第３卷第４期２００６年１２月复杂系统与复杂性科学ＣＯＭＰＬＥＸＳＹＳＴＥＭＳＡＮＤＶ０１．３Ｄｅｃ．Ｎｏ．４２００６ＣＯＭＰＬＥＸｍｒＳＣＩＥＮＣＥ文章编号：１６７２—３８１３（２００６）０４～００５２—３９原文取自：ＰｈｙｓｉｃｓＲｅｐｏｒｔｓ，２００６，４２４（４，５）：１７５—３０８ＣｏｍｐｌｅｘＮｅｔｗｏｒｋｓ：ＳｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄＤｙｎａｍｉｃｓＳ．Ｂｏｃｃａｌｅｔｔｉｌ，Ｖ．Ｌａｔｏｒａ２一，Ｙ．Ｍｏｒｅｎ０４一，Ｍ，Ｃｈａｖｅｚｆ６，Ｄ．．Ｕ．Ｈｗａｎ９１（１．ＣＮＲ－ＩｓｔｉｔｕｔｏｄｅｉＳｉｓｔｅｍｉ２．ＤｉｐａｒｔｉｍｅｎｔｏｄｉＦｉｓｉｃａＣｏｍｐｌｅｓｓｉ，ＬａｒｇｏＥ．Ｆｅｒｍｉ，６５０１２５Ｆｌｏｒｅｎｃｅ，Ｉｔａｌｙ；Ａｓｔｒｏｎｏｍｉａ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｔｉｄｉＣａｔａｎｉａ，ＶｉａＳ．Ｓｏｆｉａ，６４９５１２３Ｃａｔａｎｉａ，Ｉｔａｌｙ；Ｃａｔａｎｉａ，ＶｉａＳ．Ｓｏｆｉａ，６４９５１２３Ｃａｔａｎｉａ，Ｉｔａｌｙ；３．ＩｎｓｔｉｔｕｔｏＮａｚｉｏｎａｌｅｄｉＦｉｓｉｃａＮｕｃｌｅａｒｅ，Ｓｅｚｉｏｎｅｄｉ４．ＩｎｓｔｉｔｕｔｏｄｅＢｉｏｃｏｍｐｕｔａｃｉ６ｎＹＦｔｓｉｅａｄｅＳｉｓｔｅｍａｓＣｏｍｐｌｅｊｏｓ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｄａｄｄｅＺａｒａｇｏｚａ，Ｚａｒａｇｏｚａ５０００９，Ｓｐａｉｎ；５．ＤｅｐａｒｔａｍｅｎｔｏｄｅＦｉｓｉｃａＴｅ６ｒｉｃａ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｄａｄｄｅＺａｒａｇｏｚａ，Ｚａｒａｇｏｚａ５０００９，Ｓｐａｉｎ；６．ＬａｂｏｒａｔｏｉｒｅｄｅＮｅｕｒｏｓｃｉｅｎｃｅｓＣｏｇｎｉｔｉｖｅｓｅｔＩｍａｇｅｒｉｅＣ６ｒ６ｂｒａｌｅ（ＬＥＮＡ）ＣＮＲＳＵＰＲ一６４０，Ｈ６ｐｉｔａｌｄｅｌａＳａｌｐ６ｔｒｉ６ｒｅ．４７Ｂｄ．ｄｅ１’ＨＳｐｉｔａｌ，７５６５１ＰａｒｉｓＣＥＤＥＸ１３，Ｆｒａｎｃｅ）复杂网络：结构与动力学熊文海，赵继军，译（青岛大学复杂性科学研究所，山东青岛２６６０７１）（续本刊２００６年第３期）３静态与动态鲁棒性网络的鲁棒性是指当网络中的部分节点或边被破坏时，网络仍然能够继续维持其功能的能力。这是一个具有明显实际意义的论题，因为它直接影响着任何发生在网络上的过程的效率，而且它也是复杂网络文献中最早被探索的论题之一。本章主要回顾了在随机故障和蓄意攻击两种情况下有关网络弹性的主要结果。该问题可能会以两种不同的形式出现，第一种形式称为静态鲁棒性，它指的是当删除网络中的节点时，不需要重新分配网络上的流，网络仍然能够维持其功能的能力，譬如说在社会网络中，我们去除系统中个体间的关系。另一种形式称为动态鲁棒性，它指的是当删除网络中节点时，需要考虑重新分配网络上流的动力学特性。因特网就是这样的一个例子：当某一路由器偶然出现故障时，数据包不得不转向另外一种路径。这两种类型的鲁棒性本质上都是相似的，但是静态鲁棒性可以利用解析方法进行处理，比如统计物理学中的逾渗理论，而动态鲁棒性却很难用解析方法进行处理，几乎所有的情形都不得不依靠数值模拟。３．１网络对错误与攻击的静态耐受性网络对错误（或随机故障）的静态耐受性是指当随机去除比率为．厂的部分节点或边后，系统仍然能够维持连通属性的能力。另一方面，我们把针对某类特殊的节点或边的去除过程称为网络攻击，譬如说针对高连接率的节点。除了数值模拟¨叭’２”ｏ方法以外，学者们还提出了一系列研究复杂网络对错误与攻击的耐受性的解析方法‘２７６。８其主要思想是：能够利用逾渗理论对该问题进行解析处理。一般来说一个标准的逾渗过程有两种类型：即点逾渗和边逾渗。点逾渗是指在给定图中某个顶点以一给定概率，没有被占用（或被占用的概率为１一力，而边逾渗指的是任意选取的两个节点之间是否有边存在。一旦随机去除（或放置）节点或边后，我们可用若干指标来描述网络的特性。一般情况下，可以考虑将巨组元的存在与否以及大小尺寸作为．厂的函数，以及将有限组元中组元的平均尺寸及其波动作为，的函数。通过这种方式我们可以定义一个临界概率，，在此ｌ临界万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学概率之下网络出现逾渗，此时可用一系列临界指数来刻画相变。在复杂网络中对随机故障问题的研究可精确地映射成一个标准的逾渗问题。然而处理蓄意攻击却不能用这种方法，因为去除的节点或边不再是随机的。然而在第３章第１．４节我们将看到用于故障的模型可通过些许的改变得到扩展。这个问题已经由Ｎｅｗｍａｎ、Ｃｏｈｅｎ等其他的作者进行过很彻底的评述，因此，在此仅简要回顾非关联网络中的结果，相反地，我们主要关注关联网络。３．１．１数值分析结果文献［１０１，２７５］是最早对实际网络的鲁棒性进行数值研究的，Ａｌｂｅｒｔ等人在文献［２７５］中对因特网和万维网的抽样中的一部分比例，节点被去除后网络属性将怎样改变进行了研究。这些被去除的节点要么是随机地选取以便用来模拟网络错误，要么是通过降低它们度南的排序来模拟网络受到攻击的情况。无论是因特网还是万维网，对于高比率的随机节点的去除，网络中的巨组元仍能够保持下来，而假如节点的去除是一种攻击模式的话，那么断裂成小组元的个数将会迅速地增加。这种现象与从随机图中所观察到的结果相反，而与无标度图的结果是一致的。在节点Ⅳ为１００００、平均度（七）＝４的随机图中，网络的最大连通子图ｓ对于错误与攻击都表现出了一种类似的临界行为，即当，≥六一０．２８时，Ｓ一０。然而，具有同等规模和具有相同平均度的无标度网络对于错误和攻击的反应却有很大的不同。对于随机故障而言，网络中的最大组元的大小减小很缓慢，而且观察不到临界值；另一方面，对于蓄意攻击而言，无标度网络的反应与随机图在遭遇攻击与故障的反应一样，存在一个比随机图的临界值略低一些的临界值ｆｃ一０．１８。Ｂｒｏｄｅｒ等人通过研究大量的万维网数据库也发现了类似的结果（尽管他用一种明显不同的方式进行解释）。Ｃｒｕｃｉｔｔｉ等人使用了局部和全局网络效率的概念来研究错误与攻击对于ＢＡ和ＫＥ无标度网络的影响∞８２，２８３］。全局和局部效率分别由公式（２．６）（２．１１）定义，提供了对具有集聚性和小世界属性的网络的另一种刻画方式。数值结果表明无标度网络的全局和局部效率不受随机去除部分节点（可高达２％）的影响。另一方面，与随机图不一致的是，当去除的节点是那些高连接率的节点时，网络的全局和局部效率迅速下降。图３．１显示的是ＥＲ随机图和ＢＡ无标度网络的特征路径长度￡和整体效率Ｅ在大量的网络节点被去除后的变化情况（最高达到去除网络节点总数的８０％）。在这样一个尺度上无标度网络和随机图的差别就不如在小规模上（ｆ＜０．０２）显著。此外，当网络处于不连通状态时，Ｅ比￡能更好地描述系统特性。Ｇｏｈ等人‘４３】、Ｋｉｍ等人‘２８４ｆ、Ｍｏｔｔｅｒ等人‘２８５【、Ｈｏｌｍｅ‘２８６，２８７｜、Ｌａｔｏｒａ和Ｍａｒｃｈｉｏｒｉ‘３４１等提出了多种不同的方法来研究网络的脆弱性。３．１．２该图考虑了节点数Ｎ＝５０００、度数ｋ＝１００００的ＥＲ随机图和ＢＡ无标度网络中，把平均最短路径长度￡和全局效率Ｅ作为被去除节点的比率＿厂的函数的情形。图３．１网络在节点的随机故障和蓄意攻击情况下的鲁棒性无关联网络中的网络弹性为了用解析计算验证数值仿真结果，我们采用Ｃｏｈｅｎ等人心７７’２７８。的论证方法。我们考虑一个包含Ⅳ个顶点、平均度为（南）以及任意度分布为Ｐ（ｋ）的随机图。首先我们分析了在何种条件下原图存在巨组元。然后，我们去除一定比例．厂的顶点后，在被破坏的图中重复同样的分析。要注意的关键是随机选择的节点具有度数为ｋ的概率是Ｐ（ｋ），而其最近邻居的度分布是不同于Ｐ（ｋ）的。事实上，假如随机选择一条边以及随机地选择该边的一个终端节点的话，那么此节点的度分布如下：万方数据复杂系统与复杂性科学２００６年１２月ｇ＾：骅ｇ＾２—育（３．１）Ｌｊ·ｌ，这是因为在网络的总边数＞ＩｋＮ；中有ｋＮ。（其中Ｎ。为度数为ｋ的节点的个数）条边连接到度数为南的节点上。另外一个要点是环可以被忽略以及大的稀疏无关联网络的局部结构是树形结构（回想一下在广义随机图中当Ⅳ趋于无穷时其聚集系数消失）。然后，为了使巨组元存在，在巨组元（生成簇）中与节点Ｊ连接的节点ｉ至少应该有另外一个节点与它相连。这种条件可表达为：若随机选择顶点的第二最近邻居（ｚ：）的平均边数比其最近邻居的边数（（ｋ））多，那么网络没有断裂，也就是它能够逾渗。ｚ：可由下式得到：Ｚ２邓）（莓南哿一，）邓）（警）叫２）＿（矗）（３．２）其中（莓后专导一１）为任意边（而不是开始的那条边）的任意端节点的平均度数。在临界点Ｚ２／（尼）＝１时，由式（３．２）便可得到：算：２（）ｋ）３．３（…～７根据度分布概率Ｐ（＿ｊ｝），网络存在巨组元的条件可以被重新写作：（ｋ２）一２（ｋ）＝罗ｋ（ｋ一２）ｐ（ｋ）＞０（３．４）—Ｆ这是在第２章第３．２节和３．４节提到过的Ｍｏｏｌｌｏｙ和Ｒｅｅｄ的判据‘１２２·１２引。这意昧着如果一个广义随机图度分布的二阶矩是发散的话，那么巨组元将始终存在。例如，方程（３．４）告诉我们指数在２＜ｙ＜３范围内的无标度网络中存在巨组元，这与从现实网络中发现的结果相同。迄今为止，我们已经分析了网络在没有被破坏的情况下存在巨组元的条件。我们的讨论局限于点逾渗的情况即网络中比例为，的节点被随机去除。利用同样的方式也可以对边逾渗问题进行研究。假如破坏过程没有破坏新网络Ｇ’度分布的肥尾现象（以至于其二阶矩仍然发散），这时网络将一直存在巨组元。当随机去除比例为厂的节点以后，以前度数为ｋ的顶点将被连接到另外ｋ’个（存在的）顶点上。被连接节点的个数ｋ’服从二项分布，因此随机选取的节点连接到另外ｋ’个节点的总概率由下式给定：ｐ（南’）＝∑ｐ（南）（：！，１（１－力Ｐ’（３．５）Ｃｏｈｅｎ等人心７７１将公式（３．３）用新的（ｋ以）和（后’）进行代替，从方程（３．５）得到了新的临界判据：卜工２而萧‘３·６）这说明假如在热力学的极限情况下原始网络的二阶矩是发散的话，那么网络没有逾渗临界，或者严格地讲，其逾渗临界值为０。从方程（３．６）中获得的结果也可以用其他一些方法得到。在此我们将介绍另外两种能够被采纳的、更严格的方法。第一种方法是用于无序系统的统计力学技术的副产物。它最早被Ｖ６ｚｑｕｅｚ等人用在研究具有任意度分布的图的铁磁排序心８８’２８９Ｉ。这种方法后来被应用到研究关联网络覆盖的问题Ⅲ８｜。另一种方法应该归功于Ｎｅｗｍａｎ等人¨２４’２７６Ｉ，这种方法是基于生成函数的方法。这种方法假设原网络中随机去除节点后，一个节点仍然存在于剩余图Ｇ’中的概率为１一，，假设原图中随机选取的一条边以概率石连接到属于一个有限的连接组元的剩余图Ｇ’中的一个节点。可以证明戈满足自恰方程：一，＋（１一Ｄ篆等戈㈧（３．７）式中第一项表示端节点被去除的可能性，求和项考虑了端节点的分布为幻（ｋ）／（ｋ）以及任何一个端节点出现的可能性为石。假如网络中存在巨组元时，公式（３．７）有一个非平凡解（算＜１）。通过线性化便可求出逾渗临界值工，同样得到公式（３．６）。万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学３．１．３关联网络中的网络弹性现在假设网络中相邻节点的度存在相关性，我们采用文献［２８０，２８８］中的论述方法。这种情况下，只考虑度分布是不够的，还必须考虑度数为ｋ的顶点有任何一条边连接到一个度数为ｋ’顶点的条件概率。用Ｅ肌表示度数为ｋ和ｋ’的顶点之间边数的对称矩阵，当南＝ｋ’时，其值为自连边数的两倍，因此有卅㈨）２轰２瓦Ｅｋ，ｋ瓯％）ｅ腓，其中ｅ扩。为联合概率，定义为ｅｋ＇，ｋ（３．８）式中眠是度数为ｋ的顶点的个数。此外，随机选择的一条边连接度数为ｋ和ｋ’的两顶点的概率为（２一２矗＝蒜２丽２丽Ｐ（ｋ㈤９，㈡。纠因此可以重写Ｐ（ｋ’ｌｋ）为ｋ）＝ｅｌ。，ｋ／ｑＩ（３．１０）因为ｅ腓是对称的，为了保持度分布的一致性，要求罗ｅ肌＝ｇ。。对于无关联网络而言给定ｐ（ｋ’Ｉ南）＝ｑ¨ｅ肌＝ｑ；，ｑ。是独立于ｋ的。另外需要注意的是，例如，当ｅ肌＝ｑ。，６肌时也就是仅当具有相同度数的顶点相连时，网络得到最强的正相关性。逾渗问题等同于温度为零、无磁性的Ｉｓｉｎｇ（伊辛）模型，其中巨组元的大小对应于磁场强度口８９’２９０１。事实上，就像Ｄｏｒｏｇｏｖｔｓｅｖ和Ｍｅｎｄｅｓ＂３指出的一样，它是具有ｎ个状态的Ｐｏｔｔｓ一般模型的一个特例。这种类比可以用来研究任意度相关的随机网络的逾渗特性。换句话说，可以采用生成函数的形式来得到巨组元中顶点所占的百分比Ｓ，以及一条连接到度数为ｋ的顶点的边其另一端通向巨组元外的顶点的平均概率肛；：ｓ＝１一芝：Ｐ（ｋ）（ｐ＾）‘ｉ一（３．１１）（３．１２）肛。＝∑ｐ（｜｜｝７或边逾渗传递临界或边界的一般表达式。ｌ后）（肛＾，）∥一现在我们能够讨论在随机去除顶点或边后巨组元存在的条件。我们将推导出可计算幂律关联图中的点我们首先考虑点逾渗的情况，在此情况下比例为，的顶点从图中被去除，然后计算新的巨组元。由于顶点的去除是独立于顶点度的，因此原来的度分布以及相关性分别由下面所代替：１）随机选择的且度数为ｋ的顶点没有被去除的概率；２）假如被随机选择的顶点以及它的任一边连接到一个没有被去除而且度数为ｋ的顶点的概率：Ｐ（ｋ）＿÷（１一力Ｐ（ｋ），Ｐ（ｋ’Ｉｋ）＿（１一力Ｐ（ｋ’ｌｋ）将方程（３．１３）代入方程（３．１１）和（３．１２）中，得：（３．１３）ｓ＝１一ｆ一（１一力＞、Ｐ（ｋ）（ｐ。）‘肛。＝ｆ＋（１一力ｙＰ（ｋ’ｌｋ）（／ｘ。，）∥。（３．１４）（３．１５）在方程（３．１４）（方程（３．１５））中一八Ｄ项给出了节点被去除的概率。注意到方程（３．１５）在无关联网络中就简化为方程（３．７）。一旦方程（３．１５）在连续逼近的情况下是稳定的，这些方程的解Ｍ。＝１和Ｓ＝０则是有效的。换句话说，假如从Ｍ。（ｎ）＝１一Ｐ。（ｎ）开始，计算连续逼近值Ｐ。（ｎ＋１），凡＝１，…，∞，应该得到在极限ｎ一∞时Ｐ。（ｎ）一０。对于Ｐ；（／＂ｔ）《１的情况，最后的一个方程可以用线性映射进行逼近：ＰＡ（，ｚ＋１）＝乏：ＬＩ女，ｐＩ，（ｎ）并且Ｌ船，＝（１一ｆ）Ｃ触，，Ｃ鼬，＝（ｋ’一１）Ｐ（后’Ｉｋ）（３．１６）（３．１７）万方数据·５６·复杂系统与复杂性科学２００６年１２月我们找到了所期望的判据：即解ｕ。＝１的稳定性依赖于工川的最大特征值。因此，假如其值是小于（或大于）１，解就是稳定（或不稳定）的。因为Ｌ川与，是线性相关的，因此稳定条件便简化为ｆ＞ｆ，（１一工）Ａ。。，＝１（３．１８）其中若Ａ…＞１，Ａ…是Ｃ川的最大特征值。注意若Ａ…＜１，即使ｆ＝０图中也不会存在巨组元。而且，因为Ｃ川是一个正矩阵，因此Ａ。ｉ。的值在ｍｐ∑Ｃ川和ｍＰｘ∑Ｃ川之间，即ｍ．ｉｎｋ。。（ｋ）≤１＋Ａ。。。≤ｍａｘｋ。。（ｋ）其中（３．１９）ｋ。（ｋ）＝ｙ点被去除情况下给定图是否具有鲁棒性。Ｐ（ｋｋ）七’（３．２０）为度数为ｋ的节点的邻居的平均度（见第２章１．１节）。基于简单的拓扑测度，方程（３．１９）可被用来确定在节现在考虑边逾渗情况。在这种情况下，比例为，的边从图中去除，然后计算新的巨组元。因为边是随机选择的，这就等同于保持原来的度分布并以一概率代替度的相关性，这个概率为被随机选择节点的任一边连接到一个没有被去除且度数为．ｉ｝７的节点的概率，也就是：Ｐ（南）一Ｐ（后），Ｐ（后７｝七）＿（１一ｆ）Ｐ（后’Ｉ后）（３．２１）象前面一样，将方程（３．２１）代入方程（３．１１）和（３．１２）中：Ｓ＝１一＞：Ｐ（｜ｊ｝）（口。）‘肌＝ｆ＋（１一，）ｙ下Ｐ（ｋ’Ｉｋ）（ｐ。，）∥。１（３．２２）（３．２３）注意到点逾渗和边逾渗问题的唯一区别是在关于巨组元的方程中（见方程（３．１４）和（３．１５）），另一个关于“。的方程是一致的。因此，方程（３．１８）（３．１９）对于边逾渗问题也同样有效。这也毫不奇怪，事实上在不相关网络中已经发现了这些现象。实际上，对于随机图有Ｐ（ｋ７，ｋ）＝ｑ∽在这种情况下，若最大特征值满足以＝＝菩÷一１（３．２４）方程（３．１９）的上下边界是相等的。换句话说我们可以直接从Ｃ川的特征值问题中计算以。将它代入方程（３．１８）便可以得到方程（３．６）（在第３章第１．２节讨论过的）。即假如二阶矩（血２）发散的话，逾渗临界值等于１，也就是网络在随机去除顶点或边时具有鲁棒性。另外，考虑将度的相关性分解成两个部分的情况：Ｐ（七’Ｉｋ）＝仪¨＋（１—０ｃ）却（而’Ｉｋ）（３．２５）其中０＜ｄ＜１，而且对于所有的（ｋ，ｋ’）都有却（ｋ’ｌ克）＞０。调整参数０ｃ，可获得不相关图（ａ＝１）和具有任意度相关（由印（ｋ’Ｉｋ）决定）图之间的情况。在这种情况下，从方程（３．１９）中可以证实Ａ…≥ａＡ—ｕｎｔｏ，因此，若在不相关的情况下网络具有鲁棒性，那么对于任何ａ＞０网络都具有鲁棒性。紧接着而来的结论是任何一个有限的边的随机混合图，若二阶矩阵发散的话便没有逾渗临界值。一个有趣的问题是二阶矩阵的发散是否是相关网络中没有逾渗临界值的必要或充分条件。这个问题的答案可以用分析不同相关网络而得到。让我们以异配图为例，考虑图是按照以下规则构造而成的情况，一个ｐ（七’Ｉ忌）＝－｛；；｛糍＠（％’一１）６ｔ，，＋（１一ｇｔ）６ｔ，，－＠（１｜｝一１）＋ｇｔｉｇ；ｖ丽ｋ＇ｐ（ｋ＇）＠（后’一ｔ）＠（南一１）择的度数为ｋ７＝１的顶点，也就是：度ｋ＞１的顶点以概率ｇ。连接到从所有度数ｋ’＞１的节点中随机选择的顶点，否则它将连接到一个随机选（３．２６）式中＠（髫）是单位阶跃函数（即对于算≤０时，０（髫）＝０；对于戈＞０时＠（算）＝１）。除此之外，度数为１的万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学·５＿７·节点的比例可以从条件Ｐ，＝＞、（１一ｇ。）幻（ｋ）中得到。从Ｐ（ｋ’ｌｋ）可以直接得到度数ｋ＞１的节点的邻居ｆ五的平均度：ｋ。＝１＋ｇ＾｜箜！ｆ罗ｇｋ＇ｋ止Ｐ（ｋ７）１一１（３．２７）Ｉ∑ｇ，ｓｐ（ｓ）』从方程（３．２７）可以很清楚看到以这种方式构造的图对于任何单调递减函数ｇ。都是异配的，此外我们可以精确计算Ｃ川＝（七７—１）Ｐ（居’Ｉ居）的最大特征值，最后得到：以ｍ。；＝—Ｌ—ｉ＿———■＿＞‘ｇ：（｜｜｝一１）印（ｋ）（３．２８）２ｇ。ｓｐ（ｓ）因此，存在巨组元（Ａ…＞１）的条件或者网络对于损毁（Ａ…＝∞）的网络弹性都由ｇ。来调节，因此，由ｇ。控制的网络异配相关性对网络的逾渗特性有很大的影响。例如，让我们假设：ｇＩ＝ｋ一“Ｐ（ｋ）＝ｃｋ一７（３．２９）其中ｙ＜３（（ｋ２）＝∞）。从方程（３．２７）可以得到：ｋ。。一１一Ｉ｜｝１（３．３０）因此，当Ｏ／增加时图将变得越来越不均匀。此外，当Ｏｔ＜ｎ。＝（３一，ｙ）／２时Ａ…是发散的，否则，它是有限的。因此，对于较小的ｏ／值图具有鲁棒性，但是对于ｏｔ＞ｏｚ。图变得脆弱。值得注意的是巨组元消失（Ａ一＜１）的ｏｔ值是大于ｏｔ，的。此外，对于大度数，巨组元中节点的度分布仍然是幂律，但是它衰减的速度比整个图的度分布要慢一些。故而，异配相关性与巨组元的形成相互竞争，（ｋ２）的发散不是得到上＝１的鲁棒性图的充分条件。由于巨组元甚至可能不存在，这时情况可能变得更糟。一个关于这种情况的极端例子是由一些星图组成的图，这些星图是由一些度数为ｍ的节点通过相互连接而成的。对于一个幂律分布的图Ｐ（ｋ）一ｋ一，可以证明图中节点属于最大集团的比例为ⅣⅣｈ。卜１，因此当Ⅳ＿＋。。时该比例趋于０。这个结果对于任意度分布均成立，而不依赖于其二阶矩是有限还是无限的。因此，我们再一次得到（ｋ２）的发散性不是图逾渗的充分条件的结论。