分a＞0及a＜0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．
答案：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，
当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则0＜a＜b；
当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则b＜a＜0； 综上，ab＞a2． 故选：D．
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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．解析：根据题意，由∥，可得关于λ的方程，再求出λ即可． 答案：因为＝（2，5），＝（λ，4），∥， 所以8﹣5λ＝0，解得λ＝． 故答案为：．
14．解析：求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 答案：双曲线
﹣
＝1的右焦点（3，0），
＝
．
所以右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为d＝故答案为：
．
15．解析：由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．
答案：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac， ∴acsinB＝又cosB＝故答案为：2
． ⇒ac×
⇒＝
＝
⇒ac＝4⇒a2+c2＝12， ⇒b＝2
，（负值舍）
16．解析：通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形． 答案：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，
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④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，
当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，
当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④． 故答案为：②⑤或③④．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．解析：（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可； （2）比较﹣与2
的大小，即可判断得到答案．
答案：（1）由题中的数据可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）＝10， ＝
（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）
＝10.3， s12＝
2
[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）
+（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2
+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.7﹣10）2]＝0.036； s22＝
[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0
﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2
+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）
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2
+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；
，
，
，
，
（2）因为所以﹣＞2
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． 18．解析：（1）通过线面垂线即可证明；即只需证明AM⊥平面PBD． （2）根据PD⊥底面ABCD，可得PD即为四棱锥P﹣ABCD的高，利用体积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD， ∴PD⊥AM， 又∵PB⊥AM，
PD∩PB＝P，PB，PD⊂平面PBD． ∴AM⊥平面PBD． ∵AM⊂平面PAM， ∴平面PAM⊥平面PBD； （2）解：由PD⊥底面ABCD，
∴PD即为四棱锥P﹣ABCD的高，△DPB是直角三角形； ∵ABCD底面是矩形，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．
设AD＝BC＝2a，取CP的中点为F．作EF⊥CD交于E， 连接MF，AF，AE，
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可得MF∥PB，EF∥DP，
那么AM⊥MF．且EF＝．AE＝
＝．
∵△DPB是直角三角形， ∴根据勾股定理：BP＝由△AMF是直角三角形， 可得AM2+MF2＝AF2， 解得a＝
．
，
＝
．
，则MF＝
；
，
＝
，AM＝
底面ABCD的面积S＝
则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝
19．解析：（1）根据a1，3a2，9a3成等差数列，{an}是首项为1的等比数列，求出公比q，进一步求出{an}和{bn}的通项公式； （2）分别利用等比数列的前n项和公式和错位相减法，求出Sn和Tn，再利用作差法证明Tn＜
．
答案：（1）∵a1，3a2，9a3成等差数列，∴6a2＝a1+9a3，
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∵{an}是首项为1的等比数列，设其公比为q， 则6q＝1+9q2，∴q＝， ∴an＝a1qn﹣1＝∴bn＝
＝n•
， ．
，bn＝n•， ，①
∴
①﹣②得，∴∴∴Tn＜
＝．
，
﹣
＜0，
，② ，
，
（2）证明：由（1）知an＝∴
＝
20．解析：（1）根据焦点F到准线的距离为2求出p，进而得到抛物线方程，
（2）设出点Q的坐标，按照向量关系得出P点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值． 【解答】（1）解：由题意知，p＝2， ∴y2＝4x．
（2）由（1）知，抛物线C：y2＝4x，F（1，0）， 设点Q的坐标为（m，n）， 则＝（1﹣m，﹣n），
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∴P点坐标为（10m﹣9，10n）， 将点P代入C得100n2＝40m﹣36， 整理得∴
故答案为：．
21．解析：（1）对函数f（x）求导，分
及
讨论导函数与零
，
，当n＝时取最大值．
的关系，进而得出f（x）的单调性情况；
（2）先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线y＝f（x）联立，即可求得公共点坐标． 答案：（1）f′（x）＝3x2﹣2x+a，△＝4﹣12a， ①当△≤0，即
时，由于f′（x）的图象是开口向上的抛物线，
故此时f′（x）≥0，则f（x）在R上单调递增； ②当△＞0，即
时，令f′（x）＝0，解得，
令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x2，令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2，
∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减； 综上，当
时，f（x）在R上单调递增；当
单调递增，在
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时，f（x）在
单调递减．
（2）设曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为
，
则切线方程为
将原点代入切线方程有，∴切线方程为y＝（a+1）x，
令x3﹣x2+ax+1＝（a+1）x，即x3﹣x2﹣x+1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，
∴曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标为（1，a+1）和（﹣1，﹣a﹣1）．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．解析：（1）求出⊙C的标准方程，即可求得⊙C的参数方程； （2）求出直角坐标系中的切线方程，再由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．
答案：（1）⊙C的圆心为C（2，1），半径为1， 则⊙C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1， ⊙C的一个参数方程为
（θ为参数）．
，
，解得x0＝1，
（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，
设切线方程为y﹣1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+1＝0，
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圆心C（2，1）到切线的距离d＝所以切线方程为y＝±
（x﹣4）+1，
＝1，解得k＝±，
因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ＝±[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．解析：（1）将a＝1代入f（x）中，根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式可得f（x）≥|a+3|，然后根据f（x）＞﹣a，得到|a+3|＞﹣a，求出a的取值范围． 答案：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+3|＝
，
（ρcosθ﹣4）+1．
∵f（x）≥6，∴∴x≤﹣4或x≥2，
或或，
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）． （2）f（x）＝|x﹣a|+|x+3|≥|x﹣a﹣x﹣3|＝|a+3|， 若f（x）＞﹣a，则|a+3|＞﹣a，
两边平方可得a2+6a+9＞a2，解得a＞﹣， 即a的取值范围是（﹣，+∞）．
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