安县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

安县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98

2． 设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），

22

则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a|﹣a，且

函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤ C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2

3． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）

A．最多可以购买4份一等奖奖品 B．最多可以购买16份二等奖奖品 C．购买奖品至少要花费100元 D．共有20种不同的购买奖品方案 4． 三个数60.5，0.56，log0.56的大小顺序为（ ） A．log0.56＜0.56＜60.5 B．log0.56＜60.5＜0.56

C．0.56＜60.5＜log0.56 D．0.56＜log0.56＜60.5

5． 已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2016）=k，则f（﹣2016）=（ ） A．k

B．﹣k C．1﹣k D．2﹣k

6． 设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ ） A．5x0或x5 B．x5或x5 C．5x5 D．x5或0x5 7． 如图，棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F是侧面对角线BC1,AD1上一点，若 BED1F 是菱形，则其在底面ABCD上投影的四边形面积（ ） A．

，且获得一等奖

13322 B． C. D． 2442

B．{﹣1，0，2，4}

8． 已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∪B等于（ ） A．{﹣1，0，1，2，4}

C．{0，2，4} D．{0，1，2，4}

9． 设函数yf(x)对一切实数x都满足f(3x)f(3x)，且方程f(x)0恰有6个不同的实根，则这

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6个实根的和为（ ）

A.18 B.12 C.9

D.0

【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.

10．如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（ ）

A．2m B．2m C．4 m D．6 m

11．给出下列命题：

①在区间（0，+∞）上，函数y=x﹣1，y=②若logm3＜logn3＜0，则0＜n＜m＜1；

23

，y=（x﹣1），y=x中有三个是增函数；

③若函数f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称； ④若函数f（x）=3x﹣2x﹣3，则方程f（x）=0有2个实数根． 其中假命题的个数为（ ） A．1

12．设函数f（x）=

B．2

C．3

D．4

的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是（ ）

A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣ D．a＞﹣

二、填空题

13．已知，是空间二向量，若 14．已知数列的前项和是直线”，下列直线中：

①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1

是“单曲型直线”的是 ．

2216．已知关于的不等式xaxb0的解集为(1,2)，则关于的不等式bxax10的解集

=3，||=2，|﹣|=

，则与的夹角为 ．

__________

, 则数列的通项

15．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型

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为___________.

17．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小； ③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数； 以上命题中真命题的序号为 ．

18．平面内两定点M（0，一2）和N（0,2），动点P（x，y）满足为曲线E，给出以下命题： ①m，使曲线E过坐标原点； ②对m，曲线E与x轴有三个交点；

③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；

④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2m＋4;

⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN 的面积不大于m。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）

，动点P的轨迹

三、解答题

19．（本题满分15分）

11d（d为常数， nN*），则称xn为调和数列，已知数列an为调和数xn1xn11111列，且a11，15.

a1a2a3a4a5若数列xn满足：

（1）求数列an的通项an；

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2n（2）数列{}的前n项和为Sn，是否存在正整数n，使得Sn2015？若存在，求出n的取值集合；若不存

an在，请说明理由.

【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.

20．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

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21．已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的

坐标．

22．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．

23．已知函数f（x）=x3+ax+2．

（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；

（Ⅱ）若x≥0时，不等式xex+m[f′（x）﹣a]≥m2

x恒成立，求实数m的取值范围．

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．

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24．已知全集U=R，函数y=（1）集合A，B； （2）（∁UA）∩B．

+

的定义域为A，B={y|y=2，1≤x≤2}，求：

x

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安县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4 所以f（7）=f（3）=f（﹣1）， 又f（x）在R上是奇函数，

2

所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×1=﹣2，

故选A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．

2． 【答案】 B

【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数， 当x≥0时， f（x）=|x﹣a2|﹣a2=

图象如图，

2

∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a，要满足f（x+l）≥f（x），

1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），

22

∴1≥3a﹣（﹣a），

∴﹣≤a≤ 故选B

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【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．

3． 【答案】D

【解析】【知识点】线性规划

【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，

则根据题意有：，作可行域为：

A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。 其中，x最大为4，y最大为16．

最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。 所以A、B、C正确，D错误。 故答案为：D 4． 【答案】A

【解析】解：∵60.5＞60=1，

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2，16），（3，9），精选高中模拟试卷

0＜0.56＜0.50=1， log0.56＜log0.51=0． ∴log0.56＜0.56＜60.5． 故选：A

【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．

5． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），f（2016）=k， ∴f（2016）=20163a+2016b+1=k， ∴20163a+2016b=k﹣1，

∴f（﹣2016）=﹣20163a﹣2016b+1=﹣（k﹣1）+1=2﹣k． 故选：D．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

6． 【答案】B

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 7． 【答案】B 【解析】

试题分析：在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1AD12，设AFx，则2x1x2，2322，即菱形BED1F的边长为2，则BED1F在底面ABCD上的投影四边形是底边44433为，高为的平行四边形，其面积为，故选B. 44解得x考点：平面图形的投影及其作法.

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8． 【答案】A

【解析】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={0，2，4}， ∴A∪B={﹣1，0，1，2}∪{0，2，4}={﹣1，0，1，2，4}． 故选：A．

【点评】本题考查并集及其运算，是基础的会考题型．

9． 【答案】A.

