高中数学知识清单

一、集合与简易逻辑

1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：x|ylgx与y|ylgx及

(x,y)|ylgx的区别

2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，如：集合的交、并、补等运算

3.判断命题的真假要以真值表为依据。在四种命题中，原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与否命题是等价命题 ；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题（即逆否命题）的真假 4.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若AB，则A是B的充分条件（B是A的必要条件）；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系“ABBA”判断

5.（1）含n个元素的集合的子集个数为2，真子集（非空子集）个数为2－1； （2）ABABAABB;

（3）CI(AB)CIACIB,CI(AB)CIACIB;

二、函数

1.函数与映射概念的相同点和不同点：函数是针对非空数集，而映射是针对任何集合；相同点是都要求A中的任一元素在B中都有唯一元素与之对应；注意理解象、原象、一一映射等定义；判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象

2.函数的奇偶性

（1）函数奇偶性的概念，注意对定义域是否关于原点对称的优先判断，如：判断函

nn1x2数y的奇偶性

|x2|2(2)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，如上例 （3）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=f(x)，如：已知偶函数f(x)在区间

0,)单调递增，则满足f(2x1)＜f(3)的x 取值范围是 （3，3）

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（4）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)0（可用于求参数），如：已知

函数f(x)a11a为奇函数，求的值（） a22x1（5）判断函数奇偶性可用定义的等价变形：f(x)±f(-x)=0或

f(x)（f(x)≠0），1f(x)如：函数f(x)=lg(x21x)是 （奇、偶）函数

（6）奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性； 3.函数图像

(1)函数图像的对称性，尤其要记住几种特殊的对称关系，如：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于y=x对称、关于y=-x对称等

（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上的任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然，如：已知函数f(x)2x23x1，函数g（x）的图像与f(x)图像关于直线x=2对称，求函数g（x）的解析式（g（x）=2x19x45） （3）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)= 0 如：已知函数f(x)2x3x1，函数g（x）的图像与f(x)图像关于点（1，2）对称，求函数g（x）的解析式（g（x）=2x11x11）

（4）若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；一般地，有f(a+x)=f(b－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=

222ab对称 24.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；有f(x +a)=-f(x)或f(x)=1，则y=f(x)也是

f(xa)周期为2|a|的周期函数；一般地，f(x +a)=f(x+b)，则y=f(x)是周期为|a-b|的周期函数；如：已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且满足

f(x)=-f(x2)，则f(1)f(2)f(8) （0）

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（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；

（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；

（4）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2ab的周期函数

5.方程f(x)=k有解k∈D(D为f(x)的值域)；如：若方程x33xm0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是 [-2,2]

6.a≥f(x) 恒成立a≥［f(x)］max,; a≤f(x) 恒成立a≤［f(x)］min，如：设f(x)x312x2x5，当x[1,2]时，f(x)m恒成立，则实数m的 2取值范围为 (7,)

7.(1)指数、对数的基本运算公式（见书上） （2）logabloganb (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (3)logaN=

nlogbN( a>0,a≠1,b>0,b≠1)(换底公式) logba(4) logaN的符号由口诀“同正异负”记忆(即a,N同大于1或同小于1,则对数值为正,而a,N一个大于1,一个小于1,则对数值为负) (5) (对数恒等式)alogaN= N ( a>0,a≠1,N>0 );

8.能熟练地用定义证明函数的单调性，尤其是抽象函数的单调性，如：定义在R上的函数y=f（x），对任意实数m、n，恒有f（m+n）=f（m）·f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1.（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；

（2）求证：f（x）在R上递减

9．求反函数时，不要忘记写出反函数的定义域（即原函数的值域） 10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系；如：已

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知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x-2bx+

