2019-2020学年安徽省宣城市高二下学期期末考试理科数学试题

数学试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

─、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．

1．从某校高二100名学生中采用等距离系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从000到999，若第一组中抽到的号码是003，则第三组中抽到的号码是 A023

B．033

C．203

D．303

2．甲、乙两名篮球运动员10场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两名运动员得分数据的中位数之差的绝对值是

A．0

B．1

C．2

D．3

ˆx2，3．已知一组数据1,2，3,5，6,8，x0,y0满足线性相关关系，若其线性回归直线方程为y则x0y0的值为 A．5

B．3

C．2

D．1

4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是

A．至少有一个黑球与都是黑球 C．至少有一个黑球与至少有一个红球

B．至少有一个黑球与都是红球 D．恰有一个黑球与恰有两个黑球

5．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“

”当做数字“1”，把阴爻“卦名 坤 震 坎 符号 ”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：

表示的十进制数 0 1 2 表示的二进制数 000 001 010 兑 011 3 ”表示的十进制数是 C．81

D．97

以此类推，则六十四卦中的“益”卦，符号“A．49

B．50

6．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则丁获得“手气最佳”（即丁领取的钱数大于其他任何人）的概率是 A．

3 4B．

13C．

3 10D．

2 57．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是

15，则m的整数值为 8

A．6

2B．7 C．8

2D．9

8．不等式xx20成立的一个充分不必要条件是axa1，则a的取值范围为

A．–1a1

B．–1a1

C．–1a1

D．1a1

9．已知点F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且F1PF22，若e22，则e1的值是 35 4C．

A．

5 5B．

25 7D．

25 510．已知函数f(x)x实数a的取值范围是

41x，g(x)2a，若x1,1，x2[2,3]，fx1gx2恒成立，则x2A．a1 B．a0 C．a1 2D．a4

11．若120的二面角l的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，ACl，BDl，

且ABACBD1，则CD的长等于 A．5 B．2

C．3

D．2

x2y222212．已知F1，F2是双曲线C:221(a0,b0)的左，右焦点，过点F1作直线l与圆xya相

ab切于点A，且与双曲线的右支相交于点B，若A是BF1上的一个靠近点F1的三等分点，且BF210，则该双曲线方程为

x2y21 A．46x2y211 B．

1610x2y21 C．

1636x2y21 D．

3664二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．命题“对任意xR，都有2x”的否定是____________．

14．如图，风筝图案中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落

在阴影部分的概率为____________．

x

x2y21(a0)的一条渐近线的倾斜角为60°，F1，F2为左、右焦点，若直线x2与15．双曲线C:2a3双曲线C交于点P，则PF1F2的周长为____________．

16．过抛物线y2px(p0)的焦点作倾斜角为45的直线与该抛物线交于P，Q两点，P，Q在x轴上

的射影分别为R，S．若梯形PRQS的面积为12，则

2p的值为____________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

x2y21表示焦点在y轴上的双曲线； 已知命题p：方程

m21m命题q：不等式4x24m2x1恒成立． 若

pq为真，pq为假，求实数m的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成40,50，，观察图形中50,60，60,70，70,80，80,90，90,100六组后，得到频率分布直方图（如图）的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；

（Ⅱ）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛； （Ⅲ）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽

取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱AA1的中点，且ACBC1AA12，BD23． 2

（Ⅰ）证明：平面BCD平面ACC1A1； （Ⅱ）求二面角ABDC1的大小． 20．（本小题满分12分）

如图，已知圆E:(x3)y16，点P是圆E上任意一点，且F(3,0)，线段PF的垂直平分线与半径PE相交于点Q．

22

（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ方程；

（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA||CB|，当ABC的面积

为

8时，求点C的坐标． 521．（本小题满分12分）

如图1，梯形ABCD中，AB//CD，过A，B分别作AECD，BFCD，垂足分别为E．F．若． ABAE2，CD5，DE1，将梯形ABCD沿AE，BF折起，且平面ADE平面ABFE（如图2）

（Ⅰ）证明：AFBD；

6，18（Ⅱ）若CF//DE，在线段AB上是否存在一点P，使得直线CP与平面ACD所成角的正弦值为

若存在，求出AP的值，若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线方程为x1，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且kOM（Ⅰ）求直线l的方程；

2． 2（Ⅱ）若过T4,0且互相垂直的直线l1，l2分别与抛物线C交于P，Q，R，S四点，求四边形PRQS

面积的最小值．

数学（理科）参考答案

一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 A 8 C 9 B 10 C 11 B 12 D 二、填空题

13．存在xx010R，使得2x0

14．3

三、解答题

17．若命题p为真命题，则m201m0，解得m2．

若命题q为真命题，则16(m2)2160， 解得3m1．

又∵pq为真，pq为假，∴p，q中一真一假． ①若p真q假，则m21 或 m3，解得m3；

m②若p假q真，则m23m1，解得2m1；

综上：m(,3][2,1)）．

18．（Ⅰ）设分数在70,80内的频率为x，根据频率分布直方图，

则有(0.010.01520.0250.005)10x1， 可得x0.3，所以频率分布直方图为：

15．12 16．3

均分为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571.