这看上去好像是一个没有价值的结论，但是它意味着存在这样的网络：尽管在没有被破坏的情况下没有显示出巨组元，但是它们的二阶矩仍然能被正式定义。这与文献［２７６，２７８］所推导的条件是类似的。因此，一般来说，异配相关性使得巨组元的规模比那些具有相同度分布的随机图的要小，而且不排除异配相关性的存在可能使巨组元的规模变到零。总而言之，异配相关性使得巨组元的形成变得更加困难，而且即使在其二阶矩发散的情况下也可能使图变得脆弱。３．１．４网络对于攻击的耐受性我们现在来讨论不相关网络对于攻击的耐受性问题。在第３章第１．２节我们证实若等式（ｋ２）／（ｋ）＝为方程（３．６）。现在我们来考虑节点的去除是针对高连接率节点的情况，遵循Ｃｏｈｅｎ等人心７引的推导方法。由于网络中顶点被删除，更重要的是与之相连的边也被删除。所以攻击行为将改变网络中剩余节点的连接分布。网络节点的最大度，ｃ在受到攻击前可以由下式进行估计：１∑ｐ（矗）＝亩（３．３１）类似地，当网络受到攻击后网络节点的最大度满足以下关系：∑ｐ（．｜｝）＝∑ｐ（后）一万１＝ｆ（３．３２）式ｄ？ｆ表示含有最大度数的节点被去除的比例。对于大的系统规模（，》１／Ｎ）且在ｋ为连续的限制条件下，方程（３．３２）给出：万方数据２（见方程３．３）成立，则网络中存在巨组元。如此同时，在随机去除一定比例，的节点后，新的临界准则便简化·５８·复杂系统与复杂性科学ｋ＝ｋｍｉ／“１－ｙ）（３．３３）式中ｋ。ｉ。是原始度分布Ｐ（ｋ）中的最小度。因为网络是随机的，故而从被去除的度数为后的节点发出的一条边连接到度数为ｋ’的节点的连接概率是独立于ｋ７的。因此，所有的边被去除的概率是相同的。所以，攻击对剩余节点的分布的影响导致剩余节点的边被随机删除。与随机去除情形不同在于对高连接率节点的去除影响大量的边（想想集散节点控制系统的连通性），因此方程（３．５）给出的分布及边的去除概率有所改变，它们不再取决于．厂。尤其是，由于网络中的最大度较小，随机选择的一条边指向任何一个被去除的节点的概率，由下式给出：ｉ：争旦：争纽（！！：争鸳掣急＜ｋ）急ｙ岛ｙⅣ。乍４乍Ｐ（ｋ）（３．３４）（ｋ）为网络受到攻击以前的的平均度。用连续的ｋ逼近，对于大Ⅳ和ｙ＞２旧７８１最终将得到：厂：ｆ羔１＼ｋｍｉｎ，：ｆ２刊“１。７’（３．３５）方程（３．３５）表明当Ⅳ增长时，非常小的．厂值将足以破坏大量的边。例如，在７＝２的极端情况，可以证明怛”ｊ方程（３．３５）简化为ｆ＝Ｉｎ（Ｎｆ／ｋ晌）。而且，大致来讲在指数ｙ＝２．２的网络中（就像因特网的情况），假如被去除的节点是针对ｆ＝０．１的高连接率的节点的话，接近７０％的边将从网络中删除。最后，Ｃｏｈｅｎ等人证明用在随机崩溃问题中的方法同样能够用在这里，故临界点，（尽管不是巨组元的规模）将不受影响。用第３章第１．２节中描述的逼近方法拉”。可以推导出：（忐）卜７一暑ｋ。ｆ（搿１一，】用文献［１２４，２７６］所提出的生成函数技术来进行计算。㈢３６，其数值解允许通过方程（３．３３）计算六（｜ｊ｝曲，ｙ）。一些额外的量，例如属于生成集团的节点的比例，也可以利总之，正如Ａｌｂｅｒｔ等人心”ｏ利用数值模拟所预期的一样，在不相关无标度网络中有针对性地删除节点比随机故障更加有效。这是由于仅仅几个关键高度数的节点的去除就可以毁坏整个网络。另一方面，相关网络对于攻击的耐受性仍然是一个需要彻底研究的问题。部分原因是因为缺少一些通用的能够生成任意度度相关的模型。事实上，仅有少量的工作是关于生成这样的网络问题的¨４３．２动态效应在前面的章节中我们着重讨论了网络的静态属性，证明了一定比例的节点或边的去除对网络的影响。然而，现实系统中还包含另外一个重要的问题，就是对网络中某些物理流量的动力学建模。不考虑网络的结构和动力学方面的相互作用是不可能完全地刻画一个网络的所有特性的。当进行动力学建模的时候，情况就变得非常复杂，因为网络的各个部分可能具有不同的传输能力，而且网络的负载无论在空间上还是在时间上都是一个经常变化的量。本章所关心的主题是，当适当考虑网络中物理流量的动力学特性时，外界因素引起的波动可能造成更多的破坏性的结果。第３章第２．１节我们将讨论由于网络节点的故障所引起的雪崩问题，第３章第２．２节我们将讨论通讯系统的拥塞问题。尽管所讨论的模型只能定性地解释理论，但是这些模型可帮助我们找到减少那些不希望的后果的方法。３．２．１相继故障的建模当网络中的节点或边对过载敏感时，整个网络的雪崩故障将是一个非常严重的威胁。比如在一个电力传输网格中，每一个节点（电站）处理一定载荷的电量。无论是随机故障或是蓄意攻击，节点的去除都将改变电流的平衡以及导致整个网络中重新分配这些载荷，在一些情况下，网络可能是不能耐受的，并可能触发相继的过载故障。一个例子是１９９６年８月１０日心９１’２９２］，最初由于Ｏｒｅｇｅｎ州的南部的一条１３００兆瓦的电线下垂，后来导致了美国１１个州和加拿大两个省的停电事故。２００３年８月１４１３Ｏｈｉｏ拉９３１州一个最初的事故导致了美国历史上最大一次停电事故，该事故影响了数百万人持续１５个小时。这些事例和其他一些实例促使学者们万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学产生了研究雪崩动态机制与网络结构之间关系的动机。文献［２９４］中的纤维束模型∽９５’２９６１将无标度网络作为概念框架对相继故障进行建模。模型中，系统受到外部压力（载荷）。一些指标的变化表明系统呈现出一种类似于临界点的特性，这个临界点依赖于潜在的网络结构和节点容量的异质性。更为重要的是，其结果表明为了防止无标度网络的崩溃，我们不得不找到满足两个因素的最佳判据：在重复故障的情况下系统自身的鲁棒性和预知系统接近崩溃的可能性。文献［２９７］讨论的模型实质上和文献［２９４］讨论的模型相似，但是也有一些重要的不同之处。首先，其演化规则是在边上进行的而不是在顶点上进行的。其次，在一种情况下（文献［２９７］）雪崩现象有一些晶核点，而文献［２９４］中晶核点总为１，因此破坏过程沿着一个唯一的分枝树（沿着网络的边）进行。这两个模型有两个性质不同的相图：第一个类似于一阶相变，而另外一个显示出二阶相变。文献［２９７］的模型可获得一个既没有自由流又没有宏观阻塞现象的区域。在这个区域里，线路同时故障的数目服从幂律，这与因特网中数据流包的度量是一致的。文献［２９８］中Ｍｏｔｔｅｒ和Ｌａｉ提出了一个关于网络过载级联故障的简单模型。这个模型表明在一个非均匀载荷分布的网络中，少量的高载荷节点也能够触发网络中全局级联故障。它是基于这样一种假设即相关量在节点对之间交换且沿着最短路进行传递。假设在时间ｔ，节点ｉ的载荷等于它的介数ｂｉ（ｔ）［３８，３９，４２，４４］（见第２章第１．２节），每个节点的有限载量被定义为该节点能够处理的最大载荷。这表明假如ｃ．是节点ｉ的载量，那么当ｂ。（￡）≤Ｃｉ时该节点在自由流状态下运行。假定点的载量与其最初载荷成比例：Ｃ。＝理·ｂ；（ｔ＝０），Ｖ。＝１，２，…，Ⅳ，其中ｄ≥１是网络的耐受性参数。Ｏｔ≥１的条件保证了在ｔ＝０时，没有一个节点是过载的，因此系统保持正常工作。少部分节点甚至单个节点的去除（模拟因特网路由器或者变电所的崩溃时）将使整个网络产生了流的重新分配的动力学。事实上，这种去除改变了节点间的最短路，继而改变了载荷的分配，因此造成某些节点的过载。所有的过载节点被同时从网络中去除，这又再一次导致载荷的重新分配及随后的过载现象。新的过载节点被去除，然后是网络中载荷的重新分配，这样一直到某一时刻ｔ’，所有的剩余节点满足条件ｂ；（ｔ’）≤Ｃｉ。可用最后网络中的巨组元Ｇ的相对大小来测量级联故障所造成的破坏。图３．２展示了在人工构造的均匀图和无标度拓扑中把巨组元的大小作为耐受性参数Ｏｔ的函数的模型结果。对于均匀网络，当Ｏｔ小到０．０５时，无论是随机故障还是蓄意攻击均不发生级联故障。对于非均匀网络，在同样的Ｏｔ值下，对关键节点的攻击可触发级联故障并使巨组元的规模减到不足原规模的１０％，见内图。从这个角度来说均匀网络比非均匀网络更易抵制级联故障。因为非均匀网络中单一部分的损坏原则上有可能触发全局的级联故障，需要解决的最基本问题是防止级联故障传播至整个网络的可能防护策略。为了减少由于最初损坏所引起的级联故障的规模，通常唯一的操作是进一步删除节点和边。事实上，其它的一些防护方法例如重连一些边或者额外加一些新节点和新边，都可能包含额外的费用且比现有的方法用的时间更长。文献［２９９］中Ｍｏｔｔｅｒ提出了一种有效防护策略：在最初的攻击或者故障发生之后且在级联故障能够传播之前选择可进一步删除的节点和边。其主要结论是通过故意去除小载荷的节点和具有大量过载的边，级联故障的规模能够极大地减少旧９９。。尽管任何去除会增加对网络的直接破坏，但防护后Ｇ的规模明显地大于没有防护的情况。文献［５０，３００］Ｃｒｕｃｉｔｔｉ等人提出了一种前面模型的变异模型，在该模型中，不是将过载的节点永久地去除，而是通过减弱这些节点的通讯能力来避免相关量的流（信息或者能量）从这些节点通过。从这个角度来说，这种模型可被作为通讯网络的阻塞模型。这个模型假设网络用一个加权图来描述。边ｉ一．『的权Ｗｉ，是（０，１）之间的一个值，用于测量沿该边的通讯效率。例如，在因特网中，较小的权值意味着节点ｉ和，之间单位信息包的有向交换所花费的时间较长。在ｔ＝０时刻，所有边的权值都设置为１，这意味着所有的传输线都工作正常而且是等价的。模型动力学从一个节点的去除开始：它改变了节点间的最有效路径（最短的路径），从而改变了载荷的分布，最后造成一些节点的过载。过载的节点没有被去除，相反在每一时刻ｔ＞０过载节点ｉ的权值按照下式更新：万方数据复杂系统与复杂性科学２００６年１２月啪＋１）：ｐ∞’前订玩。卜ＤＷ；，（０）ｉｆｖ『∈Ⅳ。（３．３７）ｂ。（ｔ）≤Ｃ。即所有通过节点ｉ的边的效率都减少了，以致最后网络流将选择另外一条路传输。级联故障所造成的损坏程度由第２章第１．２节定义的网络效率的减少来量化。图３．３说明的是当系统被放宽至静态后，网络的效率值作为耐受性参数ｄ的函数的情况。该图中考虑了随机和基于载荷去除的两种不同触发策略的情况，比较了ＥＲ随机图和ＢＡ无标度网络之间情况。我们发现无论是随机图还是无标度网络对于小耐受性参数仅，网络的效率都是减少的，当ａ的值小于一临界值ｄ，时系统就会崩溃。对于级联故障而言，ＥＲ随机图比ＢＡ无标度图显示出了更强的抵抗能力，这与文献［２９８］的发现是相同的。在两种情形中，基于载荷去除比随机去除的网络崩溃跃迁更明显。图中显示了随机选择节点（正方形）或者载荷最高节点（圆形）或者最大度节点（星号）的去除所激发的级联故障。在主图中考虑的是节点数Ｎ＝５０００的均匀网络（所有的度数ｋ＝３的随机图），而在插图中考虑的是同样规模的非均匀网络（平均度等于３的无标度网络）。图３．２该图考虑在节点数Ｎ＝２０００、度数ｋ＝１００００的ＥＲ随机图和ＢＡ无标度网络中随机选择节点（正方形）或者载荷最高节点（圆形）的去除所激发的级联故障，并把网络的最终效率Ｅ作为耐受性参数“的函数的情况。图（ａ）为ＥＲ随机图中的级联故障（随机选择节点的去除所触发的曲线是１０个同样方法得到的平均值），图（ｂ）为ＢＡ无标度网络中的级联故障。图３．３Ｍｏｔｔｅｒ等人¨”１在级联故障模型中把最大连接组元的规模作为耐受性参数的函数的结果Ｃｒｕｃｉｔｔｉ等人旧叫的级联故障模型在网络的稳定性中网络的异质性扮演着重要的角色。ＥＲ随机图具有指数的载荷分布，而ＢＡ网络则展示节点载荷的幂律分布Ｈ…。这使ＢＡ无标度网络对随机去除和基于载荷去除呈现出很大的不同。事实上，极少数具有极大初始载荷的节点比其它节点（网络中的大多数节点）更有可能会触发级联故障。图３．３ｂ表明存在一个大的耐受性参数区间１．１≤口≤１．３，在这个区域内，无标度网络对于随机去除是稳定的，而对于基于载荷的去除是不稳定的。如果节点在超过标准载荷３０％（ａ＝１．３）的情况下仍能工作，通常说网络在节点故障的初始冲击时是非常稳定的。这就意味着，在大多数情况下系统对于故障能够很好地耐受和再吸收。然而，仍然有一个有限的小概率使得网络故障触发毁坏整个网络雪崩机制。文献［３０１］中Ｋｉｎｎｙ等人用Ｃｒｕｃｉｔｔｉ等人的模型模拟了北美电力网的相继故障。北美的电力网是一个真正的大电路，也是现今最大、最复杂的系统之一。由于经济和政治的原因，该网以一个极其连通的方式生长：不同的公用事业在不断增长的距离范围内可以买卖电能以利用电力企业的成本差价获取利润＂０２’”“。不幸的是，使电力在数百英里范围内进行传递的能力，同样能够使局部故障传播到全局∞０４’３０５１。文献采用的数据库包含了北美电力网的每个电厂、主要变电所和１１５—７６５ＫＶ输电线的信息旧２５｜。重构的网络包含Ｎ＝１４０９９个变电所和Ｋ＝１９６５７根输电线。其中变电所被分为三组：发电变电所组，其成员生产可供分配的电力；输电万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学·６１·变电所组，其成员通过高压线传输电力；配电所组，其成员将电力分配给小的、局部的电网。图３．４显示在超过临界耐受性值１．４时，最大载荷的变压器或者发电变电所的去除几乎对整个网络的效率没有影响。然而，在临界值以下的耐受性值可能使得整个网络的全局效率减少２０％以上。对于随机去除，在两个图中其临界值接近１．８。这些结果清楚地表明在系统中高载荷节点的损失比随机节点的损失具有更高的破坏性。ｏｏ蚤ｈ譬．２｛画岜薹苗Ｚ在随机（三角形）或高载荷（圆形）发电变电所或输电变电所被去除时电力网的全局效翠的变化情况。当变电站的的过载耐受性参数“增加时，最终的效率接近未受到波动的值。通过平均１０—１００个被去除的个体便得到随机破坏曲线。通过分别去除最高载荷的发电变电所和输电变电所，便得到纂于载荷的破坏曲线ａ图３．４北美龟力两的根缝故障建横‘蛳１·：ｌ由于电力网的高度相互连接，前面的模型对研究复杂和反效果具有一般性的指导作用，但是用于对真实断电的建模还是太简单。文献［３０６］中Ｃａｒｒｅｒａｓ等人对级联故障停电提出了更加现实的模型，在该模型中网络节点用一个输入功率Ｐ。来刻画，Ｐｉ对于发电站来说是正值丽对于用户来说是负值，每个连接节点ｉ和＿『的边用通过它们间的能量流Ｗｉ和阻抗彳；ｉ来刻画。通过解直流能＿薰流方程可计算网络的能量流。这是标准的分析电能传输系统的方法”０７］，它等同于锯电路中电压和电流这样的普通问题的线性化方案。将每一个发电站赋予其所能够提供的最大功率Ｐ■，将每根电线赋予所能忍受的最大能量流删；“可模拟级联故障。当在方程的解中发现一根过载电线（训；，＞训；“），则电线的阻抗用一个大数相乘，相应地埘；“被另外一个大数相除，因此实际上没有能量流通过该电线。这个模型允许在载荷功率需求增加时检测级联故障，并确定两种类型的临界点：一种是传输电线的流量极限，另一种是发电能力极限。特别地，在停电规模的概率分布中发现在临界点附近工作时能够产生幂律尾部，这与对北美１５年的停电数据分析所发现的结果旧９１’２９２１是类似的。文献［３０６］只考虑了在理想的情况（比如树形网络）的情形和有少量节点（～１００）的真实网络。对于大的网络以及网络的拓扑对模型动力学的影响仍然没有被研究。前面对于过载故障造成雪崩的建模方法都以固定网络作为起点。更让人感兴趣的则是随时间演化的网络中的过载故障问题。事实上，随着网络结构的改变，网络的载荷将重新分布，假如这些没有被考虑的话，这可能触发一个顶点破坏雪崩。Ｈｏｌｍｅ等人提出了在演化网络中顶点口驯或者边旧８７１的载荷的改变触发故障的模型。该模型的结果表明存在级联故障，而且当网络按照偏好连接而不是随机连接生长时，级联故障更加严重。Ｗａｎｇ和Ｘｕ在文献［３０８］中采用了不同的策略，并在耦合映象格子（ＣＭＬ）∞０９１中研究了级联故障。作者们基于混沌耦合逻辑映象和故障临界机制提出了一种模型，研究了包括全局耦合、小世界和无标度耦合等不同的耦合拓扑。当单一节点上的外界扰动的幅值超过给定临界值时，单一节点的故障足以触发整个网络的崩溃。此外，他们还发现全局耦合映象格子（ＣＭＬ）的临界值比小世界或无标度耦合映象格子（ＣＭＬ）的临界值大得多。这意味着小世界和无标度网络比全局耦合网络更容易发生相继故障。同样在社会、经济¨１０１和生物口１１１系统中也存在大的级联故障。文献［３１２］提出了一个生物演化的自组万方数据复杂系统与复杂性科学２００６年１２月织临界模型（Ｂａｋ－Ｓｎｅｐｐｅｎ模型），并在无标度拓扑中研究了该模型，发现该系统在热力学极限内达到一个没有临界障碍的稳定状态，这与从规则网格或指数图的研究中发现的结果是相反的。文献［３１５—３１７］对复杂拓扑的其它一些自组织临界＂”１模型进行了研究。文献［３１１］中Ｗａｔｔｓ模拟了社会系统中的级联故障，表明在社会系统中级联故障表现为集体行动，比如文化嗜好或时尚和革新的扩散。这个模型属于含有外部效应的双值决策＂１８１问题类型，它可被应用到所有的这些情形中，即包含在决策中的因素有很多，但决策本身可被认为是二元的。模型考虑了一个含有Ⅳ个节点（代理）网络，在该网络中每一个节点观察自己ｋ个邻居的当前状态（是０或１），假如至少有临界比例为咖的邻居节点处于状态１，那么该节点的状态为１。为了给级联故障动力学建模，所有节点初始状态是０状态，且在ｔ＝０时刻一小部分顶点Ｎ．《Ｎ受到扰动使得它们的状态变为１。网络在连续的时间步内演化，所有的节点按照上述的临界规则按随机选择的次序更新它们的状态。一个节点的状态一旦变为ｌ，那么在动力学持续时间内它将保持状态１。考虑到在作决策的代理中由于知识、偏好和观察能力的差异，个体的临界值和邻居的个数ｋ都是异质的。每一个代理被分配一个临界值，该临界值是服从定义在单位区间上的分布厂（咖）的。该模型考虑了给定概率ｐ（ｋ）和平均度（蠡）的随机图。结果表明异质性起的作用不明显。实际上，系统越具有临界异质性，其对级联故障越脆弱。然而度分布越不均匀，系统对于级联故障越稳健。３．２．２通讯网络中的拥塞阻塞现象在因特网中是常见的，因特网中流量改道绕过不能正常工作的路由器，最后导致其它不能够处理额外流量的路由器因过载而雪崩。这种重新分布的机制能够导致拥塞并使整个系统的性能大幅度下降。Ｏｈｉｒａ和Ｓａｗａｔａ蹲提出了＂”。计算机网络流量的基本模型，该模型把相变作为数据包生成速率的函数，展示了网络从自由流量到拥塞状态的相变。模型考虑了两种类型的节点：一类是主机，它能够产生和接受信息；另一类是路由器，它仅仅能够储存和转发信息。在每一时间步，创建Ｐ个数据包，每个数据包被放置在一个随机的主机节点ｓ（源），且被分配一个随机的目的地址ｔ（目标）。路由器能够对无限数量的数据包进行排队。在每一时间步，每个节点获得自己队伍最前面的数据包（这种类型的排队被称为“先人先出”简写为ＦＩＦＯ），然后决定哪一条输出边更适合将数据包传送到目的地。路由策略是基于最短路的：数据包沿最短路从一个路由器传送到另一个路由器，直到到达它们的目的地。假如存在候选节点超过一个时，那么就有两种可能。在所谓的确定性路由中，拥塞小的节点（到目前为止该节点传送的数据包数最少）被选作下一个节点。在概率路由中，则存在将数据包传送给最拥塞节点的可能。作者们研究了简单二维网格的网络结构并将主机设在网格的边界上。作为Ｐ的函数，相变显示出到拥塞状态的突然过渡，在这里拥塞用数据包的平均传输时间来计算。有关的结果是，相变点Ｐ，依赖于所采用的路由策略。尤其是，路径选择上的适当随机性能够转移通讯流的拥塞，因此允许网络中容纳更多的数据包。Ｏｈｉｒａ和Ｓａｗａｔａｒｉ提出的模型已被以不同的方式进行了推广，例如考虑主机和路由器的随机位置∞２２。或合并数据包的生成速率∞２３１，而这些数据包的生成速率是由每个节点所能感觉到的局部拥塞来调节的。尤其是，在文献［３２３］中Ｖａｌｖｅｒｄｅ和Ｓ０１６证明了作为流量拥塞和数据包释放的反馈结果，系统在相变ｆ临界点上进行了自组织。相关量（比如拥塞持续时间）的大幅度波动也证实了这一点。