2

b，求f(x)的最小值g(b) 4y12.掌握函数函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 axbbacaa(bac0);yx(a0)xcxcx的图象和性质；

yaxbbaca（分离常数） xcxcyxa(a0)（双钩函数） x(,c)(c,) (,a)(a,) 非奇非偶函数 (,0)(0,) (,2a][2a,) 奇函数 当b-ac>0时，在(,c),(c,)上递减 在(,a],[a,)上递增； 当b-ac<0时，在(,c),(c,)上递增 在[a,0),(0,a]上递减； 图象 y=a y y x=－c o x o x 2f(x)axbxc0(a0)的两根x,x的分布问题：13．实系数一元二次方程 12根的情况 x1x2k 等价命题 在(k,)上有两根 mx1x2n 在(m,n)上有两根 x1kx2 在(k,)和(,k)上各有一根 0充要条件 f(k)0bk2a 0f(m)0f(n)0mbn2a f(k)0 注意：若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)0有实数解的情况，可先利用在开区间

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(m,n)上实根分布的情况，得出结果，在令xn和xm检查端点的情况。

14.复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。如：函数yf(x3) 的定义域为[4，7]，则yf(x2)的定义域为 [－２，－１]∪［１，２］

（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定，如：函数ylog1(x26x8)的

2单调递减区间为 （２，３］，函数fxloga2ax在0，1上是减函数，则a的取值范围是 （1，2） 15.函数y=|f(x)|与函数y=f(|x|)的图像及其应用 三、数列

1.由Sn求an，an={

S1(n1)SnSn1(n2) 注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若

不符合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系式的数列问题均可考虑用上述公式。如：若数列{an}的前n项的和Sn为 （an23）

2. 若数列{an}是一个等差数列，公差为d，则等差数列

n3an3，那么这个数列的通项公式2｛an｝an1and(d为常数）2anan1an1(n2)ananbsnAn2Bn

3. 若数列{an}是一个等比数列，公比为q，则等比数列

｛an｝an1q(q为常数）an2an1an1(n2)ana1qn1Skqnk ann第 5 页 共 11 页

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4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问

an0an0或a0a0n1n1解决，或者转化为找数列正负项问题，题，转化为解不等式

所有非负数项最大（所有非正数项最小）

5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想，如对q≠1的讨论

6. 在等差数列中，

anam(nm)d，

danamnm；在等比数列中，

anamqnm,qnmanam; aanapaq7. 当mnpq时，对等差数列有m；对等比数列有amanapaq；

8.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+pbn}(k、p是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列； 9. 若{an}为等差（比）数列，则

Sn,S2nSn,S3nS2n,也是等差（比）数列；

10. 在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，时，

S偶－S奇nd；项数为奇数2n1S奇S偶a中（即an）；

11.若递推数列an=kan1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:

anbbk(an1)k1k1(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出通项公式

12.形如anan1f(n)(n≥2)的数列求通项用迭加；形如

ang(n)(n≥2)的an1数列求通项用迭乘 四、三角函数

1.各个三角函数的定义，以及三角函数线，各三角函数在各象限的符号的判断 2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”口诀

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3.记住同角三角函数的基本关系，能够“知一求五”

4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍角公式，并能熟练用这些公式对三角函数式化简，熟练掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、性质，并能熟练求出三角函数的周期、对称轴、对称中心、单调区间、最值等 5.熟练掌握形如yAsin(x)b的图像变换关系

6.熟练掌握正余弦定理，并能用其进行边角互化，在处理三角形内的三角函数问题时，勿忘三角形内角和等于180，以及大角对大边等条件，如：锐角ABC，若

B2A，则

7.正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点；正(余)切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与x轴的交点，但没有对称轴。

b的值范围是

(2,3)ax)|的周期是函数yAsin(x)周期的一半；函数8. 函数y|Asin(y|Atan(x)|与函数yAtan(x)的周期相等

五、平面向量

1.向量的定义，包括单位向量、零向量、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量等

2、两个向量的加法、减法、数乘的运算法则

3.两个向量平行的充要条件：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。（1）向量式：

a∥b(b≠0) a=b;（2）坐标式：a∥b (b≠0) x1y2－x2y1=0;

2.两个向量垂直的充要条件：设a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：a⊥b (b≠0) ab=0（2）坐标式：a⊥bx1x2+y1y2=0;

3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2，其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积； 4.平面向量数量积的坐标表示：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)

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22（1）模长公式|a|=x1y1 （2）夹角公式cos=ab|a||b| 六、不等式