∴6个实根的和为3618，故选A.

【解析】f(3x)f(3x)f(x)f(6x)，∴f(x)的图象关于直线x3对称， 10．【答案】A

2

【解析】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x=﹣2py（p＞0）， 将点（4，﹣4）代入，可得p=2，

2

所以抛物线方程为x=﹣4y，

设C（x，y）（y＞﹣6），则

由A（﹣4，﹣6），B（4，﹣6），可得kCA=

，kCB=

，

∴tan∠BCA===，

令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA=∴t=2

=≥

时，位置C对隧道底AB的张角最大，

故选：A．

【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan∠BCA，正确运用基本不等式是关键．

11．【答案】 A

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1

【解析】解：①在区间（0，+∞）上，函数y=x﹣，是减函数．函数y=

2

为增函数．函数y=（x﹣1）在（0，

1）上减，在（1，+∞）上增．函数y=x3是增函数． ∴有两个是增函数，命题①是假命题； ②若logm3＜logn3＜0，则

，即lgn＜lgm＜0，则0＜n＜m＜1，命题②为真命题；

③若函数f（x）是奇函数，则其图象关于点（0，0）对称， ∴f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称，命题③是真命题；

x

x

④若函数f（x）=3x﹣2x﹣3，则方程f（x）=0即为3x﹣2x﹣3=0，

也就是3=2x+3，两函数y=3与y=2x+3有两个交点，即方程f（x）=0有2个实数根命题④为真命题．

∴假命题的个数是1个． 故选：A． 档题．

12．【答案】C

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了基本初等函数的性质，训练了函数零点的判定方法，是中

x

【解析】解：当x≥时，f（x）=4﹣3≥2﹣3=﹣1，

当x=时，取得最小值﹣1；

22

当x＜时，f（x）=x﹣2x+a=（x﹣1）+a﹣1，

即有f（x）在（﹣∞，）递减， 则f（x）＞f（）=a﹣， 由题意可得a﹣≥﹣1， 解得a≥﹣． 故选：C．

【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】 60° ．

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【解析】解：∵|﹣|=∴∴

=3，

＞=

，

∴cos＜∵

=

，

，所以

∴与的夹角为60°． 故答案为：60° 表示式．

14．【答案】【解析】 当当

时，时，

【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的

两式相减得：令 答案：

得

15．【答案】 ①② ．

【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即对于①，联立

，消y得7x﹣18x﹣153=0，

2

，（x＞0）．

2

∵△=（﹣18）﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．

对于②，联立2

，消y得x=

，∴y=2是“单曲型直线”．

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对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．

对于④，联立2

，消y得20x+36x+153=0，

2

∵△=36﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．

故符合题意的有①②． 故答案为：①②．

【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．

16．【答案】(,)(1,) 【

解

析

】

12考

点：一元二次不等式的解法.

17．【答案】 ①②④ ．

【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．

②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．

③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．

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④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确． 故答案为：①②④．

【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．

18．【答案】①④⑤

解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|∴

•

=m

①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；

②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确； ③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确； ④若P、M、N三点不共线，|

|+|

|≥2

=2

，所以△PMN周长的最小值为2

+4，正确；

⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确． 故答案为：①④⑤．

|•|

|=m（m≥4），

三、解答题

19．【答案】（1）an1，（2）详见解析. n第 14 页，共 17 页

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n8时S118729222015，…………13分

∴存在正整数n，使得Sn|n8,nN*n2015的取值集合为，…………15分

20．【答案】

【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3， 第4组的频率为0.04×5=0.2， 第5组的频率为0.02×5=0.1； （2）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20， 第5组的人数为0.1×100=10； 因为第3，4，5组共有60名志愿者，

所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组

=3；第4组

=2；第5组

=1；

应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．

（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6）， （4，5），（4，6），

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当

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（5，6）；

共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种， 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

．

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．

21．【答案】

【解析】解：依题意，由M=从而由

=

得

═

1

得|M|=1，故M﹣=

=

故A（2，﹣3）为所求．

【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．

22．【答案】

2

【解析】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ=ρcosθ+ρsinθ， 2222

故圆O 的直角坐标方程为：x+y=x+y，即x+y﹣x﹣y=0．

直线l：

为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0． （2）由（0，1），

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为

，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程

，可得 ，直线l与圆O公共点的直角坐标为

．

【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．

23．【答案】

2

【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x+a，

即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，

则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1）， 令x=0，得y=为定值；

x2

（Ⅱ）解：由xe+m[f′（x）﹣a]≥mx对x≥0时恒成立， x22

得xe+mx﹣mx≥0对x≥0时恒成立，

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x2

即e+mx﹣m≥0对x≥0时恒成立， x2

则（e+mx﹣m）min≥0， x2

记g（x）=e+mx﹣m，

g′（x）=ex+m，由x≥0，ex≥1，

若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数， ∴

则有﹣1≤m≤1，

若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数， 则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数， ∴

∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，

令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1）， φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，

由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意． 综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．

【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．

24．【答案】 【解析】解：（1）由A=[0，3]，

x

由B={y|y=2，1≤x≤2}=[2，4]，

，

，

，解得0≤x≤3

（2））∁UA=（﹣∞，0）∪[3，+∞）， ∴（∁UA）∩B=（3，4]

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