最近的一项研究显示因特网的波动是系统内部动力学演化的结果而不是由于外部源的高度变化口２４。，这也证明了自组织现象的存在。作者们还在另一文献［３２５］中对一个真实的因特网（文献［２３０］中的因特网）拓扑进行了研究，结果表明路由规则和网络结构的特别组合，因特网能够有效地为内部数据包的流自动选择路径。基于最短路的路由决策要求一个全局的知识，而这些知识经常是得不到的。在一些像无标度图这样的复杂拓扑中大部分最短路通过集散节点，而另外一些节点承载减少的流量Ｈ２｜，因此沿短路传输也可能造成不方便的排队拥塞。一种可能的方法是考虑局部传输规则。Ｔａｄｉｃ、Ｒｏｄｇｅｒｓ和Ｔｈｕｒｎｅｒ研究了数据包的随机传播（ＲＤ），提出了一个称为循环搜索（ｃｙｃｌｉｃｓｅａｒｃｈＣＳ）的改进局部搜索方法∞２””“。在ＲＤ中，数据包从当前节点ｉ传递到其任意一个邻居节点的概率是相同的，而ｃＳ路由是基于搜索节点ｉ的最近和次最近邻居以找到万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学数据包的目标节点。假如发现目标节点，那么数据包将被转移或前传到目标节点；假如原始节点ｉ到目标节点ｔ的距离大于２，那么采纳一个随机扩散步。与Ｏｈｉｒａ和Ｓａｗａｔａｒｉ的模型不同的是，若在被选的邻居节点上，当前的队列规模（数据包的数目）低于允许的最大缓冲规模Ｂ，数据包才能被处理；否则，它将等待下一个被处理的机会。不仅ＦＩＦＯ队列，“后进先出”（ＬＩＦＯ）队列也被考虑在内。作者们将这个模型应用到各种网络结构：无标度树、随机生长树和所谓的网图即按照文献［１５６］动态规则生长的有向图。他们研究了随网络拓扑变化的主要动力学特性（网络载荷的时间序列、传播和等待时间的统计结果），数据包的创建速率Ｐ和所采纳的排队类型。对于远低于阻塞跃迁值的小Ｐ值，网络流量是静态的，数据包的传递时间服从幂律分布，这与不规则的超扩散过程是一致的，也与在因特网流量＂”。中凭经验所观察到的数据包传输时间的宽分布是一致的。幂指数依赖于图的拓扑和路由算法，但是独立于数据包的创建速率Ｐ和采用的排队类型（对于接近阻塞值的较大Ｐ值，排队类型扮演更加重要的角色，此时数据包等待时间增加）。与ＲＤ相比，ＣＳ路由提高了传输效率。然而，网络拓扑对其结果起决定性的作用：对于像网图这样较高组织、复杂性的网络可从高级路由算法中获得更多的利益∞２７｜。系统在大的Ｐ值范围内处于稳定状态，然而当达到阻塞之前的一个临界创建速率Ｐ，时，网络载荷发生了大的变化，产生类似于危机的现象。文献［３３０］中Ｔａｄｉｃ和Ｔｈｕｒｎｅｒ关注如何提高结构极其复杂的无标度网络的传输效率，以预先给定的信息范围ｒ（ｒ＞１）对节点周围进行局部搜索从而路由（ｒ＝０对应于ＲＤ，ｒ＝１对应于ｃｓ）。文献［３２０，３３１—３３３］提出考虑节点拥塞的路由机制。数据包沿着最短路从它们的原始节点ｓ传输到它们的目的节点￡。在每一时问步，每一个数据包从当前的位置ｉ以概率ｑ。，沿路．『移动到下一个节点，这被称为通路属性，并且根据两个节点的容量ｑ；和ｑｊ将其定义为：ｑ。，＝．／ｑ；ｇｉ。因此，通路属性是所包含的两个节点容量的几何平均，故而当其中的一个节点的容量为０时，该通路不能工作。高品质（ｑｉｉ一１）意味着数据包很容易传递，而低品质（ｑ。一０）则意味着数据包从一个节点跳到下一个节点需要很长时间。假设ｑ；＝八ｎ。），即节点ｉ的容量是目前节点ｉ上数据包个数ｎ。的函数。模型考虑了当／／，＝０时八ｎ）＝１，及当ｎ＝１，２，３…，且ｆ≥０时以ｎ）＝凡≮的一般函数。孝＞１（亭＜１）时，数据包的传送数量随数据包的累积数量而减少（增加）。孝＝１时，数据包的传送数量独立于累积数量的。在一维、二维网格和柯西树中，只有在亭＝１时才发现一个到拥塞的临界过渡，但是对于亭＞１到拥塞的过渡是非连续的，此时拥塞核出现。文献［３３４—３３７，１３８］讨论了网络拓扑在通讯网络的拥塞中所扮演的重要角色。Ｔｏｒｏｃｚｋａｉ等人比较了随机和无标度基底生成的梯度网络（见第２章第３．４节）中的拥塞现象，发现由无标度基底生成的网络不倾向于阻塞¨”’”…。Ｈｏｌｍｅ用简单粒子跳跃模型口”１研究了交通流中的节点介数与拥塞间之间的关系。Ｅｃｈｅｎｉｑｕｅ等人证明了聚集系数和度度相关性等局部性质对感知交通模型的性能有着重要的影响∞”，３３“。后来的作者们还考虑了一个更加详细的路由策略，这些路由策略自身也值得详细分析。我们假设节点ｉ拥有一个数据包，其目的地是节点ｆ。每一时间步，该数据包从节点ｉ传递到邻居节点，，使节点，到目标节点ｔ的有效距离减到最小，定义如下：６ｊ＝ｈｄｉ＋（１一ｈ）ｎｊ，Ｊ＝１，…，ｋ。（３．３８）式中ｄｉ是数据包通过节点ｉ时，在节点ｉ和节点ｔ之问最短路径长度上的变化量；ｎｊ为节点，的队列中数据包的数目；ｈ是传递算法中考虑交通意识程度的一可调参数。当ｈ＝１时，该模型恢复到通常的最短路协议，这类似于实际因特网路由机制；然而当＾≠１时，是交通感知方案，它允许通过较长但不拥塞的路传送数据包’３”。。文献［３３５］考虑了其他可能的策略。在每一时间步，系统中引入Ｐ个数据包，而且队列是无限容量的ＦＩＦＯ。图３．５展示了自治系统水平下的实际因特网的结果，该因特网是是一个网络规模Ｎ＝１１１７４且７＝２．２的无标度网络旧”。。在每一时间步￡，对于不同的Ｐ和ｈ值，记录了没有到达目的地的数据包４（ｔ）的数目。对于小数据包创建速率Ｐ而言，两种协议都有稳定状态。在这种状态下，系统能够平衡数据包的人流和数据包到达目的地的流。稳定状态对应于自由万方数据复杂系统与复杂性科学２００６年１２月流相，没有宏观拥塞迹象。当引入的新数据包的速率增加时，情况发生了改变，此时存在一个临界值Ｐ。，当超出该值时系统显出拥塞相。对于标准的协议（图３．５ａ中虚线），当Ｐ＞Ｐ。时，Ａ（ｔ）随时间线性增长。反之，对于交通感知算法，Ａ（ｔ）在短时间内增长缓慢，然后随着时间的进行它变得陡峭，而且斜率为一常数（图３．５ｃ）。系统从自由相到拥塞相的相变通过序参量Ｐ来刻画，Ｐ＝ｌｉｍ（Ａ（ｔ＋ｒ）一Ａ（ｔ））／ｒｐ，其中－『为观测时间。Ｐ是在时间窗口ｒ期问出流和人流数据包的比例。当没有数据包到达其目的地时Ｐ＝０；当到达均衡即稳定状态时，Ｐ＝１。４３２×一ｉ１Ｏ图（ａ）和（ｂ）对应于标准协议，而图（ｃ）和（ｄ）是在ｈ＝０．８５的交通感知路由中获得的。每个图中的连续线代表Ｐ的亚临界值（（ａ）和（ｂ）中Ｐ＝３．０，（ｄ）中Ｐ＝８．０），虚线对应于Ｐ＞Ｐ。（（ａ）和（ｂ）中Ｐ＝４．０，（ｃ）和（ｄ）中Ｐ＝１３．０）。图３．５Ｅｃｈｅｎｉｑｕｅ等人‘“１在数据包的稳定输入时，把活动数据包的总数目作为时间步函数的情况图３．６展示的是系统相图。两种协议中的系统动力学都由一个临界点来刻画，超过该临界点时系统出现宏观拥塞现象。然而，在交通拥塞开始时，出现了两种根本不同的行为。在标准协议（ｈ＝１）中，Ｉ临界点小，Ｐ，＝３，且拥塞跃迁和二阶相变是一致的。相反，当ｈ≠１时临界点Ｐ，一９明显大于ｈ＝１时的值，但是拥塞相的出现是和一阶相变一致的，且在变迁点Ｐ有一个急剧的跳跃。此外，若ｈ≠１，第二种协议的相变次序是独立于ｈ的。上面所显示的结果表明在网络系统中的流量动力学是丰富的，而且为探索其它算法提供了指导。最后，我们注意到学者们还提出了通讯网络中其它的把序参量ｐ作为Ｐ的函数的情形。注意到ｈ＝１对应不同拥塞模型（如文献［３３７—３４０］）。４于标准的交通感知缺失策略。当考虑交通条件时，拥塞跃迁便与一阶相变是一致的，且临界点右移。传播过程复杂拓扑中的元胞自动机是用每一网络节点代图３．６Ｅｃｈｅｎｉｑｕｅ等人ｍ６３模型的拥塞跃迁表一个代理系统，代理可处于有限个状态中的一个状态。时间是离散的，而且在每一时间步，网络中的每个代万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学理的下一时问状态是其当前状态和其邻居的当前状态的函数。元胞自动机是由ＶｏｎＮｅｕｍａｎｎ在２０世纪４０年代提出的作为研究复制过程的框架［３４１Ｉ。目前，元胞自动机被认为是复杂系统中最简单的接近正则形式的表达方法∞４“。本章我们将考虑用元胞自动机来描述传播过程。具体地，第４章第２节我们将讨论传染病传播，第４章第２节我们将讨论谣言扩散模型。这两种类型的传播过程从根本上是不同的。传染病传播的研究是有关人群中特定传染疾病的传播建模，其目的是重现疾病的实际动力学、设计一些策略来控制或尽可能地根除传染病。与此不同的是，在谣言的传播中希望谣言尽可能快而有效地传播，而不是去阻止它传播。实际的例子是因特网中数据传播协议的设计，或者营销活动的策略设计。与传染疾病传播相比，在这种情况下，为了得到所期望的结果你可以自由设计动力学规则。本章中我们的注意力集中在网络拓扑在决定传播过程的模式和速率中的作用。我们将证明把复杂拓扑包含在标准的传染病和谣言模型将从根本上改变前面用随机图和规则网格建立的模型结果。４．１传染病传播传染病学模型的研究是一个极其重要的问题，它在很久以前就引起了传染病学家的注意。从２０世纪中期开始，对数学传染病学的研究呈指数生长，已建立了大量的各种各样的模型，并进行了数学分析以及应用到研究领域∞４””“。传染病学的建模已经被用于计划、实施和评估各种预防、治疗以及控制程序。另一方面，当有人指出传染病的传播过程可以被看作是逾渗过程时，物理学家也开始对这类模型感兴趣Ⅲ８】。最近，在Ｐａｓｔｏｒ。Ｓａｔｏｒｒａｓ和Ｖｅｓｐｉｇｎａｎｉ心５１’２５２１的研究之后出现了大量的研究试图理解网络拓扑对疾病传播的模式和速率的影响。在此，我们讨论两类描述在感染者和健康者之间通过接触的疾病传播模型：易被感染一被感染一被去除（ＳＩＲ）和易被感染一被感染一易被感染（ＳＩＳ）模型。文献［３４４—３４７，３４９］可以发现不同的模型以及模型的推广。研究传染病传播的理论方法是基于分割模型，也就是在模型中将人群中的个体分为不同的组”∽３４ＳＩＲ模型描述那些导致被感染人免疫或者死亡的疾病，假设每人处于３种状态中的一种：易被感染（用ｓ表示）、被感染（用Ｉ表示）或者已被去除（用Ｒ表示）。易被感染的人是一些健康的人，但是假如他们被暴露给被感染的人的话，他们将可能染上疾病。一旦一个人染上疾病他将移到被感染（传染）类，然后，过一段时间他将移到已被去除类。术语已被去除（Ｒｅｍｏｖｅｄ）表明该个体不能够再被感染疾病（或传递疾病），因为该个体对该疾病具有免疫（或死亡）。模型基于两个参数：疾病传递率Ａ和康复率肛。个体在生活在给定网络的节点上，传染以速率Ａ通过邻居感染而进行，ｓ（ｉ）＋，（ｉ）ｊ■，（ｉ）＋，（歹）（式中ｉ和歹是两邻居），康复以速率ｐ进行，（４．１）砌）ｊ■Ｒ（ｉ）（４．２）不是所有的疾病都使幸存者具有免疫力，因此单一个体有可能不止一次感染同样的疾病。典型的例子是结核病和淋病，或者在没有自动更新的防病毒程序系统中的计算机病毒旧５１’２５２。。用ＳＩＳ模型能够很好地描述所有的这些情况，该模型仅仅包括两种状态：易被感染（用Ｓ表示）和被感染（用Ｉ表示）。在ＳＩＳ模型中，易感个体被感染后处于被感染／感染状态，经过一段时间康复后又处于易被感染状态，最后他们再一次暴露给传染病。ＳＩＳ模型的传染过程和方程（４．１）相同，而方程（４．２）必须用如下过程替换：刖）』■．ｓ（ｉ）最初引入传染病种子到易被感染的人群中，然后这两个模型则有着根本不同的动力学。事实上，当传染病通过人群传播时，由于易被感染的人减少，ＳＩＲ模型中传染病在一个封闭的人群中长时间存在是不可能的。相反，ＳＩＳ模型是一个地方性疾病的模型：同一人可能被感染很多次，因此疾病能够无限期地存在，并在人群中循环。从而，在这两种情况下所用的变量是不同的。就像我们将在下面看到的一样，ＳＩＲ模型感兴趣的是疾病降为消失后感染人群的百分比（相对于总的易感人群）。当然，无论最初的传染病种子（通常是一个被万方数据·６６·复杂系统与复杂性科学２００６年１２月感染个体）能否导致一个无限的传染（也就是大量的人群受到感染）依赖于参数Ａ和肛，更具体一些依赖于系数矿＝Ａ饥。特别地，我们希望找到传染相变的点，也就是系数盯的临界值（盯＝仃。），盯＜盯。时不存在无限传染是可能的，而对于盯＞仃，时无限传染以一定概率出现。在ＳＩＳ模型中与ＳＩＲ传染相变类似的是临界值盯，，它是介于疾病存在和不存在的参数值之间的边界。尽管有上面提到的差异，最近的研究表明在复杂拓扑之上ＳＩＳ和ＳＩＲ模型的行为在临界点的存在和相变的本质上是相同的。例如，在两个模型中传染病的传播在无标度网络上都得到极大的加强。正因为如此，在此我们将主要关注ＳＩＲ模型。４．１．１均匀混合假设在最初的近似中，ＳＩＲ和ＳＩＳ模型都是在均匀混合假设条件下考虑的¨川，这就意味着一个易感个体所接触到的个体是从整个人群中随机选择的。这是一个重要而又不可靠的假设，因为所有的局部细节都被均化了，例如地理的位置、个体的习惯以及社区结构的存在。另一方面，它允许把不同类别个体密度描写成普通微分方程组的系统形式。例如，在均匀混合假设条件下ＳＩＲ模型便简化为＂４３’３４４３掣掣：一ＡＩｐ（‘）ｓ（￡）掣兰＝一即（￡）＋Ａ如（ｔ）ｓ（￡）（４．３）掣＝即㈤式中ｓ（ｔ），Ｐ（ｔ），ｒ（ｔ）分别代表在时间￡时易感者、被感染者和被去除者的密度（也就是比例），因为假设在时间ｔ时正规化条件ｓ（￡）＋Ｐ（ｔ）＋ｒ（ｔ）＝１，因此其中有一个方程是冗余的。系统（４．３）可以解释如下：被感染个体以速率肛衰减而变为被去除类，与此同时易感个体以正比于被感染和易感个体密度的速率变成被感染个体。这里五是单位时间接触的次数，对于整个人群（均匀混合）而言它被假设为常数。注意到Ａ和肛是两个固定常数，因此个体对之问的传递速率和感染持续时间（１他）是不允许异质的。该模型另外一个隐含的假设是疾病的时间跨度比个体的寿命要小得多；从而个体的出生和自然死亡不包括在方程中。方程（４．３）最有意义的预测是存在一个非零传染临界Ａ。¨４引。假如Ａ＞Ａ。时，疾病将传播，从而感染一个有限比例的人群。另一方面，当Ａ＜Ａ，时，在非常大群体的限制条件下（所谓的热力学的极限∞５０１），被感染个体（所谓的传染发生率，定义为ｒ。＝ｌｉｍｒ（ｔ））的总量无限的小。该结果的推导很简单。我们考虑一个初始条件ｓ（０）一１，Ｐ（０）一０，ｒ（０）＝０，也就是被感染个体的初始密度非常小，不失一般性我们设定肛＝１。将方程（４．３）中用一式除以三式，为了消掉Ｐ（ｔ），然后以初始条件进行积分，就可以得到ｓ（ｔ）＝ｅ“打¨’，和下面的传染发生率的自恰方程：ｒ。＝１一ｅ“ｈ”（４．４）然而ｒ。＝０一直是该方程的一个解，为了有一个非零解，必须实现下列条件：击（１玎庸。）＞１（Ａ＜Ａ，），该值在临界值之上。（４．５）这个条件等同于约束Ａ＞Ａ。，而且传染临界为Ａ。＝南～。在Ａ—Ａ。处利用泰勒展开，可以证明ｒ。一在相变的物理语言中∽４’３５州，临界机制完全等同于一个临界点。事实上，类似于临界现象，ｒ。可被认为是相变的序参量，ｒ为调和参数。上面的公式定义了一种相变临界指数也就是卢，描述在Ａ。附近把ｒ。作为Ａ的函数的状态。在均匀混合假设条件下，我们假设传染者和易感者的接触率是一个常数，而且独立于任何可能的非均匀源。所得到的数值（口＝１）告诉我们均匀混合假设模型真正地等同于模型的均场处理。同样值得注意的是传染临界与最基本的复制率勿。有关，这也通常被传染病学家所考虑＂批”１’３５２｜。舅。被定义为当一个被感染个体被引入到易感者人群中时，所产生的第二传染者的平均数。很明显，只有当万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学舅。＞１时，传染病才可能持续。在均匀混合的情况下，基本复制率为舅。＝Ａｔｚ～ｋ，当舅。＞１时很明显定义传染临界率为Ａ。＝础。‘３４６，”２｜。４．１．２无关联网络均匀混合假设是进行理论和详细研究如包括个体老化类”４４１的良好开端。然而，数据测试证实需考虑的关键因素是网络拓扑。例如，性传播疾病若忽略了其传播空间结构的重要性以及在整个人群中性活动的度的异质性＂４４＇”１’３５引，大多数性病就不能被搞清楚。为了处理那些没有完全混合的群体，我们会很自然地将个体看作规则网格或任何类型图中的节点，以此代表传递网络。在这种情况下，疾病在互为邻居（也就是直接有边相连）的被感染节点和易感节点之间通过接触进行传播。正如Ｇｒａｓｓｂｅｒｇｅｒ在文献［３４８］中证实的一样，在给定网络的ＳＩＲ模型中，单个被感染节点能否导致无限传染问题可被描述成相同网络中的逾渗问题６事实上，一个无限传染发生的概率正好等同于最初被感染节点属于一个无限集团的几率。方程（４．１）一（４．２）定义的ＳＩＲ模型既不符合点逾渗也不符合边逾渗心８１。。方程（４．２）意味着传染个体保持传染的时间服从具有均值Ｔ＝ｌ仙的指数分布。若假设生病时间都等于ｒ，那么两个普通邻居节点问的传染概率都是独立的，而且等于：Ｐ＝１一ｌｉｒａ（１一Ａ６ｆ）Ⅳ＆＝１一ｅ－Ａ／”（４．６）这正好是在同一网络中的边逾渗问题，Ｐ为未断边的边概率”４８Ｉ。疾病传播和逾渗问的关系能够被扩展到其他模型。例如，文献［３５４，３５５］考虑了Ａ和肛都是独立的随机变量而不是固定值的情况。用逾渗模型描述问题的方法已经在ＳＩＲ模型中被用作规则二维网格临界指数的提取‘３４８’３５４’。由于通过生成函数的形式可解决随机图中的逾渗问题¨２４，２７６。，我们可用逾渗模型推导出具有任意度分布的随机图中传染病的出现和规模大小的精确解＂”。。度分布具有高度倾斜的异质图对于刻匦真实传递网络是特别重要的。例如，由性接触而导致的性疾病传播，人们发现其度分布是服从幂律的”５６’３５７【。正因为如此，我们将详细考虑具有一般度分布Ｐ（ｋ）和一个有限平均度（ｋ）的无相关异质图中ＳＩＲ模型的特性。我们采用文献［２５１，２５２，３５８］中的方法，并以生成函数形式∞５５１作为辅助方法，以期能够给出传染病爆发随时间演化的信息。现在我们对随时间演化的量ｓ。（ｔ），Ｐ。（ｔ）和ｒ。（ｔ）感兴趣，它们分别代表易感、被感染和被去除节点在时间ｔ度数为ｋ时的密度。在时刻ｔ，正规化条件为：ｓ＆（ｔ）＋Ｐ＾（ｔ）＋“（ｔ）＝１（４．７）像传染发生率等全局量用各种连接类的平均值来表示：ｒ。＝１ｉｍ（０），其中ｒ（ｔ）＝＞ＩＰ（后）“（ｔ）。在均场层面上，这些密度满足同方程组（４．３）一样的耦合微分方程组，但是其连接类不同：半＝一Ａｋｓ。（ｔ）Ｄ（ｔ）ｄｓ．ｒｔ、ｔ翌里：一（）＋ＡｋｓｋＰｋＬ———Ｆ—一２一Ｊ＋Ｌ，Ｉ，Ｌ，Ａ／ｃｓｋ（ｔ）９（ｔ）（４．８）＼．ｒ’”７掣确㈤设定肛＝１，因子９（￡）表示任一给定边连接到被感染点的概率，其值由下式给定心５１’２５２。：＠（ｔ）＝上］ｒ＞。ｋｐ（ｋ）Ｐ。（ｔ）射出该边的节点度的。（４·９）在这个近似值中我们忽略了网络中的度的相关性，也就是一条边被连接到一个被感染点的概率是独立于发方程组（４．８）加上初始条件Ｐ。（０）＝Ｐ。ｏ，ｓ（ｋ）＝１一Ｐ。ｏ以及“（０）＝０完全定义了具有度分布ｐ（ｋ）的任何复杂网络的ＳＩＲ模型。特别地，我们将考虑被感染节点具有最初均匀分布的情形，即Ｐ。ｏ＝Ｐｏ。在这种情万方数据复杂系统与复杂性科学２００６年１２月形中，在极限Ｐｏ一０时，我们可以用Ｐ。（０）兰０和ｓ。（０）兰０来代替。在这种近似情况下，方程组（４．８）中的第一个方程便能够直接被积分，得到ｓ。（ｆ）＝ｅ“坤¨’，在此我们定义了辅助方程咖（￡）＝ｆ＠（ｔ’）ｄｔ７＝１／（ｋ）＞’印（ｋ）“（ｔ），在最后的等式中，我们用了定义（４．９）。值得注意的是上述方程所得到的结论与异质人群中的ＨＩＶ动力学模型所得到的结论类似¨５３Ｊ。利用这些方程，可以证明＂５８１在无限时间极限下，也就是在传染病的最后，条件１／＜南）ｙ幻（ｋ）（Ａｋ）＝Ａ（ｋ２）／（ｋ）＞１定义传染临界：卜等（４．１０）在该值之下，传染发生率为零，而在该值之上传染发生率得到一个有限值。方程（４．１０）告诉我们传染临界值与连接波动值（ｋ２）成反比。