一、反比例函数
1．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．
（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标； （2）当 x+b＜ 时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．
∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2）， ∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣ （x＜0）； ∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2）， ∴2=﹣ +b，解得：b= ， ∴一次函数解析式为y= x+ ．
联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：
，
解得： ，或
，
∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4， ）． ∵点A′与点A关于y轴对称， ∴点A′的坐标为（1，2）， 设直线A′B的解析式为y=mx+n，
则有 ，解得：
，
∴直线A′B的解析式为y= x+ ． 令y= x+ 中x=0，则y= ， ∴点C的坐标为（0， ） （2）解：观察函数图象，发现：
当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方， ∴当 x+ ＜﹣ 时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0
【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．
2．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．
（1）点C的坐标________；
（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，
m），求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF ， 求点P的坐标． 【答案】（1）（3，0） （2）解：∵AB=CD=3，OB=1， ∴A的坐标为（1，3），又C（3，0）， 设直线AC的解析式为y=ax+b，
则 ，解得：
，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ． ∵点E（2，m）在直线AC上， ∴m=﹣ ×2+ = ， ∴点E（2， ）．
∵反比例函数y= 的图象经过点E， ∴k=2× =3，
∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC ，
在y= 中，当x=3时，y=1， ∴F（3，1）．
过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF ． 设直线EF的解析式为y=a'x+b'，
（3，﹣0.5）．
M∴
∴y=﹣ x+ ．
，解得
，
设直线PM的解析式为y=﹣ x+c， 代入M（3，﹣0.5），得：c=1， ∴y=﹣ x+1． 当x=1时，y=0.5， ∴点P（1，0.5）． 同理可得点P（1，3.5）．
∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）． 【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3）， ∴OC=3， ∴C（3，0）． 故答案为（3，0）；
【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC ， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF ． 此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．
3．如图，已知直线y=x+k和双曲线y=
（k为正整数）交于A，B两点．
（1）当k=1时，求A、B两点的坐标； （2）当k=2时，求△AOB的面积；
（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1 ， 当k=2时，△OAB的面积记为S2 ， …，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn ， 若S1+S2+…+Sn= 【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y=
，求n的值． 化为：y=x+1和y= ，
解 得 ，
，
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）
（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y=
化为：y=x+2和y= ，
解 得 ，
，
∴A（1，3），B（﹣3，﹣1） 设直线AB的解析式为：y=mx+n， ∴ ∴
，
∴直线AB的解析式为：y=x+2 ∴直线AB与y轴的交点（0，2）， ∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；
（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ， 当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4， …
当k=n时，Sn= n（1+n+1）= n2+n，
∵S1+S2+…+Sn= ∴ ×（ 整理得： 解得：n=6．
，
…+n2）+（1+2+3+…n）=
， ，
【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.
4．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）解：设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴y1=2x+20．
设C、D所在双曲线的解析式为y2= ， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴
当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当 ∴y1＜y2
∴第30分钟注意力更集中． （2）解：令y1=36，
，
∴36=2x+20， ∴x1=8 令y2=36， ∴ ∴
，
∵27.8﹣8=19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【解析】【分析】（1）根据一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求出线段AB所在的直线的解析式，和C、D所在双曲线的解析式；把x1=5时和
进行比较得到
y1＜y2 ， 得出第30分钟注意力更集中；（2）当y1=36时，得到x1=8，当y2=36，得到
， 由27.8﹣8=19.8＞19，所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的
状态下讲解完这道题目.
