九年级数学 圆

知识点回顾 1.垂径定理： 2.圆心角定理： 3.圆周角定理：

4.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系： ①定理：

②推论：

5.切线的判定定理： 6.切线长定理： 7. 三角形的内心： 巩固练习：

1.如图1，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是（ ） A22 B23 C5 D35

2．如图2，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，

则∠DBC的度数为 （ ）

A.30° B.40° C.50° D.60° 3. 如图3，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（ ） A.17° B.34° C.56° D.68°

A O C 4. 如图4，AB是eO的直径，C为圆周上一点，ABC30，eO过点B的切线与CO的延长线交于点D。 求证：（1）CABBOD；

（2）ABC≌ODB。

5. 如图5，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD。

(1)当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明； （2）若cos∠PCB=

55图 3

B ，求PA的长. 。

答案 知识点回顾

1. 垂直于圆的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧。 2. 圆心角的度数和它所对应的弧的度数相等。

3. 一条弧所对应的圆周角等于它所对应的圆心角的一半，也可以说“圆周角的度数等于它所应弧度数的一半”。

4. ①在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对应的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

②在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧或者两条弦的弦心距中有一组

量相等，那么他们所对应的其余各组两都相等。 5. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

6. 从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

7. 三角形内切圆的圆心就是三角形的内心，是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离都相等。 巩固练习答案 1. 选B 2. 选A 3. 选D

4.（1）∵AB是O的直径，∴ACB90，由ABC30，∴CAB60

又OBOC，∴OCBOBC30∴BOD60，∴CABBOD． （2）在RtABC中，ABC30，得AC12AB，又OB12AB，∴ACOB．

由BD切O于点B，得OBD90． 在ABC和ODB中， CABBODACBOBD ACOB∴ABC≌ ODB

5. 解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形

∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC

∴PB＝PC

∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA ∴△PBD≌△PCA

∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形

（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2

过点P作PE⊥AD于E，则AE＝∵∠PCB=∠PAD ∴cos∠PAD=cos∠PCB=

AEPA12AD=1

55

∴PA=5

知识点梳理

1.圆的周长及面积计算 2.弧长计算 3.扇形面积计算 4.弓形周长及面积计算 5.圆柱表面积计算

6.圆锥侧面面积及表面积计算 7.不规则图形面积计算 讲练结合

【例1】已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于（ ） A．8 B．9 C．10 D．11

【同步练习】1. 一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）

A．1 B．C．

123413

D．

【例2】现有一个圆心角为90，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）

A． 4cm B．3cm C．2cm D．1cm

【同步练习】2. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（

）

A．20cm

2B．20cm

2C．10cm

2 D．5cm

2【例3】如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切

于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是 。 【同步练习】3. 如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，

以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是

上的一个动点，连结OP，并延长OP交线

BGBM段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G. 若则BK﹦ 。

3，

【例4】已知：AB是⊙O的弦，D是AB的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C． （1）求证：AD＝DC；

（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝EC，求sinC。

【同步练习】4. 如图，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的

平分线交AD于点E，接BD，CD. (1) 求证：BDCD；

(2) 请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由。

【例5】如图8，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CDAB于D,且AB=8,DB=2.

（1）求证：△ABC∽△CBD;

（2）求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，参考数据3.14,31.73）。

【同步练习】5. 如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，

将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G． （1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；

（2）若OBBG2，求CD的长．

【例6】已知：如图，AB与O相切于点C，OAOB，O的直径为4,AB8．

（1）求OB的长； （2）求sinA的值。

【同步练习】6. 如图，ABC内接于O，AB为直径，弦CEAB于F，C是AD的

中点，连结BD并延长交EC 的延长线于点G，连结AD，分别交

CE、BC于点P、Q．

（1）求证：P是ACQ的外心； （2）若tanABC34,CF8,求CQ的长；

（3）求证：(FPPQ)2FPFG．

【例7】已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点， DOC=2ACD=90。

(1) 求证：直线AC是圆O的切线；

(2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。

7. 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从

圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再

沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.

（本题参考数据：sin 67.4° =

附答案： 例题答案 1. 选A 2. 选C 3.

1312512

，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ） 13135

4. 证明：（1）连BD∵BDAD∴∠A＝∠ABD∴AD＝BD

∵∠A+∠C＝90°，∠DBA+∠DBC＝90°∴∠C＝∠DBC∴BD＝DC

∴AD＝DC

（2）连接OD∵DE为⊙O切线 ∴OD⊥DE

∵BDAD，OD过圆心 ∴OD⊥AB

又∵AB⊥BC ∴四边形FBED为矩形∴DE⊥BC ∵BD为Rt△ABC斜边上的中线∴BD＝DC ∴BE＝EC＝DE ∴∠C＝45° ∴sin∠C=

22

5. （1）证明：∵AB是⊙O的直径，

 ∴∠ACB=90,又CDAB，∴∠CDB=90

在△ABC与△CBD中，

∠ACB=∠CDB=90,∠B=∠B, ∴△ABC∽△CBD （2）解：∵△ABC∽△CBD∴

∴CB2CBDBABCB.

DBAB ∵AB=8,DB=2, ∴CB=4.

在Rt△ABC中，AC∴SABC12CBACABBC1222641643,

44383

∴S阴影部分124SABC8(23)11.2811.3

6. 解：（1）由已知，OC=2，BC=4。

在Rt△OBC中，由勾股定理，得 OBOCBC2225 （2）在Rt△OAC中，∵OA=OB=25，OC=2，

OCOA22555 ∴sinA=

7. （1）证明：∵OD=OC.∠DOC=90°

∴∠ODC=∠OCD=45°. ∵∠DOC=2∠ACD=90°, ∠ACD+∠OCD=∠OCA=90° ∴直线AC是⊙O的切线。

（2）解： ∵OD=OC=2,∠DOC=90°

∴CD=22.

