2014年广州市越秀区中小学教师公开招聘考试（小学数学）真题试
卷 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题
1． 关于1．5÷0．5＝3，下列说法正确的是( )． A．1．5能被0．5整除 B．3是1．5的约数 C．1．5能被0．5除尽 D．1．5是0．5的倍数
正确答案：C
解析：除尽是指两数相除，除得的商是整数或有限小数，其中整除是除尽的一种特殊情况；整除、倍数、约数均是整数运算中的概念．1．5÷0．5＝3，没有余数，所以说1．5能被0．5除尽．因此本题选
C．
2． 分数单位是的最小假分数是( )，将这个假分数再添上( )个这样的分数单位就是最小的素数．( )
A．，6 B．，6 C．，7 D．，5
正确答案：B 解析：假分数是指分子大于或者等于分母的分数，因此分数单位是的最小假分数是；最小的素数是2，因为2与相差1，因此需添加6个．故选
B．
3． 下列说法正确的是( )．
A．位数多的小数，比位数少的小数大 B．小数点后面去掉零，小数的大小不变 C．小数点后面添上零，小数的数值变大
D．一个正整数的末位数添加一个零，原来的数就扩大10倍
正确答案：D
解析：小数大小的比较与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数进行比较，与小数位数的多少无关，如a＝1．011，b＝1．1，可知b＞a，故A项错误；只有当0在小数的末尾时，去掉才不影响数值的大小，只是改变精度；若是小数点后其他位置的0去掉，会使小数的值变大，故B错误；在小数末尾
加上0，不影响小数的大小，只是改变精度；若是小数点后其他位置添上0，会使小数的值变小，故C错误．因此本题选
D．
4． 代数式中，属于整式的有( )个． A．6 B．5 C．4 D．3
正确答案：C 解析：分母中是否含有字母是整式与分式的主要区别，题干中m，0，1－3a，分母中均没有字母，是整式，分母中含有字母，是分式，因此选c．此题要特别注意，虽然其分母中的7r是字母，但是π代表的是一个具体的数，因此仍是整式．
5． 某超市进了一批商品，每件进价为a元，若要获利25％，则每件商品要卖( )元．
A．25％a
B．(1＋25％)a C．(1－25％)a D．
正确答案：B
解析：利润＝售价－进价，所以售价为a＋25％a，即(1＋25％)a．因此本题选
B．
6． 已知2n＋2m2－8m＝n－10，看1≤m≤5，则n的取值范围是( )． A．－20≤n≤－2 B．－4≤n≤－2 C．－20≤n≤－4 D．n≤－2
正确答案：A
解析：原方程可化为n＝－2m2＋8m－10＝－2(m－2)2－2，n关于m的函数开口向下，又1≤m≤5，所以在m＝2时取最大值，nmax＝－2；当m＝1时，n＝－4，当m＝5时，n＝－20，所以当1≤m≤5时，－20≤n≤－2．因此本题选A．
7． 已知△ABC中，A≠B，设sinB＝n，当B是最小的内角时，n的取值范围是( )
A．0＜n＜ B．0＜n＜
C．0＜n＜ D．0＜n＜
正确答案：D
解析：当三角形为等边三角形时，三个角均为60°。，即sinB＝，因为B是最小的内角，且A≠B，所以0°＜B＜60°，因此0＜sinB＜．
8． 已知二次函数y＝aχ2＋bχ＋c(其中a＞0，b＞0，c＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的顶点一定在第四象限； ②图象的开口一定向上； ③图象与χ轴的交点都在y轴的左侧． 以上说法中，正确的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
正确答案：C
解析：原式a＋c，因为a＞0、b＞0、c＜0，－＜c．－＋c＜0，所以二次函数图象如图所示，因此②正确，①错误；该二次函数与χ轴的交点有可能都在y轴左侧，也有可能一左一右，因此③错误．本题选
C．
9． 已知χ＝－3，化简的值为( )． A． B．2－6 C．2＋6 D．
正确答案：A
解析：原式＝＝2(χ＋3)，因为χ＝－3，所以2(χ＋3)＝2(－3＋3)＝2，故本题选A．
10． 已知a，b，c分别为△ABC的三边之长，则化简的结果是( )． A．a＋b－c B．a＋b＋c C．a＋c－b D．b＋c－a
正确答案：B
解析：根据三角形的两边之和大于第三边可知，原式＝(b＋c－a)＋(a＋c－b)＋(a＋b－c)＝a＋b＋c．
11． 在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝χ2＋χ－2关于χ轴进行轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴进行轴对称变换，那么经两次变换后所得的
新抛物线的解析式为( )．
A．y＝－χ2－χ＋2 B．y＝－χ2＋χ－2 C．y＝－χ2－χ－2 D．y＝－χ2＋χ＋2
正确答案：D
解析：y＝χ2＋χ－2关于χ轴对称，即原曲线上的点的y值均由－y替代，故解析式变换为－y＝χ2＋χ－2，即y＝－χ2－χ＋2；再将所得曲线进行关于y轴对称变换，即是用－χ替代χ，则可得y＝－χ2＋χ＋2．本题也可从函数图象上判断对称变换后图象的改变．
12． 下图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是( )． A．120π B．36π C．96π D．60π
正确答案：C
解析：由图可知，三视图对应的是底面半径r为6、高h为8的圆锥，所以母线长＝10，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝π×6×10＝60π，又S底＝πr2＝π×62＝36π，故S全＝S侧＋S底＝96π．