5．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上． （1）k的值是________；
（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=
图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．
【答案】（1）﹣2 （2）3 n+2）， 依题意得： 解得：k=﹣2． 故答案为：﹣2．
（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，
，
【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，
∴BO∥CE， ∴△AOB∽△AEC． 又∵ = ， ∴
=
=
．
令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b， ∴BO=b；
令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b， 解得：x= ，即AO= ． ∵△AOB∽△AEC，且 ∴
．
= ，
∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b． ∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4， 解得：b=3 故答案为：3
，或b=﹣3 ．
（舍去）．
【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；
（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出=
=，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE
的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。
6．抛物线y=
+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点
M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值； （2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB； （3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=
，求点M的坐标．
【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1） ∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1） ∵顶点在直线y=x+3上， ∴﹣2+3=m﹣1， 得m=2；
（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，
∵点N在抛物线上，
∴点N的纵坐标为： a2+a+2， 即点N（a， a2+a+2）
在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a， ∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2 ， =（ a2+a）2+（a2+4a）+4， 而NB2=（ a2+a+2）2 ， =（ a2+a）2+（a2+4a）+4
∴NF2=NB2 ， NF=NB
（3）解：连接AF、BF，
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA， ∵MA⊥x轴，NB⊥x轴， ∴MA∥NB， ∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°， ∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°， ∵∠MAB+∠NBA=180°， ∴∠FBA+∠FAB=90°， 又∵∠FAB+∠MAF=90°， ∴∠FBA=∠MAF=∠MFA， 又∵∠FPA=∠BPF， ∴△PFA∽△PBF， ∴ = ，PF2=PA×PB=
，
过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中， PG=
= ，
∴PO=PG+GO= ，
∴P（﹣ ，0）
设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣ ，0）代入y=kx+b， 解得k= ，b= ， ∴直线PF：y= x+ ， 解方程 x2+x+2= x+ ，
得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），
当x=﹣3时，y= ， ∴M（﹣3， ）．
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。
（2）过点F作FC⊥NB于点C，根据已知条件点N在抛物线上，可得出N点坐标，在Rt△FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2 ， 用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2 ， 即可得出到NF=NB。
（3）要求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，再通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF2的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，由图像可知直线PF和抛物线相较于点M，建立方程求解，即可得点M的坐标。
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y= （k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）填空：OA=________，k=________，点E的坐标为________；
（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣ ）与点N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣ ）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣ x2+bx+c的顶点． ①当点P在双曲线y= 上时，求证：直线MN与双曲线y= 没有公共点； ②当抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积． 【答案】（1）6；-6；（﹣ ，4） （2）解：①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1
由题意得：
解得
∵抛物线y=﹣
过点M、N
∴ 解得
∴抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2 ∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣ ） ∵P在双曲线y=﹣ 上 ∴（5t﹣ ）×（﹣1）=﹣6 ∴t=
此时直线MN解析式为：
联立
∴8x2+35x+49=0
∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0 ∴直线MN与双曲线y=﹣ 没有公共点．
②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点 ∴4=5t﹣2，得t=
当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点 ∴
，得t=
∴t= 或t=
③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣ ） ∴yP=5t﹣
当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大 此时，点P在直线x=﹣1上向上运动 ∵点F的坐标为（0，﹣ ∴yF=﹣
）
∴当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大 此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动 ∴1≤t≤4
当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3） 当t=4﹣
时，直线MN过点A．
当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为 S= ∴OA=6
∵过点C（﹣6，1）的双曲线y= ∴k=﹣6 y=4时，x=﹣
【解析】【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）
∴点E的坐标为（﹣ ，4） 故答案为：6，﹣6，（﹣ ，4）
【分析】（1）根据A点的坐标即可得出OA的长，将C点的坐标代入双曲线y=，即可求出k的值，得出双曲线的解析式，根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点得出点E的纵坐标为4，将y=4代入双曲线的解析式即可算出对应的自变量的值，从而得出E点的坐标；
（2）①用待定系数法求出直线MN解析式，将M,N两点的坐标代入抛物线y=﹣ x2+bx+c，得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，根据顶点坐标公式表示出P点的
坐标，再将P点的坐标代入双曲线即可求出t的值，从而得出直线MN解析式，解联立直线MN解析式与双曲线的解析式组成的方程组，根据根的判别式的值小于0，得出直线MN与双曲线没有公共点； ②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，故4=5t﹣2，求解得出t的值，当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，故
,求解得出t的值，综上所述得出答案；③
根据P点的坐标判断出当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大，此时，点P在直线x=﹣1上向上运动进而表示出F点的坐标，将F点的纵坐标配成顶点式，得出当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大，此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动 ， 故1≤t≤4，当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），当t=4﹣
时，直
线MN过点A．根据割补法算出当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积。
8．已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2 ． （1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2，求△ABC的面
积． 1，
代入反比例函数解析式， =y， 解得y=6，
∴点A的坐标为（1，6）， 又∵点A在一次函数图象上， ∴1+m=6， 解得m=5，
∴一次函数的解析式为y1=x+5
【答案】（1）解：∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2 ， ∴点A的横坐标为
（2）解：∵第一象限内点C到x轴的距离为2， ∴点C的纵坐标为2， ∴2=
，解得x=3，
∴点C的坐标为（3，2）， 过点C作CD∥x轴交直线AB于D， 则点D的纵坐标为2， ∴x+5=2， 解得x=﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2）， ∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6， 点A到CD的距离为6﹣2=4，
联立
，
解得 （舍去），
，
∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），
∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3， S△ABC=S△ACD+S△BCD=
×6×4+
×6×3=12+9=21．
【解析】【分析】（1）首先根据x＞1时，y1＞y2 ， 0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；（2）根据点C到x轴的距离判断出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出横坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．
9．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y= 180°）.