对于类似逾渗过程也得到同样的结果，而且这也是这些类型的过程缺乏临界值的根源。对于（后２）＜∞的网络，其临界值是一个有限值，因此出现一个标准的相变。另一方面，在度分布高度波动的网络中，例如２＜ｙ≤３的无标度网络，度分布的极大波动意味着随着网络规模的增加，网络的临界值逐步消失，因为当Ⅳ一。。时（ｋ２）－＋∞。对于非均匀网络，基本的复制数．刃。＝Ａ肛‘１（ｋ２）／（ｋ）口４４’３５１。３５引可解释为什么任何本身的传染临界值不存在。无论传播率Ａ为多少，在无标度网络中（ｋ２）的发散导致超过单位值的舅。。这也确保了传染病的不确定存在一个有限概率。历史上，无标度网络中传染临界值的消失最早由Ｐａｓｔｏｒ．Ｓａｔｏｒｒａｓ和Ｖｅｓｐｉｇｎａｎｉ在ＳＩＳ模型中报道的心５１’２５２。。作者们通过利用类似ＳＩＲ模型的动态均场近似方法，理论上推导出传染临界值公式等同于方程（４．１０）。数值上证明是有效的，并且证明无标度网络中被感染节点存活的概率对足够大规模的系统而言是一有限值，甚至对于小的传递速率也成立。而且，它也证明了这不是随机图拓扑的情形，在随机图拓扑中经典的有限临界值仍然存在。基于补充的方法（生成函数形式）所得到结果与文献［３５５］所得到的结果类似。这些方法之间的主要区别在于均场理论方法提供的是传染病爆发随时问的演化规律，而生成函数方法考虑到ＳＩＲ模型的精确解。值得注意的是实际网络总有一个有限规模Ⅳ，因此具有一个依赖于（矗）和（ｋ２）的有效Ｉ晦界值，而它作为Ⅳ的函数能够很容易地被计算出来。然而这种显而易见的临界值不是一个固有的量，而且对于具有足够大规模Ⅳ的系统来讲它是一个非常小的值∽５９’３６０Ｊ。此外，这个临界值比同等规模的随机图要小。文献［３６１，３６２］中作者们研究了无标度网络中的最好免疫策略，结果表明无标度拓扑网络不能获得全局免疫，即使存在不切实际的高密度随机免疫节点也一样。相反地，基于节点度的针对性免疫能够恢复有限临界，可能根除病毒。这些结果为控制和根除性传播疾病（像ＨＩＶ＂圳）而采取的最好公共安全策略提供了重要指导。这里存在的实际问题是性混杂的个体不是总能容易地确定。Ｃｏｈｅｎ等人建议用一个避开该问题的方法，该方法基于对随机选择个体的随机熟人接种＂“Ｊ。这种策略是基于这样一个事实，即通过一条随机选择的边到达一个特定节点的概率与该节点的度成比例（见方程（３．１）），不需要节点度的全局信息，已证明这比随机接种更有效。有关接种的局部策略更详细的内容见文献［３６５］。其他的一些复杂拓扑也已经被考虑。具有高聚集系数的网络，例如那些由无标度模型构造的网络（见第２章第３．５节），显示出有限的传染临界值，即使对于度分布具有发散二阶矩＂”ｏ也是一样的。在这种情况下，有限传染临界值的出现是由于高聚集所激发的，这也阻止了传染病的蔓延。然而，后来在该问题上所引起争论的是该论点在某种程度上被误导，因为具有无标度结构的网络不拥有小世界特性Ⅲ引。动态均场理论方法的最基本假设是给定度类型中的所有节点在统计上被认为是相同的，因此这个结果不能应用到存在距离和时间次序的网络。关于该论题的另外一个值得注意的贡献来自Ｖｏｌｃｈｅｎｋｏｖ等人，他们引入了一个具有无标度特性的且对于任何ｙ＞１和Ａ＞０都能保持疾病传播的模型¨６７｜。这种灵活的模型是由生物网络中普通大规模结构的演万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学·６９·化选择原理所激发的。结果被更复杂的均场近似所分析印证，均场近似过程中包含了度数为ｋ和ｋ’的节点间的连接矩阵＂”。。最后，传染病在加权网络中的传播只是最近才开始被研究心２扎２２４．１．３关联网络ＳＩＲ模型中同配网络没有传染临界值在文献［３６８］中已被数值所证实。作者们引入了一种不需生成网络就可研究疾病在关联图中传播的方法，生成网络是处理人工相关网络时必须首先克服的问题。特别发现，尽管有些重要数值有区别，但是定性行为与无关联网络是相同的。尽管考虑正相关时，传染病爆发的可能性没有改变，但传染发生率比无关联网络要小。大型的社会网络中在中等传播率的情况下可以导致被感染人群的１５％到２０％的差异。除此以外，疾病在同配网络中生存的时间最长。文献［２４，３６９］分析了度相关图中的ＳＩＳ模型。作者们得到了传染临界值Ａ。＝１／Ａ，ｍ。，，Ａ，ｍ。；是矩阵Ｃ么，＝印（ｋ’Ｉｋ）的最大特征值。所采用的方法与第３章第１．３节所介绍的点逾渗方法非常类似，只是Ｃ’川和方程（３．１７）¨”。所定义的Ｃｗ不同而已。事实上，假如Ｙ。是矩阵Ｃ：。，的特征值Ａ’所对应的特征向量，那么Ｙｋ／ｋ是矩阵Ｃ气。，＝ｋ＇ｐ（ｋ’Ｉ七）的同一特征值所对应的特征向量。假如用ｋ’一１代替ｋ’的话，后一个矩阵就是方程（３．１７）的矩阵。然而，就是这种微妙的变化使得ＳＩＳ和点逾渗不同。对于异配图的情形（像方程（３．２６）所定义的）计算矩阵Ｃ０。，的最大特征值，考虑极限（ｋ２）》１便可以得到心８０】：∥…２贲Ｆ丽＞。（１一ｇ。）ｋ２ｐ（ｋ）可Ｈ川式中ｇ。仍然是ｋ的减函数。在这种情况下，不依赖于ｇ。的形式，度分布的二阶矩发散意味着以７…的发散。此外，假如ｇ。是ｋ的增函数的话，可以得到同样的结论。这个结论与在第３章第１．３节中关联网络的点逾渗所得到的结论相反，在那个结论中度分布的二阶矩发散不是随机故障情况下网络具有鲁棒性的充分条件。关联网络中ＳＩＳ模型和点逾渗模型的这个本质不同的根源在于给定被感染节点的密度随时间演化的ＳＩＳ模型中存在额外维度。直接分析ＳＩＳ模型也能够得到同样的结论∞６９Ｊ。４．１．４疾病波动非均衡疾病指的是这些疾病的爆发随时间波动的情形。真实的传染病例子包括绦虫病、天花、水痘、梅毒、登革热都显示出了这种行为。研究疾病爆发波动和随机传染的方法在最近的文献中已被提及（例如见［３７０］），研究指出疾病爆发源自于传染或群体参数的随机扰动。然而，在传染病传播中，拓扑和动态复杂性共存的模型到目前为止还没有被详细地研究过。其中的部分原因是由于个体间相互连接模式的固有复杂性，也由于该问题自身的非线性。文献［３７１，２７２］的工作有些例外。特别地，Ｖａｎｎｕｃｃｈｉ和Ｂｏｃｃａｌｅｔｔｉ研究了传染疾病在个体复杂网络上传播的动力学。３７１１。他们的主要贡献在于在节点的局部行为中引入了一个令人兴奋的动力学。具体地，二维网格中的每一点（ｉ，歹）与两个动态变量联系在一起，一个是激化变量ｕ。，一个是抑制变量Ｕｉ在点（，Ｊ）的局部动力学由标准的ｚＦＨＮ）方程给出：，ｉｉＦｉＨｕｇｈＮａｇｕｍｏ（ｔａｕ—ｊ≯＝一ｕｕ（口一““）（１一“ｉ，，）＋秽ｕ＋ＣｆＪ（４．１２）（４．１３）孥：ｅｕｕａ￡式中口，ｅ是模型的两个参数，拓扑复杂性被包含在网络耦合项Ｃ“中。ＦＨＮ模型的动力学是尽人皆知的：关键是该模型的动态体系与传染状态相联系。这样，当系统处于稳定或静止状态时，一个适当的扰动激起系统动力学。因此，这种静态与传染病学模型中的易感类相联系。第二种状态为完全抵抗疾病的状态，在这种状态下系统实际上对任何大小的扰动都不敏感。因此，这种状态可以与个体在疾病演化过程中不会再被同样的疾病所感染的抵抗状态联系起来。最后，趋于稳定状态的恢复动力学万方数据复杂系统与复杂性科学能够被看作是一个相对能抵抗疾病的状态。值得注意的是，这后面的一种状态对于扰动大于稳定状态下必要值时能够引起另外一个疾病爆发，这能够很好地给刚从最近疾病中康复的个体对同样传染病更具有鲁棒性这个事实建模。作者们报告了可能存在不同的动力学行为，这取决于潜在网络拓扑是一个二维的规则（局部）网络抑或是一个二维的小世界网络。此外，用传染病的空间演化来刻画混沌状态，而在传染病的宏观领域中被感染和易感染个体是共存和相互作用的。４．２谣言传播就像前面讨论的一样，在标准的传染病模型中包含复杂拓扑从根本上改变了前面随机或规则图中所得到的结果。对于传染病学家和那些打击实际计算机病毒的人来说，这可能是坏消息。另一方面，在～些重要的技术和商业应用方面，不是阻止其爆发，而是希望尽可能地快而有效地传播“传染病”。应用的重要例子是Ｉｎｔｅｒｎｅｔ中数据传播和发现资源的传染协议（基于谣言的）一钆”３‘”５Ｉ，以及利用像谣言策略的（病毒营销）营销战。上述应用及其动力学，在研究复杂网络的物理学家群体中几乎没有被注意，尽管它们已经被计算机学家和社会学家广泛地研究过”７５’３７８Ｉ。这里的问题在于设计一个传染（谣言传播）算法，以使数据或者信息从网络中的任何一个节点尽可能多地传播到网络中剩余的节点。与传染模型相比，最主要的不同是你可以自由设计动力学规则来达到你想要的结果，而不是不得不给一个已存在的过程建模。而且，在一些应用中，例如建立在Ｉｎｔｅｒｎｅｔ上的点对点文件共享系统阳州和网格计算”７９｜，为了使得该协议的性能最大化，节点的度分布也能够被改变。标准的谣言传播模型是所谓的ＤＫ模型，它是在几十年前由Ｄａｌｅｙ和Ｋｅｎｄａｌ＂８０ｏ提出的。最近，一些学者阳７６’３７７，３８ｋ３８２１对这个模型进行了研究并在网络拓扑上对其进行了稍微的变动。基本的ＤＫ模型定义如下：网络Ⅳ个元素中的每个元素都可能处于３种可能状态中的一种状态。采用原始术语∞７８］，这３类状态对应于不知情（没有听过谣言的人用Ｉ表示）、扩散器（谣言传播者Ｓ）和窒息（听过谣言但并不传播谣言的人Ｒ）节点。不知情节点是指这些没有听说过谣言的个体，因此它们易被所获悉的信息感染；第２类包含活性个体，它们传播谣言；最后，窒息类是那些知道谣言但不传播的个体。在传染病学模型中，不同状态的时间演化规律除了在创造期间也就是被感染和易感然个体问相互作用期间，仅仅是由个体动力学所决定的，而不依赖于它们邻居的状态。另一方面，谣言动力学是由不同类的个体间直接接触所驱动的。我们将要见到在谣言消灭期间的不同源自于非常不同的定性描述。在每一时间步，模型的动力学由以下转换控制：（４．１４），（ｉ）＋Ｓ（Ｊ）一Ｓ（ｉ）＋Ｓ（ｊ）（４．１５）Ｓ（ｉ）＋Ｓ（ｊ）一Ｒ（ｉ）＋ｓ（ｊ）（４．１６）Ｓ（ｉ）＋Ｒ（Ｊ）一Ｒ（ｉ）＋Ｒ（Ｊ）式中ｉ和Ｊ是两邻居。传播过程通过扩散器和不知情节点间的接触来演化。当一个不知情的节点碰到一个扩＾散器节点时，它自身以概率Ａ变成一个新的扩散器节点。传播的延误可能是由于一个“忘记”过程，或者因为扩散器了解到谣言已经失去了其“新闻价值”。在上述方程组中，我们假设后面的这个假说是最为合理，因此假如它们与另外一个扩散器或窒息节点接触的话，扩散器节点以概率Ｏｔ变为窒息节点。当以这种方式自由设计谣言规则时，最终了解该谣言的群体的比例是最大可能的，该模型也假设扩散器节点与扩散器节点的接触是直接的，也就是仅仅是接触的个体对进一步传播谣言失去兴趣。在均匀混合假设中，ＤＫ模型可根据不知情节点、扩散器节点和窒息节点的比例（分别以ｉ（ｔ），Ｓ（ｔ）和ｒ（￡）来表示）来对其进行描述，将其作为时间的函数。对于这３个比例演化的均场率方程¨埔，粥２。满足下列耦合微分方程组：半＝一Ａ（ｋ）ｉ（ｔ）ｓ（ｔ）Ｊ：／＋、ｄ￡（４．１７）竺半＝Ａ（七）ｉ（ｆ）ｓ（ｔ）～ａ（ｋ）ｓ（ｔ）［ｓ（ｔ）＋ｒ（ｔ）］万方数据工．／＋、（４．１８）第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学竺半＝ａ（ｋ）ｓ（ｔ）［ｓ（ｔ）＋ｒ（ｔ）］（４．１９）初始条件ｉ（ｏ）＝（Ｎ一１）／Ｎ，ｓ（０）＝１／Ｎ以及ｒ（０）＝０。除此之外，我们还有规一化条件ｉ（￡）＋ｓ（ｔ）＋ｒ（ｔ）＝１。第一个方程表明扩散器节点所占比例以正比于传播率Ａ、每一个体接触人群的平均数（忌）、不知情个体和窒息个体所占比例（分别用ｉ（ｔ）和Ｓ（ｔ）表示）的速率增加。另一方面，扩散器个体衰减成为窒息个体，其速率为仅（ｋ）乘以扩散器个体和不知情个体所占比例１一ｉ（ｔ）＝ｓ（ｔ）＋ｒ（ｔ）。微分方程组（４．１７）一（４．１９）所组成的系统在时间趋于无穷和ｓ（∞）＝０时能够解析求解。利用正规化条件和，＝｝ｓ（￡）ｄｔ＝ｌｉｍｒ（ｔ）以及引入新的变量卢＝１＋Ａ／ａ，我们得到超越方程：ｒ。＝１一ｅ节。（４．２０）方程（４．２０）允许有平凡解ｒ。＝０，但是与此同时它对于参数Ａ和ｄ的所有值来讲也有另外的一个物理相关解。因为下述条件这个结论很容易判定：÷（１一ｅ咿。）ｒ。＞１ｒ｜（４．２１）ｄｒ。简化为Ａ／仅＞０。因此，在上述定义的动态规则下的系统行为明显不同于等效的传染病模型的行为（对应于假设传播速率的衰减是独立于ｓ—ｒ和Ｓ—ｓ问的相互作用的），因为当谣言传播过程消失时那些听到谣言的群体所占百分数／一直大于０．８。这种没有“谣言临界值”的情况与传染病传播的情况相反。它们之问的不同不是来自于任何ｓ（ｔ）生长机制的不同（在生长机制上它们实际上是一致的），而是来自于传播过程衰减的不同规则。另一方面，这个结果也指出了谣言传播的数学模型能够以各种不同的方式构造，对于实际的实现¨８１３来说退火算法是最为相关的。对于更为复杂的拓扑，我们不得不依赖于数值模拟。最初，沙（０）＝（Ｎ一１）／Ｎ，咖（０）＝１／Ｎ和ｒ（０）＝０，也就是我们从单个的扩散器个体开始，该个体愿意通过网络传播新内容。在每一时间步，假设它们保持在咖类，咖Ⅳ个扩散器节点中的每个节点随机接触，一直接触到其所有的邻居数。模型的动态规则是并行应用的。其他局部规则也能够被执行。最后，一些感兴趣的量能够用在传染病传播中所采用的方法得到，例如当传播过程消失时那些得到谣言的节点的最终密度ｒ（∞），不同类的瞬时演化量等。然而，通过ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ模拟来研究谣言过程是一个冗长而又麻烦的工作，尤其是当我们为了设计一个有效的谣言传播而探索许多变量时。因此，发展更易处理的数值技术是非常有用的。方法之一是最近文献［３６８］中提出的类似于处理传染病模型中出现的均场速率方程组的数值技术。它通过计算不同转变的传递概率来求解微分方程组。其主要优点是不需要依赖于ＭＣ模拟，因此对于大规模系统的内存要求也不受限制。除此之外，我们不需要生成任何网络。取而代之的是，生成了按照所希望度分布Ｐ（ｋ）的一系列整数。数值化过程由以下几步组成。直到谣言传播过程结束前的每一时间步，执行以下任务：１）从均场速率方程组中确定从一种状态到下一种状态的转移概率，即从ｉ类到ｓ类的Ｗ。和最后到ｒ类的Ｗ…。２）计算一个转移出现的平均时间间隔ｆ。它被确定为所有转移概率的和的倒数；－『＝１／（Ｗ。．。＋Ｗ一）。３）随机决定哪种转移将真正发生。两种转移概率分别由ｌ．＿五：写ｌ＝Ｗ油ｆ和ｌｌ＝Ｗ…ｒ给出，利用生成一个这种数值方法不依赖于产生谣言动力学的网络的拓扑特性。事实上，包括相关性的所有拓扑信息都用于转移概率的计算。具体地说，让我们推导两个不同网络的转移概率，一个是均匀网络，一个是随机无标度网络。对于均匀网络的情况，不考虑节点间的实际连接情况，给定类（ｉ，ｓ或ｒ）的所有元素的转移概率都是相同的。然后，从方程组（４．１７）一（４．１９）我们得到：似。。（ｔ）＝ＮＡ（ｋ）ｉ（ｔ）ｓ（ｔ）（４．２２）万方数据０和１之间的随机数来选择。复杂系统与复杂性科学２００６年１２月ｗ…（ｔ）＝Ｎａ（ｋ）ｓ（ｔ）［ｓ（ｔ）＋ｒ（ｔ）］上述方程分别代表从不知情类到扩散器类的转移以及从扩散器类到窒息类的转移。（４．２３）ＳＦ无标度网络固有的度分布异质性使得有必要考虑节点不仅能够处于３种不同的状态，而它们还能够属于不同的连接类而。用ｉ。（ｔ），ｓ。（ｔ），ｒ。（ｔ）分别代表度数为ｋ的不知情类、扩散器类和窒息类的密度，而且ｉ。（ｔ）＋ｓ。（ｔ）＋ｒ＾（ｔ）＝１，我们有速率方程：掣圳“ｔ）善掣埘ｓ如）善型坐≯掣刊“ｔ）善幽业渺器节点或窒息节点的概率。各自的转移概率（它也依赖于ｋ）为：掣叫砜㈩善掣（４．２４）（４．２５）（４．２６）（４．２７）（４．２８）式中Ｐ（后）是节点的度分布，＞’ｋ＇ｐ（ｋ’）ｓ。，（ｔ）／（ｋ）是任一给定节点指向扩散器节点的概率。我们从一个随机选择的扩散器节点开始，同时其它剩余节点处于不知情类。方程（４．２５）的求和代表一个节点指向一个扩散彬，＋，（ｚ，｜ｊ｝）：ｄｋＮｐ（ｋ）Ｓｋ（￡）∑鱼２１生竺２』！≮≤；掣这里包含了所有的拓扑信息。最后，对于平均时间间隔，在每一时间步我们有：“啪）：ＸｋＮｐ（ｋ）ｉ小）∑盟祟盟＋一瓦Ｗ而ｔ÷瓦西ｔ…（）＋埘…（）接类受影响按上述第３步所述进行。（４·２９）而且埘ｈ（￡）＝∑埘…（￡，庇），删…（￡）＝∑埘…（￡，尼）和ｔ＝∑－。在这点上，确定哪种转移发生以及哪个连谣言传播模型的数值研究已经被应用于通讯网络∞８１’３８２１，在这类网络中，类似传染病的信息的扩散被认为对大的系统规模是有效率的和可测量的。此外，对退火定义的不同可导致不同的结果。这实际上意味着与传染病模型相反，谣言传播过程能够根据具体的应用而被改动。从这一方面看，仍然有许多问题需要强调，例如像相关性的影响和动态重新连接。但是，我们已经知道即使对一个非常差的谣言传播设计，最终窒息节点所占的百分比是一有限值，这不同于传染病学模型。为了优化窒息节点的比例和在传播过程中所投入资源之间的平衡，将来的工作必须优化信息传播。５同步与集体动力学节点耦合大网络中集体动力学和同步动力学的研究开始于２０世纪９０年代初，在不同领域从不同内容上得到了研究，这些领域从生物学、生态学㈣’３８３＇３８４３到半导体激光㈨５。３８８３再到电子电路ｍ９，３９这一章旨在回顾各种用来评估给定网络系统的同步倾向的技术。我们将描述其主要应用，尤其是在耦合构形中选择最佳拓扑来为同步特性提供强化。事实上，这种方法已经为理解一些相关情形定义了一个新的框架，在它们的结构中，动态系统的网络作为时间的函数经历着结构上的突变，或者就像我们将要在第７章第３节见到的一样，它们将作为动态实体进行自身演化。这一章以回顾在复杂网络中已被观察和研究的其他集体动力学为结束。５．１同步导论同步是一个过程，在该过程中许多系统（无论是平衡的还是非平衡的）因适当的耦合构型或者外力而调整其给定的运动特性。该词来源于一个希腊词根（盯ｖ１ＸｐＯＶＯ‘意思是“享受共同的时间”）。万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学历史上，同步现象的研究在物理学的早期就已经非常活跃。事实上，在１７世纪ＣｈｒｉｓｔｉａｎＨｕｙｇｅｎｓ（柯瑞斯坦．惠更斯）已经发现两个挂在同一横梁上的摆钟能够很好地使它们的相振动同步∞…。。其它早期发现同步运动的例子包括萤火虫的闪亮同步和相邻管风琴管子的特性，有些时候，管子几乎能够彼此降低音量直到安静或者发出绝对的同音。最初注意力主要放在周期系统的同步，然而最近同步研究已经转移到了混沌系统∞”。。当混沌元素耦合时，能够发生许多不同的同步现象，从完全的或者一致同步口９３‘３”。到相位同步”９６，３９７。和延迟同步∞９８１、广义同步㈣圯４００ｊ、间歇延迟同步ｍ８，４０１３、不完全相位同步Ⅲ２。和几乎同步ｍ完全同步（或一致同步）是同步的最简单形式，它存在于一致混沌系统轨迹的一个完美连接中。相反，广义同步考虑了不同系统以及把一个系统的输出联合到另一系统输出的给定函数上来。３”’４…ｏ。耦合非一致振子也能够实现相位同步，在这当中生成了一个相位同步，而在振幅中没有一个实质的相关关联∞”。。延迟同步指时间ｔ时一个系统的输出和另外一个系统的输出之间存在一个时间移位丁ｍ‘３”。的不同渐近边界。延迟现象也能够间歇出现，从而导致问歇延迟同步，耦合系统在大多数时间内符合延迟同步条件，但是局部非同步行为的持续爆发可能间歇地影响它们的动力学＂”’４０１ｏ。类似地，不完全相位同步是指在一个相位同步过程中会发生问歇相位滑动””。。最后，几乎同步意味着一个系统的变量子集和另外一个系统的对应变量子集之间的渐近边界’４”ｏ的不同。这些先驱工作的自然延续是在空间扩展或者无限维系统中研究同步现象‘４”４０９。、在实验或者自然系统¨１０。４２¨中测试同步、研究导致同步破坏的机制¨２２，４２３。以及确定能够将不同同步现象Ｍ２４３包含在相同框架下的统一形式化的方法。