1.掌握不等式性质，注意使用条件；

2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分段法

3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b≥2ab(a>0,b>0)时要符合“一正

a2b2ab2ab2();ab()222二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如；如：求函数ysinx4，x(0,]的最小值 （5） sinx2七、直线、平面、简单几何体

1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；

2.线面角公式：AB是平面的一条斜线，斜足为A，AB在平面内的射影为AB，设 AB和平面所成的角是1，AC是平面内任一条直线，AC和AB的射影AB所

''成的角是2，设∠BAC=θ,则cos1cos2=cosθ；

3.异面直线所成角的求法：

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； （3）向量法：即求两异面直线所对应的向量的夹角 4.直线与平面所成的角

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键； 5.二面角的求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

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（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直； （4）射影法：利用面积射影公式S射＝S原cosθ,其中θ为二面角的平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 6.空间角的向量求法 7.空间距离的求法

（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；

（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；

（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；

8.距离求法的统一公式d|ABn||n| 9.正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；

43R2S4R310.球的体积公式V=，表面积公式；掌握球面上两点A、B间的距

离求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角∠AOB的弧度数；(3)用弧长公式

计算劣弧AB的长；

八、排列组合二项式定理和概率 1.两个计数原理的应用

mAn2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)„(n-m＋1)=(nm)!(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为nAn全排列=n(n-1)„241;

mAnn(n1)(nm1)C0nCC1； m!m(m1)(m2)321nn3.组合数公式：（m≤n）,

mnn!mnmrr1rCC;CCCnnnn1ﾛ 4.组合数性质：nrnrrTCab(r0,1,2,...,n); r1n5.二项式定理：（1）掌握二项展开式的通项：

（2）注意第r＋1项二项式系数与第r＋1系数的区别；

6.二项式系数具有下列性质：

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（1）与首末两端等距离的二项式系数相罉；

nn（2）若n为偶数，中间一项（第＋1项）的二项式系数最大为Cn2；若n为奇

2n1n1n1n11和数，中间两项（第＋1项）的二项式系数最大为Cn2和Cn2 22012nn0213n1CCCC2;CCCC2; nnnnnnn（3）n1[f(1)f(1)]n27.f(x)=(axb)展开式的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为；1[f(1)f(1)]偶数项的系数和为2

n8.等可能事件的概率公式：（1）P（A）＝m；（2）互斥事件分别发生的概率公式为：

P(A+B)=P(A)+P(B)；（3）相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；

kknkCp(1p);(5)如果事件A、B互斥，那么事n（4）独立重复试验概率公式P=

件A与B、A与B及事件A与B也都是互斥事件；（6）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（7）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；

九、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差

1.掌握抽样的二种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；

2.（理科）掌握分布列的求法，掌握期望和方差，并能利用期望和方差的数据进行简单的数据分析。

3.（文科）掌握平均数、方差等的求法 十、（理科）极限与数学归纳法

1． 熟练掌握数学归纳法的原理及步骤 2． 熟练求解常见数列和函数的极限

3． 掌握函数连续性的含义，并能据此就含参函数的求解 十一、导数及应用

1.导数的物理背景以及导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作

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yxx0f(x0)limx0f(x0x)f(x0)x；

2.导数的几何意义：曲线y＝f（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率就是在P点处的导数值

f(x0).，相应地，切线方程是yy0f(x0)(xx0);

mm-1C0(C为常数);(x)mx(mQ); 3.常见函数的导数公式：

4．（理科）熟练掌握几种常见函数的导数公式（见书上）

5.导数的应用：

（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果

f(x)0,那么f(x)为增函数；如果f(x)0,那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f(x)0,那么f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数f(x)；②求方程f(x)0的根；③检验f(x)在方程f(x)0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个

根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；

（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。

如：函数f(x)x3ax2bxc，过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y3x1

32（1）若yf(x)在x2时有极值，求f (x)的表达式；（f(x)x2x4x5）

（2）在（1）的条件下，求yf(x)在[3,1]上最大值；（13）

（3）若函数yf(x)在区间[2,1]上单调递增，求b的取值范围（b≥0）

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