x+
交x轴于点B，交y轴于点A，
过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜
（1）当直线l与直线y=
x+
平行时，求出直线l的解析式；
（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；
（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数. 【答案】 （1）解：当直线l与直线y＝ ＋b，
∵直线l经过点C（1，0）， ∴0＝ ∴b＝
＋b， ，
x−
，令y＝0得x＝−1，
x＋
平行时，设直线l的解析式为y＝
x
∴直线l的解析式为y＝
（2）解：①对于直线y＝ ∴A（0， ∵C（1，0）， ∴AC＝
，
x＋
，令x＝0得y＝
），B（−1，0），
②如图1中，作CE∥OA，
∴∠ACE＝∠OAC， ∵tan∠OAC＝ ∴∠OAC＝30°， ∴∠ACE＝30°， ∴α＝30°
，
（3）解：①如图2中，
当α＝15°时， ∵CE∥OD， ∴∠ODC＝15°， ∵∠OAC＝30°， ∴∠ACD＝∠ADC＝15°， ∴AD＝AC＝AB，
∴△ADB，△ADC是等腰三角形， ∵OD垂直平分BC， ∴DB＝DC，
∴△DBC是等腰三角形；
②当α＝60°时，易知∠DAC＝∠DCA＝30°， ∴DA＝DC＝DB，
∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；
③当α＝105°时，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°， ∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；
④当α＝150°时，易知△BDC是等边三角形，
∴AB＝BD＝DC＝AC，
∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形，
综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形. 【解析】【分析】（1）设直线l的解析式为y＝
x＋b，把点C（1，0）代入求出b即
可；（2）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；②如图1中，由CE∥OA，推出∠ACE＝∠OAC，由tan∠OAC＝
，推出∠OAC＝30°，即可解决问
题；（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可.
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是边AB上的一动点，连结DP.
（1）若将△DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A′处，试求AP的长；
（2）点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E，将△DAP与△PBE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A′，B′处，若P，A′，B′三点恰好在同一直线上，且A′B′＝2，试求此时AP的长；
（3）当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G，将△DAP与△PBG分别沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，连结CF，请求出CF的长. 【答案】 （1）解:①当点A落在对角线BD上时，设AP＝PA′＝x，
在Rt△ADB中，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝ ∵AB＝DA′＝3，∴BA′＝2，
在Rt△BPA′中，（4﹣x）2＝x2+22 ， 解得x＝ ， ∴AP＝ .
②当点A落在对角线AC上时，
＝5，
由翻折性质可知：PD⊥AC，则有△DAP∽△ABC， ∴ ＝ ，∴AP＝ ∴AP的长为 或
＝
＝ .
（2）解:①如图3中，设AP＝x，则PB＝4﹣x，
根据折叠的性质可知：PA＝PA′＝x，PB＝PB′＝4﹣x， ∵A′B′＝2，∴4﹣x﹣x＝2，∴x＝1，∴PA＝1； ②如图4中，
设AP＝x，则PB＝4﹣x，
根据折叠的性质可知：PA＝PA′＝x，PB＝PB′＝4﹣x， ∵A′B′＝2，∴x﹣（4﹣x）＝2， ∴x＝3，∴PA＝3； 综上所述，PA的长为1或3
（3）解:如图5中，作FH⊥CD由H.
由翻折的性质可知；AD＝DF＝3.BG＝BF，G、F、D共线， 设BG＝FG＝x，在Rt△GCD中，（x+3）2＝42+（3﹣x）2 ， 解得x＝ ，∴DG＝DF+FG＝ ，CG＝BC﹣BG＝ ，
∵FH∥CG，∴ ＝ ＝ ，∴
＝ ＝ ，
∴FH＝ ，DH＝ ，∴CH＝4﹣ ＝ ，
在Rt△CFH中，CF＝ ＝
【解析】【分析】（1）分两种情形：①当点A落在对角线BD上时，设AP=PA′=x，构建方程即可解决问题；②当点A落在对角线AC上时，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；（3）如图5中，作FH⊥CD由H.想办法求出FH、CH即可解决问题
11．如图，已知直线y＝﹣2x+6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A ， B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P ， 使△POB≌△POC？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）解：由y＝﹣2x+6＝0，得x＝3 ∴B（3，0）． ∵A（1，4）为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2+4，解得a＝﹣1． ∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）解：存在．
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3， ∴C（0，3）．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP ，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC ．
作PM⊥x轴于M ， 作PN⊥y轴于N ， 则∠POM＝∠PON＝45°．
∴PM＝PN ．
设P（m ， m），则m＝﹣m2+2m+3，解得m＝ ∵点P在第三象限， ∴P（
，
）．
．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）先确定出点C坐标，然后根据△POB≌△POC建立方程，求解即可
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围． 【答案】 （1）解：将抛物线表达式变为顶点式 为（1，-1）；
（2）解：①m=1时，抛物线表达式为
，因此A、B的坐标分别为（0，0）和
，则抛物线顶点坐标
（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令
y=0，则 （ ∴
，得到A、B两点坐标分别为（
，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到
．
，0），
，
【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为
，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个
数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则 （
，解方程可得到A、B两点坐标分别为（
，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到
，0），
，
即可得到结论．
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