∵∠ACB=75°,∠ACD=45°. ∴∠BCD=30°

∴DE=DC·sin30=2 ∵∠B=45° ∴DB=2

同步练习答案 1. 选C 2. 选C 3.

53

4.（1）证明：∵AD为直径，ADBC，

CD.∴BDCD. ∴BD（2）答：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.

CD，∴BADCBD. 理由：由（1）知：BD∵DBECBDCBE，DEBBADABE，CBEABE， ∴DBEDEB.∴DBDE.

由（1）知：BDCD.∴DBDEDC. ∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.

5. 解：（1）直线FC与⊙O相切．

理由如下：

连接OC．

∵OAOC， ∴12

由翻折得，13，FAEC90． ∴23． ∴OC∥AF． ∴OCGF90． ∴直线FC与⊙O相切． （2）在Rt△OCG中，cosCOG∴COG60．

在Rt△OCE中，CEOCsin602∵直径AB垂直于弦CD， ∴CD2CE23．

D， ACC6. （1）证明：∵C是AD的中点，∴323．

OCOGOC2OB12，

∴∠CAD=∠ABC

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。 ∴∠CAD+∠AQC=90°

又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90° ∴∠AQC=∠PCQ

∴在△PCQ中，PC=PQ，

ACAE ∵CE⊥直径AB，∴D AEC∴∴∠CAD=∠ACE。

∴在△APC中，有PA=PC，

∴PA=PC=PQ

∴P是△ACQ的外心。

（2）解：∵CE⊥直径AB于F，

∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=得BF43CF323CFBF34，CF=8，

。

CFBF22∴由勾股定理，得BC∵AB是⊙O的直径，

403

∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=

得AC34BC10。

ACBC34，BC403

易知Rt△ACB∽Rt△QCA，

∴AC2CQBC

AC2∴CQBC152。

（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°

∴∠DAB+∠ABD=90°

又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G； ∴Rt△AFP∽Rt△GFB， ∴

AFFGFPBF，即AFBFFPFG

易知Rt△ACF∽Rt△CBF，

∴FG2AFBF（或由摄影定理得） ∴FC2PFFG

由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴(FPPQ)FPFG。

7. （1）解：过点O作OD⊥AB，则∠AOD+∠AON=900,即：sin∠AOD=cos∠AON=

即：AD=AO×

5

13

2NADOEBSC512

=5,OD=AO×sin 67.4° =AO× =12 1313

又沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处

所以AB∥NS,AB⊥BC,所以E点位BC的中点，且BE=DO=12

所以BC=24

（2）解：连接OB，则OE=BD=AB-AD=14-5=9

又在RT△BOE中，BE=12,

所以BOOE2BE29212222515 即圆O的半径长为15 。 作业

1. 如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB = 1，BC = 2，

则OA =（ ）。 A．

123B 332C D B．2 C． D．

125

A O 2. 如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形。 O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于 。(结果保留根号及)． 3. 如图矩形ABCD中，AD=1，AD=，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的

面积为______________________．

4. 如图，⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90，OA＝1，BC＝6，

则⊙O的半径为„„„„„„（ ） A．10 B. 23 C.32 D.13

5. 已知扇形的半径为3cm，面积为3cm2，则扇形的圆心角是 ，扇形的弧长是 cm（结果保留）。 6. 半径为r的圆内接正三角形的边长为 .（结果可保留根号）。 7. 如图，在△ABC中，AB = AC，AB = 8，BC = 12，分别以 AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）。

A．64127

B．1632

0

C．16247 D．16127

AOCP8. 已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．

(1) 求证：AC=CP；

(2) 若PC=6,求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1）． （参考数据：

B31.73

3.14）。

9. 如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为

E，连结OE，CD=3，∠ACB=30°.

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）分别求AB，OE的长；

（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则

r的取值范围为 。

10. 如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝23，∠DPA＝45°． （1）求⊙O的半径；

（2）求图中阴影部分的面积。

作业答案 1. 选A 2.2 3. 24.选C

5. 12.120°，2π. 6. 3r 7.选D

8. 证明：（1）连结OC

∵AO=OC

∴∠ACO=∠A=30° ∴∠COP=2∠ACO=60° ∵PC切⊙O于点C

∴OC⊥PC

∴∠P=30°

∴∠A =∠P ∴AC =PC

（2）在Rt△OCP中，tan∠P=

∵S△OCP=

12OCCP124

CAPOB ∴OC=23 CP·OC=

12×6×23= 63 且S扇形COB=2

∴S阴影= S△OCP －S扇形COB =6324.1

9. （1）∵AB是直径，∴∠ADB=90° （1分）

又ABBC,ADCD.又AOBO,OD//BC.DEBC,(2分)

∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线. （3分）

（2）在RtCBD中,CDCDcos303,ACB30，

BC3322,AB2. （4分）

在RtCDE中,CDDE12CD123,ACB30,3232.(5分)22

322在RtODE中,OE7272ODOE1()72.(6分) （3）1r1.

10．解：（1）∵直径AB⊥DE

∴CE=

12DE=

∵DE 平分AO, ∴CO=

12AO=

12OE

又∵∠OCE=30°

在直角三角形COE中，OE=

CEcos303322

∴⊙O的半径为2.

（2）连结OF

在直角三角形DCP中，∵∠DPC=45°

∴∠D=90°-45°=45° ∴∠EOF=2∠D=90° ∴阴影部分的面积等于

90360xx2=

2