对于混沌和空间扩展领域，在文献∞９２ｏ中可以发现到目前为止研究不同同步状态的详细说明。虽然原则上所有的这些状态在复杂网络上都能找到，历史上同步研究起始于处理振荡器，其相互作用的拓扑表明不是无标度就是小世界特性Ｈ２５‘４３０。，后来主要集中在可用解析方法解决的一致非线性系统中的完全同步现象。在后面的内容中，一个密切相关的问题是在广义网络拓扑和广义耦合构型中评价同步行为的稳定条件。５．２主稳定函数方法我们从讨论所谓的主稳定函数方法开始。这种方法最初提出是为了解决耦合振子的排列问题Ｈ３１’４３２。，后来被扩展到耦合了任意拓扑Ｈ”“３“的动态系统的复杂网络中。让我们考虑一个包含Ⅳ个耦合动态单元的一般网络，每一个耦合单元引起一个ｍ维的矢量场ｘ。的演化，其规则为一系列的局部常微分方程Ｘ。＝Ｆ；（ｘ。）（事实上，该技术也可应用到时间离散图网络，但是为了清晰起见，我们将着重于连续时间系统）。运动方程为，．ｘ；＝Ｆ。（ｘ；）一盯∑Ａ“Ｈ（葺），ｉ＝１，…，Ⅳ（５．１）式中，日（ｘ）：舅“一翻”是一个矢量输出函数，盯是耦合强度，Ａ。∈历是对角线元素严格为正的条件下（Ａ。＞０，Ｖｉ），Ｎ×Ｎ的对称连接矩阵中行元素求和为零的元素（＞’Ａ。ｉ＝０Ｖ。），它详细地说明了潜在的连接拓扑了和强度。像我们将要在随后章节中所见到的一样，耦合矩阵Ａ与经典矩阵相关联，经典矩阵定义了网络拓扑（在第２章第１．６和第４．１已经介绍过），例如邻接矩阵彤或者加权网络中的权重矩阵伽或者拉普拉斯矩阵以。为了继续进行分析，我们将作出明确的假设即网络由同样的系统组成，也就是在方程（５．１）中的演化函数Ｆ：对于网络中的所有节点都是相同的（Ｆ。（戈。）＝Ｆ（ｚ；），Ｖ。）。这个假设对于确保一个完全同步流形。形的不变量集使得戈。（ｔ）＝戈。（ｔ），Ｖ。的存在是至关重要的，其稳定性将是研究的对象。由于耦合矩阵Ａ的行元素求和为零以及耦合函数Ｈ（戈）对于所有的节点都是一样的，因此同步流形．罗是一个不变量集。这两个性质确保了正好在夕时耦合条件消失，因此同步状态的稳定性便简化为在横截同步流形的相位空间中沿所有方向万方数据复杂系统与复杂性科学２００６年１２月上考虑系统的动态特性。目前，我们将集中考虑对称矩阵圹（因此可对角化）的情况。让Ａ。［”；］为实数特征值集（与正交特征向量相联系的），使得汐。ｉ＝Ａ。口。和口Ｔ．ａ；＝６扣行求和为零的条件保证了：（１）其特征谱为完全半正定的，也就是Ａｉ≥０Ｖ。；（２）Ａ。＝０与特征向量副，＝±１／√Ⅳ｛１，１，…，１｝‘完全定义了同步流形少；（３）所有的其它特征值Ａ；（ｉ＝２，…，Ⅳ）有相应的特征向量”，涵盖了横截流形。罗的ｍ×Ｎ维相空间的所有其它方向。同步流形稳定∞９２１的一个必要条件是横截ｍ维超平面戈。＝蔸：＝…＝菇Ⅳ＝省。的，相当于相空间方向的（Ｎ一１）×ｍ个Ｌｙａｐｕｎｏｖ（李雅普诺夫）指数集完全由负值组成。尽管它是一个通用稳定准则，但是有必要提醒该条件不是充分条件。Ｌｙａｐｕｎｏｖ（李雅普诺夫）指数是一些渐近平均值，而这些值说明了全局稳定特性。然而，它们不能保证同步流形夕自身没有不稳定的不变量集Ｈ３８］，或者局部不稳定的吸引子区域Ｈ３９３，这些有可能产生气泡或突发远离同步状态的动力学（例如当噪音正在活动时）。接下来，我们将从Ｌｙａｐｕｎｏｖ（李雅普诺夫）指数角度描述主稳定方程方法。当然，我们可以从更精炼的稳定性判据”９２３开始讨论，然后再回到具体选择稳定条件的理论上来。设６ｘ。（ｔ）＝戈。（ｔ）一ｘ。（ｔ）＝（６ｘ¨（ｔ），…，６ｘ胁（ｔ））为第ｉ个向量状态偏离同步流形的偏差，考虑ｍ×Ｎ个列向量Ｘ＝（戈。，戈２，…，戈Ⅳ）１和６Ｘ＝（６ｘｌ，…，６ｘⅣ）１。于是我们有：６ｘ＝［几ｏ＂（茗。）一盯汐ＯＪＨ（戈。）］６Ｘ（５．２）式中。代表矩阵的直积，‘，表示雅可比算子。任意状态６ｘ能够被写作成６Ｘ＝＞：秽ｉｏｆ；（￡）［ｆ。（ｔ）＝（ｆ¨，…，ｆ。）］。在方程（５．２）的每一项左侧应用秽？，最后可以得到一系列Ⅳ个系数玉（ｔ）变量的方程组：——＝一Ｋ，坠ｄ：舯式中，＝１，…，Ⅳ，Ｋｉ＝［ｔ，Ｆ（石。）一盯Ａ，口（戈，）］是演化核。ｊｓｉ－－ｔ）３．５（关键点是注意到在方程组（５．３）中的每一个方程对应于ｍ个条件Ｌｙａｐｕｎｏｖ（李雅普诺夫）指数（在同步流形。罗中计算核Ｋ。），这组指数是沿着固有模式对应于具体的特征值Ａ。的。现在，矩阵汐的特征谱总包含特征值Ａ，＝０，其相对应的固有模式完全存在于同步流形中的（类似于已经在第２章第１．６节讨论过的拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量的特性）。相应的ｍ个条件Ｌｙａｐｕｎｏｖ（李雅普诺夫）指数等同于那些单个非耦合系统贾＝Ｆ（石），因此在所有下面的研究中将不加入条件。为了清晰，现在我们将从一个非对称耦合构型（对此而言，当允许对角化时，其特征谱也可能包含复杂的共轭特征值对）中把对称耦合情形（有实数特征谱的一个对称矩阵汐）区分开来。假如汐是对称的，其所有的特征值都是实数，因此它们能够按照大小排序０＝Ａ。≤Ａ：≤…≤Ａ。。在方程（５．３）中用秽代替盯Ａｉ，便得到一个ｍ维参数方程：ｆ＝Ｋ。ｆ＝［ＪＦ（戈。）一ｖＪＨ（髫。）］ｆ（５．４）对每一个参数值口，从该方程可以提取ｍ个条件Ｌｙａｐｕｎｏｖ（李雅普诺夫）指数。这些指数Ａ（”）中的最大值的参数行为被称之为主稳定函数。从我们上面所述，Ａ（口＝０）的值是０还是大于０，这依赖于互＝Ｆ（戈）是否为一个周期动力学或者混沌动力学。对于秽＞０的情况，在原点附近能够产生Ａ（秽）的３种可能状态，为局部函数Ｆ（ｘ）的选择和耦合函数Ｈ（戈）定义３种可能的类：（１）Ａ（口）是一个单调递增函数；（２）Ａ（秽）是一个单调递减函数，它在”。≥０的地方截取横轴；（３）Ａ（口）是一个Ｖ形函数，在范围０≤秽。＜秽：内可有负值。主稳定函数的３种类型的示意图见图５．１。万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学容易理解图５．１中的（１）和（２）的情形对应于相对简单的情形。事实上，等价地说情形（１）对于Ｆ（ｚ）和日（ｘ）的那些选择（对所有的ｏｒ值和所有可能的特征值的分布，乘积盯Ａ总产生一个正～／／／／心——————一／＼的最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数，因此同步流形夕总是横截不稳定），网络从不稳定同步。对于图５．１中（２）的情形，函数Ｆ（算）和Ｈ（石）给出的主稳定曲线的情形完全相反。对于一个足够大的耦合强度而言，网络一直允许同步，而不管耦合构型如何（事实上，给定任何特征值分布足以选择盯＞口／Ａ：（式中口。是主稳定方程与秽轴的交叉点）来心／／。：弋＼＼＼（２）在图中的３种情形下，Ａ（”＝０）＞０是单一非耦合系统的最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数。情形（１）（２）对应于一个单调递增（递减）主稳定函数。情形（３）对应于Ａ（”）在一有限范围内可能负值。图５．１保证夕的所有横截方向有相应的负的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数）。在这后面的一种情况，一旦固定掰＝Ｆ（并）网络混沌系统的主稳定函数的可能类型和Ｈ（戈）（它固定秽。的值），连接拓扑的影响仅仅是重新调节（依赖Ａ：）出现同步状态的临界值。一个非平凡而有趣的情形是情形（３），它对应于函数Ｆ（菇）和Ｈ（ｚ）的一个非常大的类”驯。在此，以（“）在一个有限参数间隔（”。，”：）（当Ｆ（石）支持一个周期运动时。，＝０）上是负值。当Ａ。／Ａ：＜１２２／ｖ。时，对于一些ｏｒ值时稳定性条件能够得到满足。网络产生同步动力学的能力完全依赖于耦合矩阵特征谱中最大和倒数第二小特征值之间的比例Ａ。以：：矩阵汐的特征值越密集，对于一些矿而言，使所有的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数处于稳定范围的机会就越大Ｈ”。。当耦合矩阵汐是非对称的并可对角化时，这种情形就变得更复杂。在这种情况下，耦合矩阵的特征谱包含在复平面（Ａ。＝０；Ａ。＝Ａ；＋ｉＡ；，ｚ＝２，…，Ⅳ）中，因此对于参数口＝”７＋ｉｖ‘的复值，不得不研究参数方程（５．４）。对耦合矩阵汐的特征值的排序可按实数部分进行。Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ（盖尔）圆定理Ｈ４０’４４¨称在复平面中耦合矩阵汐的特征谱被完全包含在圆（厂ｉ）的集合中，这些圆以垆（ｄ；）的对角线元素为中心，以相应行（｛Ａ。｝ＣＵ，。［ｄ。，ｙＩ统｜］）中其它元素的绝对值求和为半径。注意假如耦合矩阵由实数组成，在所有情况蔫下，圆都有实数轴上的中心。假如进一步假设耦合矩阵汐的对角线元素在所有的情况下都能够容易地规一化，以及耦合矩阵汐的所有非零非对角线元素都是负值，那么就会出现相关的数学和物理的推论。物理上，对于所有可能的网络拓扑和规模而言，这种正规化过程阻止了耦合项任意大（或任意小），因此它是对一些现实世界（例如神经网络）所发生的有意义的实现，因为在现实世界中环境对动力学的局部影响与连接数不成比例。鬲是负值这个额外假设所得出的），这也保证了在所有的情况下对于所有的网络规模而言耦合矩阵汐的特征数学上，因为耦合矩阵汐是一个行求和为０的矩阵（以及ｄｉ＝＞‘嘭是根据所有非零非对角线元素都谱是完全被包含在单位圆中的，其中心在实数轴（１Ａ。一１｛≤１，Ｖｚ）的１处，给定如下不等式：（１）０＜Ａ；≤…≤Ａｊ≤２（２）Ａ；｜≤１，Ｖｆ这后面的特性对提供一个连贯而独特的数学框架是必需的，在该框架下能够正式评估一个拓扑相对于另外一个拓扑在优化网络的同步倾向中的相对优势，不管局部动力学的具体特性如何。把。刃称为复平面的有界区域，在该区域内主稳定函数Ａ（秽）提供了一个负的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数，对于一个给定的盯，同步状态的稳定条件是集合｛仃Ａ。，２＝２，…，Ⅳ｝完全被包含在舅内。这对于连接拓扑而言是最好的，如此同时使得比例Ａ。ｒ以；和肛；ｍａｘ｛｜Ａ；｜｝ｉ万方数据尽可能小。·７６·复杂系统与复杂性科学２００６年１２月主稳定函数观点目前被作为挑战性框架用以研究复杂网络中同步行为，特别是对于总体拓扑的复杂性和耦合单元的局部动力学之间的相互作用的理解。与此同时，提出了更复杂的方法来评价耦合单元网络中的同步条件。一个例子是全新的连接图稳定方法””１，该方法揉合了Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数方法和图论方法，可确定全局同步产生所必需的最小耦合强度的严格边界。这种方法也可描述一些情形：在此耦合矩阵纩是时间相关的，也就是圹＝垆（ｔ）。此外，最近有关于对称群理论和复杂拓扑网络”４引中同步（或斑图）解的稳定性之间的关系的研究，揭示出复杂网络结构中的对称群能够决定给定网络解的出现和稳定性的约束条件。许多有关的情形，比如断裂神经元的脉冲耦合网络，对应于固有的非线性耦合系统。因此，研究的注意力也开始集中到非线性耦合单元，目的同样是将网络拓扑与同步特性联系起来。例如，当这种网络在度分布上是非常均匀的（当所有的节点具有同样的度后），一个最近的研究”４纠表明同步状态的开始和稳定仅仅依赖于每一神经元所接受的信号个数，而不管具体的网络拓扑是怎样的。即使这种陈述强烈地依赖于度分布函数是一个６函数（因此它不能应用到当前所报告的网络类型）的假设，得到这样一个相应结果即通过单个条件就能够确保神经元总体（每一个神经元接受ｊ｝个输入）同步。在接下来的章节中，我们将展示主稳定函数观点的应用是怎样证明加权网络在总体上能够增强网络同步的，除此之外我们还将讨论一些现实网络中能够碰到的具体情况所激发的加权过程的例子。５．３网络同步倾向有关复杂网络中同步现象的早期研究大多数有这样一个基本假设：局部单元是对称耦合的，且耦合强度（无权边）是均匀、无向的。就像我们已经在第２章第４节所讨论的一样，通常，这种简化不保留实际网络结构上的完全信息。事实上，有许多关于边权部分决定网络动力学的例子。例如，在生态学中，非均匀权在猎物与捕食者之间的相互作用中可能扮演着重要角色，以决定食物网动力学¨８８’１８引。在交通网络中，影响全局动力学的关键量是路的交通量或在地铁线、飞机场的旅客数量‘３０’１９４］。此外，在神经网络中神经元以及它们树枝状的连接的本质不同可以导致截然不同的传递能力和信息处理能力［４４４，４４５］。学者们对非对称加权耦合构型是怎样强化复杂网络同步的这个问题有着极大的兴趣。这也是由耦合中的非对称性在与耦合空间扩展领域Ｈ４６’４４川的同步有关的问题中扮演着一个基础角色这个事实所激发的。５．３．１加权网络同步：实数特征谱的耦合矩阵在这个方向上，开创性的工作是最近在文献［４４８］中所作的，它考虑了一个像方程（５．１）一样的耦合网络，只是耦合因子右端变成：蕾丢Ａ。／／（ｘｊ）（式中Ａ。是拉普拉斯矩阵中的元素，在第２章第１．６节已经定义过），也就是节点间连接的权值与节点度的指数大小成比例。特别地，文献［４４８］证＇。●（５．５）明了对于大部分复杂网络而言同步最佳条件为口＝１。：图５．２展示了加权参数ＪＢ的函数Ｒ＝Ａ，／Ａ：的平均值，且尺是Ｎ＝１０２４的不同网络５０个实现的记录值的平均，结果表明在所有的情形中同步最佳条件（曲线Ｒ（ＪＢ）的最小值）在』Ｂ＝１时获得。对比方程（５．５）和方程（５．１），容易意识到条｝电毛．意‘；一Ｗ一：：．１．０００１Ｏ２．０３．０－。ｔ．，，一：口这个图的数据是从具有无标度分布且ｙ：３（圆形）、Ｙ＝５（正方形）、Ｙ＝７（上三角形）、７＝＊（实线）的随机图中获取的。图５．２件口＝１对应于输入的耦合强度对所有的节点都是相等的情况（耦合矩阵汐的对角线元素被标准化到１），然而对于口≠１的情况，耦合矩阵垆的方程（５．ｓ）中特征比例Ｒ＝Ａ。／Ａ：随加权参数卢变化的情况万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学对角线元素没有被标准化到１，因此大体上是大小相关的。文献［４４８］的相关结果是在同步倾向上的极大改善，由一个保留网络的局部特性信息（节点度）的加权过程得到的。作者在文献［４４９］中基于耦合的总体费用准则进一步对有向和加权网络作了分析。加权过程是如何提高同步倾向的问题也在适当标准化的耦合模式框架下得到了研究，利用包含在总体拓扑上¨”。的信息而进行，结果表明这能够导致同步特性的更进一步的改善。接下来我们将总结后面的这种方法。其思想是两节点间的耦合强度与连接它们的边载荷成比例，像第２章第１．２节所定义的一样。连接节点ｉ和Ｊ的边载荷ｚｉ测量通过该边的最短路的交通流¨２｜，这种方式在一个全局范围内反映了网络结构的测度。准确地，对于网络中的每个节点对ｉ’，＿『’，计算连接它们的最短路的数目ｎ（ｉ’，，７）。对于这种最短路的每一条，对形成它的每一条边的载荷增加１／ｎ。按照这种方式，在总体水平上，载荷的分布保留了通路网络结构上的全部信息，因为距离节点ｉ或＿『很遥远的节点对也能够强烈地影响每一个载荷Ｚ。的值。此外，有必要强调的是这种加权过程完全不同于依赖节点度的信息的方法，网络中度数低的节点可能通过边与非常高的载荷相连，反之度数高的节点可能具有非常低的载荷的边连接它们。文献［４５０］中所考虑的方程是：膏。＝Ｆ（戈。）一｛王＞’ｚ：［日（省，）一Ｈ（戈；）］乞２；ｉ—ｅＪｖｉｉ∈力ｉ（５．６）式中ａ是一个可调实数参数，∥是第ｉ个节点的邻居集。首先，耦合矩阵汐（比较方程（５．６）和方程（５．１）可得）现在总有可以标准化到１的对角线元素。第二，尽管对所有的ａ耦合矩阵汐是非对称的，但它仍然能写作乘积形式圹＝兹形式中夕是一个行求和为零的矩阵，且非对角线元素鬈＝一ｆ：以及留＝ｄｉａｇ｛ｌ∥☆，…，ｌ巧‘蔚｝。由矩阵恒等式¨５ｌ』，汐的特征谱与从矩阵历Ⅳ２夕历¨２所得到的特征谱一样，因此它是非负实数。此外，因为耦合矩阵垆具有行求和为零的特性，其最小特征值Ａ是零，但是对于连通网络Ａ：＞０及Ａ。≤２Ｖ。［１３４，４５１］。这种加权过程的其它一些重要特性涉及到当改变ＯＬ时，耦合项能够假设的各种极限条件。因为』＝缸。ｙ妒如’＝后；，极限Ｏ／＝０是文献［４４８］最好的同步条件。极限口＝＋∞（ａ＝一∞）诱导出一个具有Ⅳ条边的、单向的树结构，因此仅仅是最大（最小）载荷的边被选择作为每一个节点的入边。由此产生的网络不是连通的就是不连通的。在连通（不连通）的情形，比例Ａ，／Ａ：将正好等于２（＋∞），因此生成一个非常强（非常弱）的同步条件。在方程（５．６）中调整参数理，对于耦合矩阵汐文献［４５０］监控比例Ａ。／Ａ：的变化，作为不同度分布的无标度网络类型以及随机网络的适当的同步倾向指标。通过文献［３，１４６］中所提出的方法可以得到无标度网络，在第３章第３．５节已经讨论过。准确地说，从ｍ＋１个全部连接了的节点开始，在每一时间步一个具有ｍ条边的新节点加入，它以概率Ｐ。＝（ｋ。＋Ｂ）／（ｉ（ｋ。＋Ｂ））连接到老节点上。虽然该模型的所有细节在第２章第３．５节已经讨论过，在此我们回顾它的一些特性，这些特性在决定网络同步倾向时扮演着重要的角色。曰是一个可调的实参数，它代表每一个节点的最初吸引力。在热力学（Ⅳ＿＋∞）极限下，度分布（Ｐ（后）～矗１∽，州）的幂律标度指数ｙ被选择为ｙ（启，ｍ）＝３＋Ｂ／ｍ。平均度来自（ｋ）＝２ｍ（因此不依赖于曰），但是Ｂ能够极大地改进度分布的不均匀特性。高均匀度分布的网络类型是通过文献［２８］所提出的在随机网络中进行重连过程所得到的，其对应于在第２章第３．３节中所描述的ＷＳ模型中固定Ｐ＝１的情形。图５．３（ａ）显示出无标度网络中，Ａ。／Ａ：的对数在参数空间（理，Ｂ）中的情形。注意到对所有大于给定值Ｂ。＞０的Ｂ值，Ａ，／Ａ：的表面都有一个显著的最小值且０＜＆一１，这是很重要的。因为仅仅当用到节点度上的信息（在文献［４４８］中的ＪＢ＝１条件）时，仅＝０便恢复了最佳条件，这表明基于边载荷的一个加权过程一直能够增强同步倾向。图５．３（ｂ）对其进行了量化，显示参数空间上量Ｊｒｌ＝ｌｏｇ（ＡⅣ／Ａ：）一［１０９（ＡⅣ／Ａ。）］。：。万方数据复杂系统与复杂性科学２００６年１２月的变动情况。，为负值的大区域对应于拓扑结构（Ｂ）和加权构型（仪），与基于节点度的加权过程相比，它提供了更好的同步倾向。（ａ）为无标度网络中Ａ。／Ａ：（在对数尺度上）随参数空间（ａ，Ｂ）变化的情形。（ｂ）为，（见文中定义）随（ａ，Ｂ）变化的情形。图中的黑色轮廓线是域Ｆ＜０的外形。图５．３所有ｍ＝２的无标度网络中的情形，显示的值是Ｎ＝１０００个节点网络的ｌＯ个实现的平均值它呈现出了一个惊人的结果，即把最短路的全局复杂结构加入到加权过程中比仅仅依赖于一个节点周围的局部信息能提供更好的同步判据。当ａ增加时（见图５．３（ｂ）中上部的黑线）强化区域是有极限Ｂ＞Ｂ，。事实上，当增加“到大于ａ时，出现了两个效果：第一个是它使得网络中更有可能出现无向树结构，第二个是它增加了断开网络的机会。这两个作用竞相决定着同步行为，只有在网络保持连接时前一种作用才能增加同步的可能性。因此，有第二个临界值０ｃ。（Ｂ）＞ａ，当Ｂ＞Ｂ。时断开机制主导着树结构感应。虽然图５．３关注ｍ＝２的情形，当ｍ增加时ａ的值减小（因此逐渐减小了全局相对于局部加权过程的同步强度），增加了极限仅＿÷∞时断裂网络的可能性，因此诱导出日。一０。相反，ｍ＝１总能确保在极限ｄ一∞时网络保持连接，不受Ｂ值的影响。随机网络中的这种情况用图５．４进行说明：图５．ｄ（ａ）绘出了ｌｏｇ（Ａ。／Ａ：）随理变化的曲线，表明基于边载荷的加权过程也增强了网络同步倾向（曲线的最小值总在０＜ａ一１的范围内）；而图５．