13． 若实数χ，y，z满足(χ－χ)2－4(χ－y)(y－z)＝0，则下列式子一定成立的是( )。
A．χ＋z－2y＝0 B．y＋z－2χ＝0 C．χ＋y－2z＝0 D．χ＋y＋z＝0
正确答案：A
解析：因为(χ－z)2－4(χ－y)(y－z)＝[(χ－y)＋(y－z)]2－4(χ－y)(y－z)＝(χ－y)2＋(y－z)2＋2(χ＋y)(y－z)－4(χ－y)(y－z)＝[(χ－y)－(y－z)]2＝0，所以(χ－y)－(y－z)＝χ＋z－2y＝0．
14． 关于χ的方程k2χ2＋(2k－1)χ＋1＝0有实数根，则k的取值范围为( )．
A．k≤或k≠0 B．k≤ C．k≥ D．k＜
正确答案：B
解析：因为方程有实数根，当k＝0时，方程是一次方程，即－χ＋1＝0，
显然有实数根；当k≠0时，方程为二次方程，要想有实数根，则△＝(2k－1)2－4k2＝－4k＋1≥0，即k≤．因此选
B．
15． 正方形的面积为S1，圆形的面积为S2，如果正方形和圆形的周长相等，则S1与S2的大小关系是( )．
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．无法比较
正确答案：B
解析：依题意，正方形的周长为4，圆的周长为2π．正方形与圆形的周长相等，即，化简得＜1，所以S1＜S2．
16． 对于每个非零自然数n，抛物线y＝χ2－与χ轴交于An、Bn两点，以AnBn表示两点间的距离，则A1B1＋A2B2＋…＋A2009B2009的值为( )．
A． B． C． D．
正确答案：D
解析：抛物线可化为y＝，因此与χ轴的交点为(，0)、(，0)两点，则AnBn＝，故A1B1＋A2B2＋…＋A2009B2009＝＋…＋
17． i是虚数单位，若集合S＝{－1，0，1}，则( )． A．i3∈S B．i∈S C．i2∈S D．∈S
正确答案：C
解析：i3＝－iS，故A项错误；iS，故B项错误；i2＝－1∈S，故C项正确；＝－2iS，故D项错误．因此选
C．
18． 若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为( )．
A．84 B．36 C．－84 D．－36
正确答案：A
解析：依题意知2n＝512，则n＝9，Tr+1＝(－1)rC9rχ18-3r，令18－3r＝0，得r＝6，所以展开式的常数项T7＝(－1)6C96＝84．
19． 曲线y＝在点M(，0)处的切线的斜率为( )． A． B． C． D．
正确答案：B
解析：y′＝，所以曲线在点M(，0)处的切线斜率为．
20． 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离大于1，便称其为“安全飞行”，则这只小蜜蜂“安全飞行”的概率为( )．
A． B． C． D．
正确答案：D
解析：依题意可知，小蜜蜂的“安全飞行”区域为棱长为1的正方体，因此“安全飞行”的概率为两个正方体的体积之比，即．
填空题
21． 某班学生在植树节义务植树240棵，原计划每小时植树a棵，实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了_______小时完成任务．(用含口的代数式表示)
正确答案：
解析：原计划需用时t1＝h植完，实际需用时t2＝，所以提前t1－t2＝h植完．
22． 甲和乙玩一个游戏，三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3．将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和．如果和为奇数，则乙胜，和为偶数，则甲胜．该游戏对双方_______．(填“公平”或“不公平”)
正确答案：不公平 解析：依题意，列表如下： 所以甲胜的概率为， 乙胜的概率为， 因为，所以游戏不公平．
23． 将全体正整数排成一个三角形数阵． 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为_______．
正确答案：
解析：由排列的规律可知，第n－1行最后一个数是1＋2＋…＋(n－1)＝，所以第n行从左向右第3个数是．
24． 在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在边AB、BC上移动，则线段AT长度的最大值和最小值之和为_______．(计算结果不取近似值)
正确答案：14－2
解析：如图，因为限定端点M、N分别在边AB、BC上移动，当点M与点A重合时，AT长度最大．因为△ATB为等腰直角三角形，所以ATmax＝6；当点N与点C重合时，AT长度最小，在Rt△NTD中，ND＝AB＝6，CT＝CB＝8，由勾股定理得，DT＝2，所以ATmin＝AD－DT＝8－2，故ATmax＋ATmin＝14－2．
25． 已知椭圆＝1上一点P到其左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足(其中O为坐标原点)，则＝_______．
正确答案：2
解析：由题意可知，左焦点F的坐标为(－3，0)，左准线为χ＝－，点M为PF的中点，设点P的坐标为(χ，y)(－5≤χ≤5)，所以有＝10，即(舍去)；又因为点P在椭圆上，将χ＝代入椭圆方程，得y＝±，所以点P的坐标为．根据中点坐标公式得，的M的坐标为，所以＝2．
解答题
26． 有20张卡片，每张上有一个大于0的自然数，且任意9张上写的自然数的和都不大于63，如果写有大于7的自然数的卡片称为“龙卡”． (1)这20张卡片中“龙卡”最多有多少张? (2)所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少?