（Ⅱ）(0.050.25)1000175，不低于85的估计有175人． 2（Ⅲ）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于20为事件M，

第一组学生数2人，第二组学生数3人，第六组学生数1人

设第一、二组学生为a1,a2,a3,a4,a5，第六组学生为b，从中抽取2人， 所有基本事件为：

a1,a2a1,a3a1,a4a1,a5a1,b a2,a3a2,a4a2,a5a2,b a3,a4a3,a5a3,b a4,a5a4,b a5,b

所有基本事件为15种，

事件M包括的基本事件有：共有5种 所以P(M)51． 15319．（Ⅰ）直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，

在RtDAB中，BD23，AD2，则AB22 在ABC中，ACBC2，AB22，则BCAC； 又AA1平面ABC，则AA1BC

又AA1ACA，AA1，AC平面ACC1A1， 则BC平面ACC1A1，

又BC平面BCD，则平面BCD平面ACC1A1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：CA，CB，CC1两两垂直，如图建立空间直角坐标系C-xyz，

则A2,0,0，B0,2,0，D2,0,2，C10,0,4 则AB(2,2,0)，BD(2,2,2)，BC1(0,2,4) 设平面ABD的一个法向量为n1(x,y,z)

2x2y0ABn10则

BDn102x2y2z0令x1，则n1(1,1,0)

设平面BDC1的一个法向量为n2， 同理可得n2(1,2,1)，则cosn1,n21203 226由图可知二面角ABDC1的平面角为钝角，则其大小为150．

20．（Ⅰ）连接QF，根据题意，|QP||QF|，

则|QE||QF||QE||QP|4|EF|23， 故定点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．

x2y2设其方程为222(ab0)，

ab可知a2，c3，则b1，

x2y21． 所以点Q的轨迹的方程为4（Ⅱ）①当AB为长轴（或短轴）时，可知点就是椭圆上的上，下顶点（或左右顶点），

则SABC18|OC||AB|ab2，故舍去． 25②当直线AB的斜率存在且不为0时， 设斜率为k，设直线AB的方程为ykx，

x22y1设点Ax1,y1，联立方程组4

ykx44k22消去y得x，y1． 214k214k21由|CA||CB|，知ABC是等腰三角形，O为AB的中点，

则可知直线OC的方程为y1x， k44k22同理可知点C的坐标满足x2，y22，

k4k42244k24(1k2)则|OA|，

14k214k214k224k244(1k2)|OC|222，

k4k4k42SABC2S2OAC|OA||OC|4(1k2)(14k2)(k24)8， 5解得k1．

由①②知，当k1时，ABC的面积为，

285此时点C的坐标(2525,)． 5521．（Ⅰ）因为平面ADE平面ABFE，DE平面ADE，

平面ADE平面ABFEAE，DEAE，

AF．

则DE平面ABFE，又AF平面ABFE，则DE又正方形ABFE中，AFBE，且BEDEE，

BE,DE平面BDF，则AF平面BDE

又BD平面BDE，则AFBD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE，EA，EF两两垂直，如图建立空间直角坐标系E-xyz，

因为CF//DE，CF平面ABFE，

则A2,0,0，B2,2,0，C0,2,2，D0,0,1， 即AD(2,0,1)，AC(2,2,2) 设平面ACD的一个法向量为n(x,y,z)

ADn02xz0则

2x2y2z0ACn0令x1，则n(1,1,2)

设P2,t,0且0t2，则CP(2,t2,2)， 设直线CP与平面ACD所成的角为， 则sin|cosn,CP|所以AP1．

22t468(t2)236t1或t（舍） 182

22．（Ⅰ）由题意抛物线的方程为：y4x

设直线l:xty1，代入抛物线中得：

2y24(ty1)y24ty40

则y1y24t，x1x2ty1y22 设Ax1,y1,Bx2,y2， 则M(x1x2y1y2,)，即M(2t21,2t) 222t22t 22t122则kOM即直线l:2xy20．

（Ⅱ）由题意l1，l2的斜率存在且都不为0

设直线l1:xmy4，代入抛物线中得：y4my160 设Px1,y1,Qx2,y2，

则|PQ|1m|y1y2|4(1m)(m4) 同理|RS|4(1222211)(4)… m2m2则SPRQS111|PQ||RS|81m2m241224 2mm1482m22174m22 mm令um212，则S(2u)(174u) 2m当且仅当u2，即m1时，四边形PRQS面积的最小值为80．