４（ｂ）则是有关在参数空间（“，Ｂ）上比较值Ｆ。＝［１０９（Ａ。／Ａ：瑚。。ⅢＦＲＥ。一［１０９（ＡⅣ／Ａ：）］。。。。。。的情况，表明对于所有的“＞０，加权无标度构型相对随机网络而言，无标度构型能够提供导致同步行为的更好拓扑。６５４３２ｌ１Ｏ１２口３｛ｉ５（”随机网络具有平均度（ｋ）＝２ｍ＝４，且与无标度网络的规模一致。在Ｆ，＜０的区域内，无标度网络比随机网络同步更好。条件与图５．３相同。图５．４（ａ）为随机图中Ａ。／Ａ：（在对数尺度上）随ｄ变化的情形，（ｂ）为Ｃ（见文中定义）随参数空间（口。Ｂ）变化的情形万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学５．３．２加权网络同步：具有复杂特征谱的耦合矩阵文献［４４８，４５０］中的两种方法都是处理耦合矩阵汐具有实数特征值谱的情形。受社会网络（个体间的相互作用不是对称的，它依赖于一些社会因素，例如年龄、社会类型或影响力、个人领导力或号召力）的激发，文献［４５４］分析了动态非对称耦合个体的网络，在该网络中非对称性明显地与不同节点间的年龄次序有关。实际上，其观点是连接节点间的年龄次序能够决定边的方向。例如，在生长网络中，这种年龄次序将自然地与生长过程中节点出现的次序联系起来。这可由方程（５．１）中一个行求和为零耦合矩阵暖所反映，其非对角线元素为：％一彳“轰第ｉ个节点的ｋ，个邻居集。ｉ＝｝ｔ㈦７，式中。名是邻接矩阵，对于ｉ＞Ｊ（ｉ＜，），９。＝（１—０）／２（＠。＝（１＋０）／２）。按照第２章第１节的附注，∥是参数一１＜０＜１控制着网络中的非对称耦合。精确地说，０＝０时产生文献［４４８］中的最优同步条件，即＞’１＝ｋ。，而极限０一一１（０一＋１）产生一个单向的耦合构型，在该构型中较老的（较年轻的）节点驱动较年轻的（较年老的）节点。尽管是非对称，０＝０时耦合矩阵垆有实数特征值谱，其结果与文献［４４８］中Ｊ８＝１时所得到的结果是相同的。相反地，对于一个一般值０≠０，耦合矩阵有一个包含在复平面中（Ａ，＝０；Ａ。＝Ａ；＋ｎ；，ｚ＝２，…，Ⅳ）的特征谱。此外，通过构造，所有的情形中耦合矩阵汐的对角线元素都被正规化到１。这些约束的物理的和数学的结果已经在第５章第２节讨论过。正如上述所讨论的，如果历是复平面中的有界域，在其中主稳定函数提供负的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数，同步状态的稳定条件是对于给定盯值，集合｛盯Ａ。，ｆ＝２，…，Ⅳ｝完全被包含在魔中，当比例Ａ。Ｉ－／Ａ；和ｔＺ＝ｍａｘ｛ｌＡ；ｌ｝同时尽可能小时，这最容易实现。文献［４５４］通过比较前面章节所引入的无标度网络类型和具有高度均匀的Ｅｒｄ６ｓ．Ｒ６ｎｙｉ随机网络ｏＪ５］（见第２章第３．１节）类型的同步倾向，使用连接概率Ｐ＝２ｍ／（Ｎ一１）（假定相同的平均度（ｋ）＝２ｍ）和一个任意的初始年龄次序，分析了度分布不均匀的影响。图５．５ａ给出了ｍ＝５和Ｂ＝０的无标度网络（实线）和选定的随机图（虚线）两种情况下Ａ：和Ａ；随０变化的情形。这些计算是对节点数为５００的２４个不同网络实现进行平均后所得到的结果。有可能注意到，对于随机网络而言，曲线ＡＺ（０）［Ａ：（０）］在０＝０处有最小值（最大值），这表明与文献［４４８］中基于节点度的信息的最优条件相比，这里的非对称恶化了网络同步倾向。不同的是，对于无标度网络，当０减少时，Ａｊ与Ａ；问的差距持续缩小。图５．５ｂ展示了特征比例Ａｊ／Ａ：的行为，表明尽管对于随机网络而言最好的同步条件是０＝０，无标度网络在０一一１（０一＋１）时显示出一个较好的（较坏的）同步倾向。特征谱的虚数部分在图５．５ｃ中进行了说明（Ｍ与０的关系），该关系显示在整个非对称参数范围内，无标度网络构型与随机网络构型仅存在非常小的差别。这个事实突出了特征谱的虚数部分对网络同步的贡献在很大程度上不依赖于具体的网络结构。‘文献［４５４］也研究了在不同的ｍ和Ｂ值下，无标度网络的同步倾向。图５．６ａ比较了在Ｂ＝０时，不同ｍ值情况下的网络同步倾向。当ｍ增加时，平均度也随着增加，同步也自然地得到加强。重要的是对于所有的ｍ值，Ａ／。－／Ａ；随０出现单调递减行为，它表明当０变得更小时，茬生长的无标度网络中同步一直被强化。图５．６ｂ比较了ｍ＝５时，改变度分布指数的不同Ｂ值情况下网络的同步倾向。对于所有的Ｂ值，当０保持为负值时同步倾向得到强化。这引导我们来讨论一个非常重要的问题：在加权网络中哪些本质拓扑要素是来强化同步的？这个问题的答案是：只有许多要素同时行动才能提供最优同步条件。万方数据复杂系统与复杂性科学２００６年１２月第一个要素是加权过程必须引起一个从集散节点到非集散节点具有支配性的相互作用。由一个简单的例子使得这容易被理解：星形网络的情形，它是由一个大的集散节点（星形的中心）和一些连接到集散节点的非集散节点组成。当起支配作用的耦合方向是从非集散节点到集散节点时，因为集散节点接收一系列独立的输入，这些输入是从不同的非集散节点传来的，因此同步是不可能的。在相反的情形（当中心节点驱动星形周围时），同步则容易获得。在年龄次序的情形中会出现非常相同的机制。事实上，对于正的（负的）ｐ值，起支配作用的耦合方向是从较年轻的（较年老的）节点到较年老的（较年轻的）节点。现在，在生长的无标度网络中，一个节点的最小度由ｍ构造而成，而且较年老的节点比较年轻的节点更有可能显示出较大的度，因此负ｐ值将导致一个起支配作用的耦合方向，该方向是从集散节点到非集散节点的。（ａ）为Ｂ＝２和ｍ＝２（圆形）、ｍ＝５（正方形）、ｍ＝１０（菱形）的无标度网络中Ａ；／Ａ；随ｐ变化的情况。（ｂ）为ｍ＝０和Ｂ＝０（圆形）、Ｂ＝５（正方形）、Ｂ＝１０（菱形）的无标度网络中Ａ；肌；随日变化的情况。（Ｃ）为任意年龄次序的Ｅｒｄ６ｓ—Ｒ６ｎｙｉ随机网络（圆形）、依赖于度的年龄次序的Ｅｒｄｓｓ—Ｒ６ｎｙｉ随机网络（正方形）、ｍ＝５，图５．５无标度（ｍ＝５和Ｂ＝０，实线）Ｂ＝０且节点１与节点５之间没有边的无标度网络（菱形）、ｍ＝５，和随机网络（虚线）中（ａ）Ａ；和Ａ；、Ｂ＝０的无标度网络（三角形）中Ａ；／Ａ；随口变化的情况。（ｂ）Ａ；／Ｅ、（ｃ）Ｈ随一变化的情形图５．６Ａ；／Ａ：随一变化的情况第２个要素是网络包含一个影响其它节点的连通集散节点的结构。一般而言，它由耦合矩阵汐的非对角线元素的一个适当正规化来说明，保证集散节点从一个已连接的节点收到一个输入，且该节点的所占比例与节点度的倒数成比例，因此集散节点的结构一直以独立于网络规模的方式与网络中剩余节点相连接。对于按年龄次序生长的无标度网络而言，耦合矩阵的非对角线元素由下式给出：％＝Ｆ丽高拓（５．８）式中干分别代表对于ｉ＞Ｊ和ｉ＜Ｊ的情形。通过测量一系列特别改进网络上的同步倾向，上述情形的有效性能够被证明。图５．６ｃ总结了该结果。首先，根据每个节点的度，在Ｅｒｄｆｉｓ—Ｒ６ｎｙｉ随机网络中重新排列该节点的年龄。结果Ａｊ／Ａ；（ｐ）（带正方形的曲线）对于一个非对称构型（口一一０．５）而言显示出最小值，这与任意老化（带圆形的曲线）的情形相反。这个事实证实了为了提高网络同步需要从集散节点铡非集散节点的一个起支配作用的相互作用，这对于高度均匀的网络而言也是一样的。至于第二个要素，从一个ｍ＝５、Ｂ＝０的无标度网络（带三角的曲线）开始，我们可以人为地拆开网络中两个具有最高度（图５．６ｃ的实现中第一个和第五个节点）的集散节点间的最初连接边。其结果显示在带菱形的曲线上，可以见到如此一个微小的扰动（两个网络的区别仅仅局限在一条边）已经足够实质性地弱化网络同步倾向。然而，这种情况比两种随机网络的情形都要好，这表明生长老化网络的万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学结构本身可强化同步。对于连接的结构特性在产生同步行为时是怎样影响网络系统的效率和鲁棒性的研究，文献［４４８，４５０，４５４］中的例子毫无疑问地表明加权网络是最有希望的框架结构。因此，可以预期未来几年内更多的努力将用于对特别的加权网络构型的研究，来便更深入地评价在所有的这些情形中（即加权特性能够直接地从可用数据中获取的情形中）形成集体动力学的潜在机制。在这节的末尾，不得不提及最近的一些有关随时间变化的连接耦合矩阵汐的研究。特别地，已经考虑到瞬时网络。４５５’４５６ｏ的限制，在瞬时网络中连接快速地（也就是具有一个特征时间尺度，但它比网络系统动力学的时间尺度小得多）在不同的构型中转换。在这些条件下，已经发现同步运动能够在足够快的转换时间内建立，即使在每个连接构型（假如看作是固定的）可能阻止同步的情形中也一样。５．４耦合振子同步在讨论完复杂网络中同步状态的一般稳定特性后，我们回顾一下对不同网络系统的同步研究的重要结果。我们从耦合振子网络开始。事实上，这项研究在第一个网络模型被提出后不久便开始了，尤其是对于服从Ｋｕｒａｍｏｔｏ动力学的极限环振子的研究，它使用了解析方法和快速数值模拟两种方法。关于复杂网络中同步条件和影响的首次工作是由Ｗａｔｔｓ［１５１和Ｂａｒａｈｏｎａ，Ｐｅｃｏｒａｒ４”１报道的。Ｗａｔｔｓ用数值的方法研究了ＷＳ小世界网络上的Ｋｕｒａｍｏｔｏ模型，而Ｂａｒａｈｏｎａ和Ｐｅｃｏｒａ则从解析的角度上（包括ＷＳ小世界网络）研究了不同类型图上的混沌系统完全同步的条件。在接下来的论述中，我们集中总结无标度网络的情形。有许多相关的情形，例如在生物学中，将给定网络中的节点看作是振动系统是有用的。例子就是耦合系综以及具有或不具有时间延迟的脉冲耦合振子，因为它们相关于自然系统，例如蟋蟀的呜叫声和萤火虫的闪光以及其它的自然系统Ｈ卯’４５８１，因此被广泛应用。正因为如此，让我们考虑一个～般的图，在该图中每一个节点ｉ（ｉ＝１，２…，Ⅳ）是一个由特征角相位０。和自然或固有频率∞。刻画的二维转子。假如潜在图中的一条边连接了两个振子，那么它们就会相互作用。第ｉ个节点个体的动力学可描述如下：哦＝∞ｉ＋ｏｒ∑ｓｉｎ（０ｊ一０ｉ）从给定分布中随机选择的＂”’４”。。（５．９）式中∥是节点ｉ的邻居集，ｏｒ是耦合强度，它对所有的边都是一致的。对自然频率和初始０。值的设定通常是最初的Ｋｕｒａｍｏｔｏ模型对应于全局耦合（完全图）、等权振子中的最简单的情形，在该模型中为了保证模型的状态在热力学极限Ⅳ＿÷。。也平滑¨５９’４６０Ｊ，耦合强度取为盯＝ｅ／Ｎ。在这种情形中，同步的开始出现在一个耦合强度是临界值ｓ。＝２／Ｔｒｇ（∞。）处，式中ｇ（∞）是自然频率的分布，∞。代表系综的平均频率。跃迁到同步是一个二阶的相变，它用序参量来刻画：巾，＝恃》㈤ｌ㈣㈣当考虑两个极限Ⅳ一∞和ｔ一∞时（以及对于８≥８。时），序参量ｒ表现为ｒ～（ｓ一占。）９，且Ｊ８＝１／２。在该系统中同步涌现的机制如下：当耦合取非常小的值时，相互作用的强度不足以破坏每一个振子的个体动力学所产生的不相关性。当超过临界值ｏｒ，时，一些元素锁定了它们的相对相位就会出现了一簇同步节点；当耦合强度进一步增加时，振子群被分裂成一个部分同步状态的节点组（该同步状态是由相位同步的振子组成（加到ｒ上））以及一组自然频率是足够的宽以致于成为内聚群的一部分的节点。实际上，当耦合强度∥进一步增加后，愈来愈多的节点附连在平均相位的周围，最终系统处于一个完全同步的状态（ｒ一１）。全局耦合Ｋｕｒａｍｏｔｏ模型在过去的一段时间内已被广泛地研究，关于这个主题详细的最近综述见文献［４６１］。随着对复杂网络兴趣的增加，一些团队把注意力转移到对复杂连接中Ｋｕｒａｍｏｔｏ模型中的同步现象的研究。文献［４６２，４６３］从数值上研究了随机无标度网络中同步开始的条件。具体地说，他们研究了与生物学的和社会网络相关的ＢａｒａｂＯｓｉ．Ａｌｂｅｒｔ网络及小的结构（模体）上的Ｋｕｒａｍｏｔｏ模型，其目的在于检查同步开始即万方数据复杂系统与复杂性科学２００６年１２月系统中第一次出现一小组同步振子时的临界点。他们报道了ＢＡ网络的同步开始发生在耦合强度为一不为零的小值时，临界指数为０．５左右。他们发现临界点不依赖于系统的规模Ⅳ，这与全局耦合构型形成鲜明的对比。此外，正如后来所发现的，在分析跃迁临界值的存在条件时，序参量的选择似乎是一个关键点。文献［４６２，２６３］中，方程（５．１０）被用来定义序参量。此后不久，一些其它作者Ｈ“。“１从理论角度研究了同样的问题，并且进行了数值模拟。他们的结果没有完全阐明是否存在临界点。主要困难在于没有一个唯一统一的微分方程组来描述系统动力学，以及序参量应该是什么。Ｌｅｅ报道了当２＜７＜３时幂律图中没有临界值，当度分布的二阶矩收敛时（ｙ＞３）临界值又恢复了。对于ｙ＝３，因为此时系统的相关参数发散，因此没有临界值的估计值。文献［４６５，４６６］引入了不同的分析方法得到了同样的定性行为。均场理论¨６４—６５。预测临界点由全局Ｋｕｒａｍｏｔｏ值盯。决定，而且是由度分布的一阶矩和二阶矩间的比例盯。，＝盯。（ｋ）／（酽）来调节。Ｒｅｓｔｒｅｐｏ等人Ｈ”ｏ用广义均场方法拓展了文献［４６４，４６５］中的结果。他们的结果有数值模拟的支持，表明跃迁发生的耦合强度是由邻接矩阵的最大特征值决定的。此外ｊ他们还指出当网络的不均匀性增加时（举例来说当ｙ接近或小于３时），均场近似不能预测临界耦合强度，因为在均场理论中没有合适地考虑具有高度数的少数节点（集散节点）的影响。与此同时，他们的时间平均理论似乎能够更好地再现数值估计值。值得注意的是文献［４６２，４６３］使用了方程（５．１０）中的经典序参量，而文献［４６４—４６６］的分析利用了一个再调节参数，该参数由下式给出：巾，＝ｌ轰》帕’Ｉ㈣…它们之间的差别可能来源于当ｙ接近３时，结果出现了明显的矛盾。原则上讲，有理由使用这两个参数中的任何一个参数。方程（５．１０）没有给不同连接类分配权值，而方程（５．１１）将每个节点的度包含在序参量的定义之中，这乍看起来似乎是合理的。然而，后面的这种假设由于在某种程度上均化了每个节点对同步状态的贡献，从而具有部分破坏潜在网络固有的非均匀性的效果。很明显，在将来的工作中这个问题需要更详细地讨论。另外一个争沦的焦点是是否应该把耦合强度加权记入方程（６．１）中。例如，Ｌｅｅ提出了一个由（ｋ）重新调节的耦合强度，也就是盯／（ｋ）。然而对于一个给定的系统规模，这是一个常数因子，它没有抓住无标度网络的主要拓扑特性：度分布的波动。因此我们可能会问是否被（尼）分开后产生效果与任何其它常数作的正规化所产生的效果是相同的。最后，我们简要地提及振子网络中的聚类同步和模块同步。可以相信，由于完全同步是由不断生长和合并的同步振子组形成的，我们能够仅仅通过微调耦合强度来探测潜在网络的结构特性。Ｏｈ等人Ｈ卯１研究了两种不同类型模块化复杂网络中的Ｋｕｒａｍｏｔｏ模型，发现同步跃迁关键依赖于模块问的连接类型。ＭａｃＧｒａｗ和Ｍｅｎｚｉｎｇｅｒ［４６引也研究了聚类的影响。Ｍｏｒｅｎｏ等人Ｈ６２１证明集散节点同步的缓和时间（７）比低连接节点的要短，尤其对于ＢＡ网络（ｒ）～ｋ～。因此，节点的连接越多，越稳定。这种幂律行为指出了一个有趣的结果，也就是具有高ｋ的节点比仅仅连接几个节点的节点更容易与其邻居锁定相位。此外，一个集散节点的不稳定不会破坏它所属组的同步，相反，由集散节点的邻居形成的组可恢复同步。所有的这些结果表明可能利用同步现象来解开嵌入在一个复杂网络的连接的高集聚结构。５．５混沌动力学同步在本章的开始我们主要讨论了给定网络中同步评价的主稳定函数方法。在此，我们评述一些用来研究复杂网络同步的其他方法。最初的工作研究了使任意耦合一致系统网络同步所必须的耦合强度值Ｈ”４７１。。发现这个值由耦合矩阵的结构和使网络中两节点同步所必要的耦合强度所支配。所谓的ｗｕ—Ｃｈｕａ猜想阐明了在一给定的ｎ个线性耦合振子的队列中同步耦合的临界值是：万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学％＝胬值。（５．１２）式中ｏｒ：是两个振子同步的同步临界值，Ａ：是在第２章第１．６节已经讨论过的拉普拉斯矩阵的最小非零特征这个猜想意味着对于足够高的耦合强度Ｈ６９。７１Ｊ，扩散的耦合一致振子网络能够一直同步。分析由耦合洛伦兹振子或Ｃｈｕａ振子所形成的网络所得到的结果，证实了Ａ，的值与网络的全局同步之间有着紧密关系。我们必须注意这种方法在以下假设下是有效的，即当与特征值Ａ，相联系的横截模式稳定时，所有其它横截模式也是稳定的。就像前面第５．２节讨论的一样，这个假设仅仅是对那些演化函数可产生图５．１中的第二类主稳定函数的振子是有效的，然而存在这样的情形：当耦合强度增加时（例如石耦合的Ｒ６ｓｓｌｅｒ振子）””““１，耦合振子呈现出非同步分叉。复杂拓扑所产生的同步倾向（一般称作可同步）在最近的工作中［４２５，４３３，４７５－４８１］已被大量地研究过。尽管一些研究在同步倾向评价中有稍微的差别，但是所有的研究都认同第５．３节中的主要结果，即一给定网络同步的能力强烈地受到网络中连接结构的支配。特别地，一些研究建议小世界连接与规则拓扑Ｈ２６’４２７’４３３’４７５，４７胡相比总是引起同步强化。最初，这种强化归因于节点间较小的平均网络距离的减少。事实上，同步能够通过添加任意数量的随机捷径而得到强化的论点不总是成立的Ｈ３１’４”ｏ。在某些条件下，给一个局部规则耦合排列添加任意捷径可能导致同步状态的不稳定Ｈ８２１。此外，同步还受其它量的影响，例如度分布、特征路径长度和介数（介连向心性）Ｈ２５’４”’４８１３，很明显当在相同的网络平均距离中增加度分布的不均匀性时¨２“，同步甚至可能退化。最近关于Ｒｔｉｓｓｌｅｒ振子的小世界网络的数值研究揭示在小世界状态可能会出现相位同步。研究发现相位同步依赖于耦合强度、数组的规模、或者每个振子模式（自然频率）的分布，也依赖于连接中的随机捷径的数量‘４８因此，小世界连接似乎导致同步增强（在相位和幅值上），但是小世界状态（基于拓扑特性）的出现和集体行为的产生之间的关系仍然不清楚。一个例子是同步临界值与小世界行为开始的临界值不一致（在其值上不相同，在其尺度特性上也不相同）Ｌ４３３Ｊ。无标度网络上的混沌流同步Ｈ７６’４８４１或混沌图的相位同步Ｈ８５１也得到了研究。此外，针对时问延时情况下节点间的连接，研究了耦合图的网络和排列：把同步特性作为潜在图拓扑的函数Ｈ“。，或者研究随机选择节点问的时间延迟时的同步特性Ｈ”。。我们已经在第３章讨论过复杂连接对于结构破坏∽７５ｏ可能显示出一个固有的鲁棒性。例如，在无标度网络中，节点的集簇组织及这种簇之间的连接模式致使网络结构对于节点的随机去除具有耐受性，但是对于有目标的攻击却是非常脆弱¨碍］。这种脆弱性不仅影响静态过程，而且直接关系到在这种网络中出现任何集体动力学的鲁棒性。例如，数值模拟已经揭示出在无标度网络中，当占总节点数５％的节点被随机去除时，网络的同步过程几乎保持不变，但是假如仅仅对占总节点数１％的目标（高度连接的）节点进行去除时¨７８‘４“１，网络便分裂成孤立的子网络（因此破坏同步）。最后，我们简要地讨论一下对于网络中破坏同步的机制的研究。考虑耦合混沌系统，存在许多不同的情形能够使同步消失０３９２ｉ。例如，一个与直觉相反的同步破坏情形可由增加耦合强度Ｍ３１’４７２１所产生的同步状态的不稳定来刻画。我们所知的短波分叉，常常会在混沌振子的扩散耦合排列中被观察到，它是随着耦合的不断增加由最短空间波长所激发的，这将导致同步破坏。这种现象的一个直接后果是能够同步的混沌振子的个数存在一个上限，在这个上限之上给定网络的同步状态变得不稳定Ｈ７２’４７在最近的相关工作中，任意拓扑网络中的另外一个同步破坏机制也已被研究。冒泡是当非一致系统的同步状态偶尔出现间断时产生的现象，导致同步破坏运动的爆发Ｈ３８Ｊ。由这些爆发所产生的空间模式不仅由每个节点的局部动力学所支配，而且也由耦合矩阵”“１的结构所支配。万方数据复杂系统与复杂性科学２００６年１２月５．６常微分方程组网络中的其它集体行为最后，我们综述被研究过的常微分方程组网络（ＮＯＤＥｓ）中的其他集体行为。