正确答案：(1)因为“龙卡”上的数最小为8，8×8＝64＞63不合题意，所以最多有7张“龙卡”； (2)设7张“龙卡”上写的自然数之和为S，则再取两张小于8的卡片，组成 当所取的小于8的卡片取最小值时，7张“龙卡”的和才会最大． 因为每张卡片上的数都是大于0的自然数， 所以这两张卡片上的数都取1时，7张“龙卡”的和最大． 又因为任意9张上写的自然数的和都不大于63， 所以7张“龙卡”的和的最大值为63－2＝61．
27． 在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的
圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交z轴于点
D． (1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式； (2)求点D的坐标．
正确答案：(1)设抛物线解析式为y＝aχ2＋bχ＋c， 依题意有 所以过A，B，C三点的抛物线的解析式是y＝－χ＋2． (2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－，0)， 所以． 因为CD为⊙O′的切线， 所以OC′⊥CD， 所∠O′CO＋∠DCO＝90°，∠CO′O＋∠O′CO＝90°， 所以∠CO′O＝∠DCO， 所以△O′CO∽△CDO． 所以， 所以OD＝，所以点D坐标为(，0 )．
28． 在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交．BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径． (1)求证：AE与⊙O相切； (2)当BC＝4，cosC＝，求⊙O的半径．
正确答案：(1)连接OM，则OM＝OB， 所以∠OBM＝∠OMB， 因为BM平分∠ABC， 所以∠OBM＝∠MBC， 所以∠OMB＝∠MBC， 所以OM∥BC， 所以∠AMO＝∠AE
B． 在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线， 所以AE⊥BC， 所以∠AEB＝90。． 所以∠AMO＝90°， 所以AE与⊙O相切． (2)在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线， 所以BE＝BC＝2，∠ABC＝∠C， 所以cos∠ABC＝cos∠C＝． 在△ABE中，∠AEB＝90°， 所以AB＝＝6． 设⊙O的半径为r，则AO＝6－r， 因为OM∥BC， 所以△AOM∽△ABE． 所以， 解得r＝， 所以⊙O的半径为．
29． 设数列{an}的前{an}项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1、2、3…，其中A，B为常数， (1)求A与B的值； (2)证明：数列{an}为等差数列； (3)证明：不等式对任何正整数m、n都成立．
正确答案：(1)依题意有S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝7，S3＝a1＋a2＋a3＝18． 因为(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝An＋B， 所以 所以A＝－20，B＝－8． (2)证明：由(1)得(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝－20n－8①， 所以(5n－3)Sn+2－(5n＋7)Sn+1＝－20n－28②． ②－①得：(5n－3)Sn+2－(10n－1)Sn+1＋(5n＋2)Sn＝－20③， 所以(5n＋2)Sn＋3－(10n＋9)Sn＋2＋(5n＋7)Sn+1＝－20④． ④－③得：(5n＋2)Sn+3－(15n＋6)Sn+2＋(15n＋6)Sn+1－(5n＋2)Sn＝0⑤． 又因为an+1＝Sn+1－Sn， 所以由⑤有(5n＋2)an+3－(10n＋4)an+2＋(5n＋2)an+1＝0． 因为5n＋2≠0， 所以an+3－2an+2＋an+1＝0． 所以an+3－an+2＝an+2－an+1，n≥1， 又因为a3－a2＝a2－a1＝5， 所以数列{an}是首项为1，公差为5的等差数列． (3)证明：由(2)知，a＝1＋5(n－1)＝5n－4， 要证， 只需证5amn＞1＋aman＋2 因为aman＝(5m－4)(5n－4)＝25mn－20(m＋n)＋16，amn＝5mn－4， 所以只需证5(5mn－4)＞1＋25mn－20(m＋n)＋16＋2， 即只需证20m＋20n－37＞2． 因为2≤am＋an＝5m＋5n－8． 又因为m、n为正整数，所以15m＋15n＝29≥1，所以2≤5m＋5n－8＜(5m＋5n－8)＋(15m＋15n－29)＝20m＋20n
－37． 所以不等式＞1对任意的正整数m，n都成立．
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