事实上，不同的ＮＯＤＥｓ被用作给集体动力学建模，包括从约瑟夫森连接数组、化学反应、生态系统以及物理（激光，电子电路）和生物（神经元，心细胞）系统Ｈ８８ｏ网络中所观察到的。此外，ＮＯＤＥｓ模型还被用来描述非平凡的集体现象，像自组织、行波、缺陷的传播、同步以及时空混沌＂”１。对振子相互作用的研究普遍考虑３种耦合模式：全局耦合，每个节点与其它所有节点都相互作用；局部耦合，一个节点与其邻居（由一给定的度量来限定）相互作用；非局部或中间耦合。在一个全局耦合振子的系综内，连接的结构不依赖于振子之间的空间距离。在这样的网络中，每个节点通过均场型的相互作用受到全局动力学的影响。在极限环和振荡模式稍有差异的混沌振子网络中，与集体和一致行为的相关是由耦合强度””’４”‘４”１的持续增加产生的。然而，当节点被嵌入在一个物理排列中使空间维度与耦合结构有关时，全局耦合模式可能呈现出一些劣势。在一些实际的振子群如在神经网络或者电力网络中，长程连接（对全局相互作用是必要的）可能意味着在能量方面（有关地理嵌入网络中可能出现的拓扑约束条件详见第２章第５节）的高成本。在一个对立的方法中，一些研究把振子嵌入到Ｄ维网格中，在该网格中每个节点仅仅与其最近邻居发生相互作用。然而，对这种方法的分析存在着理论上的难度¨６０’４９２’４９３］。尽管在耦合混沌振子或周期振子的大系综中能够观察到不同的集体行为（全局或部分同步、反相同步、相位聚类、相干共振），但是协同动力学强烈地依赖于网格的大小和维度，也依赖于每个振子的特征频率的分布Ｈ９４。０１ｊ。生物系统中细胞与细胞间的相互作用是由快速扩散的化学传导物质来调节的，受此启发，学者们提出了非局部耦合模式来分析信息内容随距离的自然衰减。在理论和实验研究中，发现空间相关性对非局部耦合范围的依赖以幂律衰减¨０２。５０５ｏ。其它长程相互作用模式包括幂律耦合，在这些模式中相互作用的强度随格子的距离以幂律ｒ”衰减，其中ｒ是振子问的距离，ｄ≥０定义了耦合范围：极限ａ一０对应于最近邻居耦合，而对于ｄ＝０则得到一个均匀耦合。在极限环或者混沌振子的大网络中，发现幂律耦合模式生成了集体行为，而且这种集体行为也依赖于耦合的范围（以参数ｄ给出）和每个节点的范数（自然频率）分布”０６。５０９］。在实际的由相互作用的节点组成的物理系统中，一定的随机度可能不仅存在于每个节点的固有特性中，也存在于节点问的连接之中。一些研究表明前面的自然混乱（参数的不匹配）会强烈地影响全局或局部耦合网络中的集体行为。因此，混乱连接可期望协同动力学中新的特性涌现。在统计力学中，磁系统中的随机相互作用生成了有序相位状态。我们所知的自旋玻璃，它的有序状态可由全部磁化强度的消失来刻画。有趣的是，这些状态的特性和相应的相变完全不同于在规则磁体中所发现的相Ⅲ川。大多数关于随机相互作用的ＮＯＤＥｓ的研究考虑了下面这种耦合相位振子Ｈ５９。：咖。（ｔ）＝∞ｉ一矿＞。嘭ｓｉｎ［ｔｊｂｉ一咖，］，置式中咖。表示第ｉ个振子的相位，ｍ；是其自然频率。ｉ＝１，…，Ⅳ（５．１３）开创性工作Ｍ¨ｏ研究了不同拓扑中格子队列的相位同步：规则最近邻居问的耦合；局部随机耦合（连接鬣的权值随机从一个与其最近邻居的距离有关的高斯函数中取值）；以及长程稀疏连接（一个节点连接到给定数的邻居上的连接概率是由一个高斯函数支配的，该高斯函数的中心在当前节点上，这便生成了一个非对称矩阵暖，其元素以给定概率Ｐ取值为１，否则为０）。对于同样的总体耦合强度而言，发现长程相互作用产生一个比局部（规则或随机）耦合拓扑更快而又更稳健的同步。作为一种相关方法，文献［５１２］提出了一个分形连接性。在这种拓扑中，两个节点以依赖于节点间的距离的概率相互连接，Ｐｉ＝ｒ：，式中节点ｉ和节点－『之间的距离用ｒ。表示。这种耦合模式依赖于参数ａ，该参数定义了相互作用邻域的范围，也定义了耦合强度。尽管这种方法被用于耦合混沌图，但是利用长程相互作用ｐ”１也发现了同步强化。（待续）万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学·８５·参考文献：２７５２７６２７７２７８２７９２８０２８１２８２２８３２８４２８５２８６２８７２８８２８９２９０２９１Ｒ．Ａｌｂｅｒｔ，Ｈ．Ｊｅｏｎｇ，Ａ．一Ｌ．Ｂａｒａｂ６ｓｉ，Ｎａｔｕｒｅ４０６（２０００）３７８．Ｄ．Ｓ．Ｃａｌｌａｗａｙ，Ｍ．Ｅ．Ｊ．Ｎｅｗｍａｎ，Ｓ．Ｈ．Ｓｔｒｏｇａｔｚ，Ｄ．Ｊ．Ｗａｔｔｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８５（２０００）５４６８．Ｒ．Ｃｏｈｅｎ，Ｋ．Ｅｒｅｚ，Ｄ．ｂｅｎＲ．Ｃｏｈｅｎ，Ｋ．Ｅｒｅｚ，Ｄ．ｂｅｎＲ．Ｃｏｈｅｎ，Ｄ．ｂｅｎＡｖｒａｈａｍ，Ｓ．Ｈａｖｌｉｎ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８５（２０００）４６２６．Ａｖｒａｈａｍ，Ｓ．Ｈａｖｌｉｎ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８６（２００１）３６８２．６６（２００２）３６１１３．Ａｖｒａｈａｍ，Ｓ．Ｈａｖｌｉｎ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＡ．Ｖｚｑｕｅｚ，Ｙ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＤ．Ｓｔａｕｆｆｅｒ，Ａ．Ａｈａｒｏｎｙ，Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏ６７（２００３）０１５１０１（Ｒ）．ＰｅｒｃｏｌａｔｉｏｎＴｈｅｏｒｙ，Ｔａｙｌｏｒ＆Ｆｒａｎｃｉｓ，Ｌｏｎｄｏｎ，１９９１．Ｐ．Ｃｒｕｃｉｔｔｉ，Ｖ．Ｌａｔｏｒａ，Ｍ．Ｍａｒｃｈｉｏｒｉ，Ａ．Ｒａｐｉｓａｒｄａ，ＰｈｙｓｉｃａＡＰ．Ｃｒｕｃｉｔｔｉ，Ｖ．Ｌａｔｏｒａ，Ｍ．Ｍａｒｃｈｉｏｒｉ，Ａ．Ｒａｐｉｓａｒｄａ，ＰｈｙｓｉｃａＡ３２０（２００３）６２２．３４０（２００４）３８８．Ｊ．一Ｈ．Ｋｉｍ，Ｋ．一Ｉ．Ｇｏｈ，Ｂ．Ｋａｈｎｇ，Ｄ．Ｋｉｍ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．９１（２００３）０５８７０１．Ａ．Ｅ．Ｍｏｔｔｅｒ，Ｔ．Ｎｉｓｈｉｋａｗａ，Ｙ．Ｌａｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６６（２００２）０６５１０３．Ｐ．Ｈｏｌｍｅ，Ｂ．Ｊ．Ｋｉｍ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６５（２００２）０６６１０９．Ｐ．Ｈｏｌｍｅ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＡ．Ｖ６６（２００２）０３６１１９．ｚｑｕｅｚ，Ｍ．Ｗｅｉｇｔ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６７（２００３）０２７１０１（Ｒ）．ｚｑｕｅｚ，Ａ．Ｖｅｓｐｉｇｎａｎｉ，Ｒ．Ｚｅｃｃｈｉｎａ，Ｅｕｒ．Ｐｈｙｓ．Ｊ．Ｂ２８（２００２）１９１．Ｍ．Ｌｅｏｎｅ，Ａ．ＶＮ．Ｓａｔｏｒ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｐ．３７６（２００３）１．Ｂ．Ａ．Ｃａｒｒｅｒａｓ，Ｄ．Ｅ．Ｎｅｗｍａｎ，Ｉ．Ｄｏｌｒｏｕ，Ａ．Ｂ．Ｐｏｏｌｅ，ｉｎ：Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆ＂ＨａｗａｉｉＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅＳｙｓｔｅｍＳｃｉ—ｅｎｃｅｓ，Ｊａｎｕａｒｙ４７，２０００，Ｍａｕｉ，Ｈａｗａｉｉ．２９２２９３２９４２９５２９６２９７２９８２９９３００３０ｌ３０２３０３娩Ｌ．Ｓａｃｈｔｊｅｎ，Ｂ．Ａ．Ｃａｒｒｅｒａｓ，Ｖ．Ｅ．Ｌｙｎｃｈ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６１（２０００）４８７７．Ｊ．Ｇｌａｎｚ。Ｒ．Ｐｅｒｅｚ—Ｐｅｎａ，９０ＳｅｃｏｎｄｓＴｈａｔＬｅｆｔＴｅｎｓｏｆＭｉｌｌｉｏｎｓｏｆＰｅｏｐｌｅｉｎｔｈｅＤａｒｋ，ＮｅｗＹｏｒｋＴｉｍｅｓ，Ａｕｇｕｓｔ２６，２００３．Ｙ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｊ．Ｂ．Ｇｏｍｅｚ，Ａ．Ｆ．Ｐａｃｈｅｃｏ，Ｅｕｒｏｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．５８（２００２）６３０．Ｈ．Ｊ．Ｈｅｒｒｍａｎ，Ｓ．Ｒｏｕｘ（Ｅｄｓ．），ＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＭｏｄｅｌｓｆｏｒｔｈｅＦｒａｃｔｕｒｅｏｆＤｉｓｏｒｄｅｒｅｄＭｅｄｉａ，Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，１９９０．Ｙ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｊ．Ｂ．Ｇｍｅｚ，Ａ．Ｆ．Ｐａｃｈｅｃｏ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８５（２０００）２８６５．Ｙ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｒ．Ｐａｓｔｏｒ—Ｓａｔｏｒｒａｓ，Ａ．ＶＡ．Ｅ．Ｍｏｔｔｅｒ，Ｙ．Ｌａｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅｚｑｕｅｚ，Ａ．Ｖｅｓｐｉｇｎａｎｉ，Ｅｕｒｏｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．６２（２００３）２９２．６６（２００２）０６５１０２（Ｒ）．Ａ．Ｅ．Ｍｏｔｔｅｒ．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．９３（２００４）０９８７０１．Ｐ．Ｃｒｕｃｉｔｔｉ．Ｖ．Ｌａｔｏｒａ，Ｍ．Ｍａｒｃｈｉｏｒｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６９（２００４）０４５１０４（Ｒ）．Ｒ．Ｋｉｎｎｅｙ，Ｐ．Ｃｒｕｃｉｔｔｉ，Ｒ．Ａｌｂｅｒｔ，Ｖ．Ｌａｔｏｒａ，Ｅｕｒ．Ｐｈｙｓ．Ｊ．Ｂ４６（２００５）１０１．Ｔ．Ｊ．Ｏｖｅｒｂａｙ，Ａｍ．Ｓｃｉｅｎｔｉｓｔ８８（２０００）２２０．ＥｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＲｏａｄｍａｐ，１９９９ＳｕｍｍａｒｙａｎｄＳｙｎｔｈｅｓｉｓ，ｂｙｔｈｅＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｅｐｒｉ．ｃｏｍ／ｃｏｒｐｏｒａｔｅ／ｄｉｓｃｏｖｅｒ＿ｅｐｒｉ／ｒｏａｄｍａｐ／３０４３０５３０６３０７３０８３０９３１０Ａ．一Ｌ．Ｂａｒａｂｓｉ，ＴｈｅＮｅｗＹｏｒｋＴｉｍｅｓ，Ａｕｇｕｓｔ１６，２００３．Ｓ．Ｈ．Ｓｔｒｏｇａｔｚ，ＴｈｅＮｅｗＹｏｒｋＴｉｍｅｓ，Ａｕｇｕｓｔ２５，２００３．Ｂ．Ａ．Ｃａｒｒｅｒａｓ，Ｖ．Ｅ．Ｌｙｎｃｈ，Ｉ．Ｄｏｂｓｏｎ，Ｄ．Ｅ．Ｎｅｗｍａｎ，Ｃｈａｏｓ１２（２００２）９８５．Ａ．Ｊ．Ｗｏｏｄ，Ｂ．Ｆ．Ｗｏｌｌｅｎｂｅｒｇ，ＰｏｗｅｒＧｅｎｅｒａｔｉｏｎ，ＯｐｅｒａｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，Ｗｉｌｅｙ，ＮｅｗＹｏｒｋ，１９８４．Ｘ．Ｆ．Ｗａｎｇ，Ｊ．Ｘｕ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ７０（２００４）０５６１１３．Ｋ．Ｋａｎｅｋｏ，ＣｏｕｐｌｅｄＭａｐＬａｔｔｉｃｅｓ，ＷｏｒｌｄＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃ，Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ，１９９２．ｔｏＲ．Ｎ．Ｍａｎｔｅｇｎａ，Ｈ．Ｅ．Ｓｔａｎｌｅｙ，ＡｎＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｓｉｔｙＰｒｅｓｓ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，２０００．Ｅｃｏｎｏｐｈｙｓｉｃｓ：ＣｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓａｎｄＣｏｍｐｌｅｘｉｔｙｉｎＦｉｎａｎｃｅ，ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒ—Ｄ．Ｊ．Ｗａｔｔｓ．Ｐｒｏｃ．Ｎａｔｌ．Ａｃａｄ．Ｓｃｉ．ＵＳＡ９９（２００２）５７６６．Ｙ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ａ．Ｖｚｑｕｅｚ，Ｅｕｒｏｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．５７（２００２）７６５．Ｐ．Ｂａｋ．Ｋ．Ｓｎｅｐｐｅｎ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．７１（１９９３）４０８３．Ｈ．Ｊｅｎｓｅｎ，Ｓｅｌｆ－ＯｒｇａｎｉｚｅｄＣｒｉｔｉｃａｌｉｔｙ，ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，ＮｅｗＹｏｒｋ，１９９８．Ｌ．ｄｅＡｒｃａｎｇｅｌｉｓ，Ｈ．Ｊ．Ｈｅｒｒｍａｎｎ，ＰｈｙｓｉｃａＡ３０８（２００２）５４５．万方数据·８６·复杂系统与复杂性科学２００６年１２月３１６３１７Ｋ．Ｉ．Ｇｏｈ，Ｄ．Ｓ．Ｌｅｅ，Ｂ．Ｋａｈｎｇ，Ｄ．Ｋｉｍ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．９１（２００３）１４８７０１．Ｆ．Ｃａｒｕｓｏ，Ｖ．Ｌａｔｏｒａ，Ａ．Ｒａｐｉｓａｒｄａ，Ｂ．Ｔａｄｉｃ，ｐｒｅｐｒｉｎｔｃｏｎｄ·ｍａｔ／０５０７６４３．『３１８『３１９『３２０３２１３２２Ｔ．Ｃ．Ｓｅｈｅｌｌｉｎｇ，Ｊ．ＣｏｎｆｌｉｃｔＲｅｓ０１．１７（１９７３）３８１．Ｖ．Ｊａｃｏｂｓｏｎ，Ｃｏｍｐｕｔ．Ｃｏｍｍ．Ｒｅｖ．１８（１９８８）３１４．Ｒ．Ｇｕｉｍｅｒ，Ａ．Ａｒｅｎａｓ，Ａ．Ｄａｚ—Ｇｕｉｌｅｒａ，Ｆ．Ｇｉｒａｌｔ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＴ．Ｏｈｉｒａ，Ｒ．Ｓａｗａｔａｒｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＲ．Ｖ．Ｓｏｌ，Ｓ．Ｖａｌｖｅｒｄｅ，ＰｈｙｓｉｃａＡＳ．Ｖａｌｖｅｒｄｅ，Ｒ．Ｖ．Ｓ０１６，ＰｈｙｓｉｃａＡＭ．Ａｒｇｏｌｌｏｄｅ６６（２００２）０２６７０４．５８（１９９８）１９３．２８９（２００１）５９５．『３２３『３２４３２５３１２（２００２）６３６．Ｍｅｎｅｚｅｓ，Ａ．一Ｌ．Ｂａｒａｂ６ｓｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．９２（２００４）０２８７０１．Ｓ．Ｖａｌｖｅｒｄｅ，Ｒ．Ｖ．Ｓ０１６，Ｅｕｒ．Ｐｈｙｓ．Ｊ．Ｂ３８（２００４）２４５．Ｂ．Ｔａｄｉ７ｃ，Ｇ．ｊ．Ｒｏｄｇｅｒｓ，Ａｄｖ．ＣｏｍｐｌｅｘＳｙｓｔｅｍｓｆ３２６３２７３２８３２９５（２００２）４４５．Ｂ．Ｔａｄｉ’ｃ，Ｓ．Ｔｈｕｒｕｅｒ，ＰｈｙｓｉｃａＡ３３２（２００４）５６６．Ｂ．Ｔａｄｉ’ｃ，Ｓ．Ｔｈｕｍｅｒ，Ｇ．Ｊ．Ｒｏｄｇｅｒｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６９（２００４）０３６１０２．Ｍ．Ｔａｋａｙａｓｕ，Ｈ．Ｔａｋａｙａｓｕ，Ｔ．Ｓａｔｏ，ＰｈｙｓｉｃａＡＢ．Ｔａｄｉ’ｃ．Ｓ．Ｔｈｕｒｎｅｒ，ＰｈｙｓｉｃａＡ２３３（１９９６）８２４．『３３０『３３１ｆ３３２３３３３３４３４６（２００５）１８３．Ａ．Ａｒｅｎａｓ，Ａ．Ｄ１＂ａｚ—Ｇｕｉｌｅｒａ，Ｒ．Ｇｕｉｍｅｒ６，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８６（２００１）３１９６．Ｒ．Ｇｕｉｍｅｒ６，Ａ．Ａｒｅｎａｓ，Ａ．Ｄｉａｚ—Ｇｕｉｌｅｒａ，ＰｈｙｓｉｃａＡ２９９（２００１）２４７．Ｒ．Ｇｕｉｍｅｒ６，Ａ．Ｄｔａｚ－Ｇｕｉｌｅｒａ，Ｆ．Ｖｅｇａ—Ｒｅｄｏｎｄｏ，Ａ．Ｃａｂｒａｌｅｓ，Ａ．Ａｒｅｎａｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８９（２００２）２４８７０１．Ｐ．Ｈｏｌｍｅ，Ａｄｖ．ＣｏｍｐｌｅｘＳｙｓｔｅｍｓ６（２００３）１６３．『３３５Ｐ．Ｅｃｈｅｎｉｑｕｅ，Ｊ．Ｇｍｅｚ—Ｇａｒｄｅｎｅｓ，Ｙ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ７０（２００４）０５６１０５．Ｐ．Ｅｅｈｅｎｉｑｕｅ，Ｊ．Ｇｍｅｚ—Ｇａｒｄｅｎｅｓ，Ｙ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｅｕｒｏｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．７１（２００５）３２５．Ｍ．Ｗｏｏｌｆ，ｅｔａ１．，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６６（２００２）０４６１０６．Ｂ．Ｋ．Ｓｉｎｇｈ，Ｎ．Ｇｕｐｔｅ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＢ．Ｋ．Ｓｉｎｇｈ，Ｎ．Ｇｕｐｔｅ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ［３３６ｒ３３７『３３８『３３９『３４０『３４１ｆ３４２３４３３４４６８（２００３）０６６１２１．７１（２００５）０５５１０３（Ｒ）．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｓｅｉ．３３０５（２００４）３２５．Ａ．Ｔ．Ｌａｗｎｉｃｚａｋ，Ｋ．Ｐ．Ｍａｘｉｅ，Ａ．Ｇｅｆｉｓｃｈ，Ｌｅｃｔ．ＮｏｔｅｓＪ．ｖｏｎＮｅｕｍａｎｎ，ＴｈｅｏｒｙｏｆＳｅｌｆ—ＲｅｐｒｏｄｕｃｉｎｇＡｕｔｏｍａｔａ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＩｌｌｉｎｏｉｓＰｒｅｓｓ，Ｕｒｂａｎａ，１９６６．Ｓ．ＷｏＩｆｒａｍ，ＣｅｌｌｕｌａｒＡｕｔｏｍａｔａａｎｄＣｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，Ａｄｄｉｓｏｎ—Ｗｅｓｌｅｙ，Ｒｅａｄｉｎｇ，ＭＡ，１９９４．Ｎ．Ｔ．Ｊ．Ｂａｉｌｅｙ，ＴｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＴｈｅｏｒｙｏｆＩｎｆｅｃｔｉｏｕｓＤｉｓｅａｓｅｓａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ＨａｆｎｅｒＰｒｅｓｓ，ＮｅｗＹｏｒｋ，１９７５．Ｒ．Ｍ．Ａｎｄｅｒｓｏｎ，Ｒ．Ｍ．Ｍａｙ，ＩｎｆｅｃｔｉｏｕｓＤｉｓｅａｓｅｓｉｎＨｕｍａｎｓ，ＯｘｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，Ｏｘｆｏｒｄ，１９９２．『３４５『３４６Ｊ．Ｄ．Ｍｕｒｒａｙ，ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＢｉｏｌｏｇｙ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，Ｂｅｒｌｉｎ，１９９３．Ｏ．Ｄｉｅｋｍａｎｎ，Ｊ．Ｈｅｅｓｔｅｒｂｅｅｋ，ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＥｐｉｄｅｍｉｏｌｏｇｙｏｆＩｎｆｅｃｔｉｏｕｓＤｉｓｅａｓｅｓ：ＭｏｄｅｌＢｕｉｌｄｉｎｇ，ＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＩｎｔｅｒｐｒｅｔａ—ｔｉｏｎ，Ｗｉｌｅｙ，ＮｅｗＹｏｒｋ，２０００．３４７３４８３４９３５０３５１３５２３５３３５４３５５３５６３５７３５８３５９３６０Ｈ．Ｗ．Ｈｅｔｈｃｏｔｅ，ＳＩＡＭＲｅｖ．４２（２０００）５９９．Ｐ．Ｇｒａｓｓｂｅｒｇｅｒ，Ｍａｔｈ．Ｂｉｏｓｃｉ．６３（１９８３）１５７．Ｈ．Ｊ．Ｈｅｒｒｍａｎｎ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｐ．３（１９８６）１５３．Ｊ．Ｍａｒｒｏ，Ｒ．Ｄｉｃｋｍａｎ，ＮｏｎｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍＰｈａｓｅＴｒａｎｓｉｔｉｏｎｓｉｎＬａｔｔｉｃｅＭｏｄｅｌｓ，ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，１９９９．Ａ．Ｌ．Ｌｌｏｙｄ，Ｒ．Ｍ．Ｍａｙ，Ｓｃｉｅｎｃｅ２９２（２００１）１３１６．６４（２００１）６６１１２．３２１（１９８８）５６５．Ｒ，Ｍ．Ｍａｙ，Ａ．Ｌ．Ｌｌｏｙｄ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＲ．Ｍ．Ｍａｙ，Ｒ．Ｍ．Ａｎｄｅｒｓｏｎ，Ｐｈｉｌ．Ｔｒａｎｓ．Ｒ．Ｓｏｃ．Ｌｏｎｄ．ＢＬＭ．Ｓａｎｄｅｒ，Ｃ．Ｐ．Ｗａｒｒｅｎ，Ｉ．Ｍ．Ｓｏｋｏｌｏｖ，Ｃ．Ｓｉｍｏｎ，Ｊ．Ｋｏｏｐｍａｎ，Ｍａｔｈ．Ｂｉｏｓｃｉ．１８０（２００２）２９３．Ｍ．Ｅ．Ｊ．Ｎｅｗｍａｎ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６６（２００２）叭６１２８．Ｆ．Ｌｉｌｊｅｒｏｓ，Ｃ．Ｒ．Ｅｄｌｉｎｇ，Ｌ．Ａ．Ｎ．Ａｍａｒａｌ，Ｈ．Ｅ．Ｓｔａｎｌｅｙ，Ｙ．Ａｂｅｒｇ，Ｎａｔｕｒｅ４１１（２００１）９０７．Ａ，Ｓｃｈｎｅｅｂｅｒｇｅｒ，ｅｔａ１．，Ｓｅｘｕａｌ．Ｔｒａｎｓｍｉｔｔ．Ｄｉｓ．３１（２００４）３８０．Ｙ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｒ．Ｐａｓｔｏｒ—Ｓａｔｏｒｒａｓ，Ａ．Ｖｅｓｐｉｇｎａｎｉ，Ｅｕｒ．Ｐｈｙｓ．Ｊ．Ｂ２６（２００２）５２１．Ｒ．Ｐａｓｔｏｒ—Ｓａｔｏｒｒａｓ，Ａ．Ｖｅｓｐｉｇｎａｎｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６５（２００２）０３５１０８（Ｒ）．Ｄ．一Ｕ．Ｈｗａｎｇ，Ｓ．Ｂｏｃｃａｌｅｔｔｉ，Ｙ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｒ．Ｌｏｐｅｚ—Ｒｕｉｚ，Ｍａｔｈ．Ｂｉｏｓｃｉ．Ｅｎｇ．２（２００５）３１７．万方数据第３卷第４期熊文海，等译：复杂网络：结构与动力学６５（２００２）０３６１０４·８７·３６１３６２３６３３６４３６５３６６３６７３６８３６９３７０３７１３７２３７３Ｒ．Ｐａｓｔｏｒ—Ｓａｔｏｒｒａｓ，Ａ．Ｖｅｓｐｉｇｎａｎｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅｚ．Ｄｅｚｓｏ，Ａ．一Ｌ．Ｂａｒａｂｓｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＰ．Ｐｉｏｔ，ｅｔａ１．，Ｎａｔｕｒｅ６５（２００２）０５５１０３Ｒ．４１０（２００１）９６８．Ｒ．Ｃｏｈｅｎ，Ｓ．Ｈａｖｌｉｎ，Ｄ．ｂｅｎ—Ａｖｒａｈａｍ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．９１（２００３）２４７９０１Ｐ．Ｈｏｌｍｅ，Ｅｕｒｏｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．６８（２００４）９０８．Ｖ．Ｍ．Ｅｇｕｌｕｚ，Ｋ．Ｋｌｅｍｍ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８９（２００２）１０８７０１．６６（２００２）４６１３７．Ｄ．Ｖｏｌｃｈｅｎｋｏｖ，Ｌ．Ｖｏｌｃｈｅｎｋｏｖａ，Ｐ．Ｂｌａｎｃｈａｒｄ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＹ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｊ．Ｂ．Ｇｍｅｚ，Ａ．Ｆ．Ｐａｃｈｅｃｏ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６８（２００３）３５１０３．Ｍ．Ｂｏｇｕｎａ，Ｒ．Ｐａｓｔｏｒ—Ｓａｔｏｒｒａｓ，Ａ．Ｖｅｓｐｉｇｎａｎｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．９０（２００３）２８７０１．１．Ｓｃｈｗａｒｔｚ，Ｌ．Ｂｉｌｌｉｎｇｓ，Ｅ．Ｂｏｌｈ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ７０（２００４）０４６２２０．Ｆ．Ｓ．Ｖａｎｎｕｃｃｈｉ，Ｓ．Ｂｏｃｃａｌｅｔｔｉ，Ｍａｔｈ，Ｂｉｏｓｃｉ．Ｅｎｇ．１（２００４）４９．Ｊ．Ｖｅｒｄａｓｃａ，ｅｔａ１．，Ｊ．Ｔｈｅｏｒｅｔ．Ｂｉ０１．２３３（２００５）５５３．Ｗ．Ｖｏｇｅｌｓ，Ｒ．ｖａｎＲｅｎｅｓｓｅ，Ｋ．Ｂｉｒｍａｎ，Ｔｈｅｐｏｗｅｒｏｆｅｐｉｄｅｍｉｃｓ：ｒｏｂｕｓｔｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｆｏｒｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄｓｙｓｔｅｍｓ，ｉｎ：ｔｈｅＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆＨｏｔＮｅｔｓ—Ｉ．Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ，ＮＪ，２００２．［３７４］Ａ．一Ｍ．Ｋｅｒｍａｒｒｅｃ，Ａ．Ｇａｎｅｓｈ，Ｌ．Ｍａｓｓｏｕｌｉｅ，ＩＥＥＥＴｒａｎｓ．Ｐａｒａｌｌ．Ｄｉｓｔｒ．Ｓｙｓｔ．１４（２００３）２４８．Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ［３７５］Ａ．Ｊ．Ｄｅｍｅｒｓ，Ｄ．Ｈ．Ｇｒｅｅｎｅ，Ｃ．Ｈａｕｓｅｒ，Ｗ．Ｉｒｉｓｈ，Ｊ．Ｌａｒｓｏｎ，Ｅｐｉｄｅｍｉｃｉｎ：ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＳｉｘｔｈＡｎｎｕａｌＡＣＭＳｙｍｐｏｓｉｕｍ３７６３７７３７８３７９Ｄ．Ｈ．Ｚａｎｅｔｔｅ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥｆｏｒＲｅｐｌｉｃａｔｅｄＤａｔａｂａｓｅＭａｉｎｔｅｎａｎｃｅ，ＰｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆＤｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，Ｖａｎｃｏｕｖｅｒ，Ｃａｎａｄａ，１９８７．６４（２００１）０５０９０１（Ｒ）．６７（２００３）０３１９１１．Ｚ．Ｌｉｕ，Ｙ．·Ｃ．Ｌａｉ，Ｎ．Ｙｅ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＤ．Ｊ．Ｄａｌｅｙ，Ｊ．Ｇａｎｉ，ＥｐｉｄｅｍｉｃＭｏｄｅｌｌｉｎｇ，ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，ＵＫ，２０００．Ｉ．Ｆｏｓｔｅｒ，Ｃ．Ｋｅｓｓｅｌｍａｎ（Ｅｄｓ．），ＴｈｅＧｒｉｄ：Ｂｌｕｅｐｒｉｎｔｆｏｒｃｏ，１９９９．ＦｕｔｕｒｅＣｏｍｐｕｔｉｎｇＩｎｆｒａｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ＭｏｒｇａｎＫａｕｆｍａｎ，ＳａｎＦｒａｎｃｉｓ—３８０３８１３８２３８３３８４３８５３８６３８７３８８３８９３９０３９１３９２３９３３９４３９５３９６３９７３９８３９９４００４０１４０２４０３Ｄ．Ｊ．Ｄａｌｅｙ，Ｄ．Ｇ．Ｋｅｎｄａｌｌ，Ｎａｔｕｒｅ２０４（１９６４）１１１８．Ｙ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｍ．Ｎｅｋｏｖｅｅ，Ａ．Ｖｅｓｐｉｇｎａｎｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．ＥＹ．Ｍｏｒｅｎｏ，Ｍ．Ｎｅｋｏｖｅｅ，Ａ．Ｆ．Ｐａｃｈｅｃｏ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６９（２００４）０５５１０１（Ｒ）．６９（２００４）０６６１３０．Ｄ．Ｈａｎｓｅｌ，Ｈ．Ｓｏｍｐｏｌｉｎｓｋｙ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．６８（１９９２）７１８．Ｆ．Ｐａｓｅｍａｎｎ，ＰｈｙｓｉｃａＤ１２８（１９９９）２３６．Ｈ．Ｇ．Ｗｉｎｆｕｌ，Ｌ．Ｒａｈｍａｎ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．６５（１９９０）１５７５．Ｒ．Ｌｉ，Ｔ．Ｅｒｎｅｕｘ，Ｏｐｔ．Ｃｏｍｍｕｎ．９９（１９９３）１９６．Ｒ．Ｌｉ．Ｔ．Ｅｒｎｅｕｘ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ４９（１９９４）１３０１．Ｋ．Ｏｔｓｕｋａ，Ｒ．Ｋａｗａｉ，Ｓ．Ｈｗｏｎｇ，Ｊ．Ｋｏ，Ｊ．Ｃｈｅｒｎ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８４（２０００）３０４９．Ｓ．Ｊａｎｋｏｗｓｋｉ，Ａ．Ｌｏｎｄｅｉ，Ｃ．Ｍａｚｕｒ，Ａ．Ｌｏｚｏｗｓｋｉ，Ｉｎｔ．Ｊ．Ｅｌｅｃｔｒｏｎ．７９（１９９５）８２３．Ｇ．Ｆｉｌａｔｒｅｌｌａ，Ｂ．Ｓｔｒａｕｇｈｎ，Ｐ．Ｂａｒｂａｒａ，Ｊ．Ａｐｐｌ．Ｐｈｙｓ．９０（２００１）５６７５．Ｃ．Ｈｕｇｅｎｉｉ，ＨｏｒｏｌｏｑｕｉｕｍＯｓｃｉｌａｔｏｒｉｕｍ，ＡｐｕｄＦ．Ｍｕｇｕｅｔ，Ｐａｒｉｓｉｉｓ，１６７３．Ｓ．Ｂｏｃｃａｌｅｔｆｉ，Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｄ．Ｌ．Ｖａｌｌａｄａｒｅｓ，Ｇ．Ｏｓｉｐｏｖ，Ｃ．Ｓ．Ｚｈｏｕ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｐ．３６６（２００２）１．Ｈ．Ｆｕｊｉｓａｋａ，Ｔ．Ｙａｍａｄａ，Ｐｒｏｇ．Ｔｈｅｏｒｅｔ．Ｐｈｙｓ．６９（１９８３）３２．Ｖ．Ｓ．Ａｆｒａｉｍｏｖｉｃｈ，Ｎ．Ｎ．Ｖｃｒｉｃｈｅｖ，Ｍ．Ｉ．Ｒａｂｉｎｏｖｉｃｈ，Ｒａｄｉｏｐｈｙｓ．ＱｕａｎｔｕｍＥｌｅｃｔｒｏｎ．２９（１９８６）７９５．Ｌ－Ｍ．Ｐｅｃｏｒａ，Ｔ．Ｌ．ＣａｒｒｏｌＩ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．６４（１９９０）８２Ｉ．Ｍ．Ｇ．Ｒｏｓｅｎｂｌｕｍ，Ａ．Ｓ．Ｐｉｋｏｖｓｋｙ，Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．７６（１９９６）１８０４．Ｅ．Ｒ．Ｒｏｓａ，Ｅ．Ｏｔｔ，Ｍ．Ｈ．Ｈｅｓｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８０（１９９８）１６４２．Ｍ．Ｇ．Ｒｏｓｅｎｂｌｕｍ，Ａ．Ｓ．Ｐｉｋｏｖｓｋｙ，Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．７８（１９９７）４１９３．Ｎ．Ｆ．Ｒｕｌｋｏｖ，Ｍ．Ｍ．Ｓｕｓｈｃｈｉｋ，Ｌ．Ｓ．Ｔｓｉｍｒｉｎｇ，Ｈ．Ｄ．Ｉ．Ａｂａｒｂａｎｅｌ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ５１（１９９５）９８０．Ｌ．Ｋｏｃａｒｅｖ．Ｕ．Ｐａｒｌｉｔｚ．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．７６（１９９６）１８１６．Ｓ．Ｂｏｃｃａｌｅｔｔｉ，Ｄ．Ｌ．Ｖａｌｌａｄａｒｅｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６２（２０００）７４９７．Ｍ．Ａ．Ｚａｋｓ，Ｅ．一Ｈ．Ｐａｒｋ，Ｍ．Ｇ．Ｒｏｓｅｎｂｌｕｍ，Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｆｔ．８２（１９９９）４２２８．Ｒ．Ｆｅｍａｔ，Ｇ．Ｓｏｌｉｓ—Ｐｅｒａｌｅｓ，Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ２６２（１９９９）５０．万方数据·８８·复杂系统与复杂性科学２００６年１２月４０４４０５４０６４０７４０８４０９４１０４ｌｌＤ．Ｈ．Ｚａｎｅｔｔｅ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ５５（１９９７）５３１５．Ｐ．Ｐａｒｍａｎａｎｄａ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ５６（１９９７）１５９５．Ａ．Ａｍｅｎｇｕａｌ，Ｅ．Ｈｅｍｎｄｅｚ—Ｇａｒｃａ，Ｒ．Ｍｏｎｔａｇｎｅ，Ｍ．ＳａｎＭｉｇｕｅｌ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．７８（１９９７）４３７９Ｓ．Ｂｏｃｃａｌｅｔｔｉ，Ｊ．Ｂｒａｇａｒｄ，Ｆ．Ｔ．Ａｒｅｃｃｈｉ，Ｈ．Ｌ．Ｍａｎｃｉｎｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８３（１９９９）５３６．Ｈ．Ｃｈａｔ，Ａ．Ｐｉｋｏｖｓｋｙ，Ｏ．Ｒｕｄｚｉｃｋ，ＰｈｙｓｉｃａＤ１３１（１９９９）１７．Ｓ．Ｂｏｃｃａｌｅｔｔｉ，Ｄ．Ｌ．Ｖａｌｌａｄａｒｅｓ，Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｄ．Ｍａｚａ，Ｈ．Ｍａｎｃｉｎｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６１（２０００）３７１２．Ｃ．Ｓｅｈａｆｅｒ，Ｍ．Ｇ．Ｒｏｓｅｎｂｌｕｍ，Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ｈ．Ｈ．Ａｂｅｌ，Ｎａｔｕｒｅ３９２（１９９８）２３９．Ｐ．Ｔａｓｓ，Ｍ．Ｇ．Ｒｏｓｅｎｂｌｕｍ，Ｍ．Ｇ．Ｗｅｕｌｅ，Ｊ．Ｋｕｒｔｈｓ，Ａ．Ｐｉｋｏｖｓｋｙ，Ｊ．Ｖｏｌｋｍａｎｎ，Ａ．Ｓｃｈｎｉｔｚｌｅｒ，Ｈ．Ｊ．Ｆｒｅｕｎｄ，Ｐｈｙｓ．ＲｅｖＬｅｔｔ．８１（１９９８）３２９１．［４１２］Ｇ．Ｄ．ＶａｎＷｉｇｇｅｒｅｎ，Ｒ．Ｒｏｙ，Ｓｃｉｅｎｃｅ２７９（１９９８）１１９８．［４１３］Ａ．Ｎｅｉｍａｎ，Ｘ．Ｐｅｉ，Ｄ．Ｒｕｓｓｅｌｌ，Ｗ．Ｗｏｊｔｅｎｅｋ，Ｌ．Ｗｉｌｋｅｎｓ，Ｆ．Ｍｏｓｓ，Ｈ．Ａ．Ｂｒａｕｎ，Ｍ．Ｔ．Ｈｕｂｅｒ，Ｋ．Ｖｏｉｇｔ，Ｐｈｙｓ．ＲｅｖＬｅｔｔ．８２（１９９９）６６０．４１４４１５４１６４１７４１８４１９４２０４２１４２２＇４２３４２４４２５４２６４２７４２８４２９４３０４３１４３２４３３４３４４３５４３６４３７４３８４３９４４０４４ｌ４４２４４３４４４４４５４４６４４７Ｄ．Ｍａｚａ，Ａ．Ｖａｌｌｏｎｅ，Ｈ．Ｍａｎｃｉｎｉ，Ｓ．Ｂｏｃｃａｌｅｔｔｉ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８５（２０００）５５６７．Ｇ．Ｍ．Ｈａｌｌ，Ｓ．Ｂａｈａｒ，Ｄ．Ｊ．Ｇａｕｔｈｉｅｒ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．８２（１９９９）２９９５．Ａ．Ｒ．Ｙ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作者：作者单位：
S.Boccaletti， V.Latora， Y.Moreno， M.Chavezf， D.-U.Hwang， 熊文海， 赵继军S.Boccaletti,D.-U.Hwang(CNR-Istituto dei Sistemi Complessi, Largo E. Fermi,650125 Florence, Italy)， V.Latora(Dipartimento di Fisica e Astronomia,Universit(a) di Catania, Via S. Sofia, 6495123 Catania, Italy;Instituto
Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Catania, Via S. Sofia, 6495123 Catania,Italy)， Y.Moreno(Instituto de Biocomputación y Física de Sistemas Complejos,Universidad de Zaragoza, Zaragoza 50009, Spain;Departamento de Fisica Teórica,Universidad de Zaragoza, Zaragoza 50009, Spain)， M.Chavezf(Laboratoire de
Neurosciences Cognitives et Imagerie Cérébrale (LENA) CNRS UPR-640, H(o)pital dela Salpêtrière.47 Bd.de l'H(o)pital, 75651 Paris CEDEX 13, France))， 熊文海,赵继军(青岛大学复杂性科学研究所,山东,青岛,266071)复杂系统与复杂性科学
COMPLEX SYSTEMS AND COMPLEXITY SCIENCE2006，3(4)1次
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