高中数学知识清单完整版

〔1〕集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

〔2〕元素与集合的关系有且仅有两种：属于〔用符号“〞表示〕和不属于〔用符号“〞 表示〕。

〔3〕常用数集及其表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 〔非负整数集〕 符号 N N* Z Q R 〔4〕集合的表示法：列举法；描述法；图示法。

二、集合间的根本关系

表示 关系 定义 记法 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 AB 集合 间的 子集 集合A中任意一元素都在集合B中 AB或BA 根本 关系 集合真子集 A中任意一元素都在集合B中，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 空集〔没有任何元空集是任何集合的子集 A 素的集合〕 空集是任何集合的真子集

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三、集合的根本运算

集合的并集 集合的交集 集合的补集 B假设全集为集合A的共U，集合符号和集合B的所集合A和集合A是U的子表示 有元素，记作AB 同元素，记作AB 集，集合U除去集合A中所有的元素，剩余的所有元素，记作CUA 图形表示 意义 ABxxAABxxA或xB 且xB CUAxxU且xA (1)AA; (1)A; (1)ACUAU; (2)AAA; (2)AAA; (2)ACUA; 性质 (3)ABBA; (3)ABBA; (3)CUCUAA; (4) ABA (4) ABA (4)CUABCUACUB BA AB (5)CUABCUACUB

知识拓展：

设有限集合A中元素的个数为n，那么〔1〕 〔1〕A的子集个数是2n； 〔2〕A的真子集个数是2n-1； 〔3〕A的非空子集个数是2n-1； 〔4〕A的非空真子集个数是2n-2。

一、不等式的定义

用数学符号“ 、 、 、 、 〞连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。 二、不等式的根本性质

性质 性质内容 注意 对称性 abba  传递性 ab,bcac  可加性 abacbc  abc0acbc 可乘性 c 的符号 abc0acbc ab同向可加性 cdacbd  ab0同向同正可乘性 cd0acbd  可乘方 ab0anbnnN,n1  可开方 ab0nanbnN,n2 同正 三、比拟大小的根本方法 作差法：

理论依据：ab0ab;ab0ab;ab0ab。 根本步骤： 〔1〕作差；

〔2〕变形〔方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指数对数的恒等变形〕；

〔3〕结论〔与0比拟〕。

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四、不等式的解法

1、一元一次不等式组〔ab〕： 〔1〕xa 的解集为xbxxb； 〔2〕xa的解集为xbxxa；

〔3〕xa的解解为xbxaxb；〔4〕xaxb的解集为

2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式

b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0) 的图像 一元二次方程 有两个相等实根 ax2bxc0 有两个不相等实根 b没有实数根 2(a0)的根 x1,x2x1x2 x1x2a ax2bxc0 (a0)的解集 xxx或xxb12 xx2a R ax2bxc0 (a0)xxx1或xx2 R  的解集 ax2bxc0 (a0)xx1xx2   的解集 ax2bxc0 (a0)的解集 xx1xx2 bxx2a  3、绝对值不等式

〔1〕当a0时，有xaxxa或xa；xaxaxa； 〔2〕当a0时，有x0xx0； x0；

〔3〕当a0时，xaxR； xa； 〔4〕当a0时，有

cxdaxcxda或cxda； cxdaxacxda.

〔5〕当a0时，有

cxd0xcxd0； cxd0。

〔6〕当a0时，有

cxdaxR；cxda。

4、分式不等式 〔1〕

fxfgx0x*gx0gx0 ；

〔2〕fxfx*ggx0x00 gx〔3〕

fxgx0fx*gx0 〔4〕

fxgx0fx*gx0 一、函数的概念 1、定义

〔1〕两个非空的数集A、B；

〔2〕如果按照某种确定关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx 和它对应；

〔3〕称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yfx,xA。 2、函数的定义域、值域

〔1〕定义域：自变量x的取值范围；

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〔2〕值域：与x相对应y的取值范围。

3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。 二、函数的相关结论

1、相等函数：定义域相同，并且对应关系相同。 2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。

3、分段函数：自变量x的取值范围不同，需要不同的对应法那么。 〔1〕定义域：各个局部的并集； 〔2〕是一个函数；

〔3〕求fx，要判断自变量x在哪个范围内，在代入相应的表达式。

4、求函数定义域的方法：

〔1〕函数解析式，求函数定义域，即整式为R；分母0；偶次根式下0；奇次根式为R；0次幂底0；指数为R；对数0 。

〔2〕假设函数fx的定义域为a,b ，那么函数fgx 的定义域由agxb求出。 〔3〕假设函数fgx的定义域为a,b，那么函数fx的定义域为gx 在xa,b时的值域。

5、求函数解析式的方法

〔1〕待定系数法：假设fx 的解析式类型，设出它的一般式，根据特殊值，确定相关系数即可；

例1、fx是一次函数，且ffx4x3 ，那么fx的解析式。

〔2〕换元法：设tgx ，解出x ，代入fgx，求ft的解析式即可；

〔3〕解方程组法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于fx 的方程组求出

fx ；

例2、函数fx2f1xx ，求fx的解析式。 〔4〕赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。

例3、f01 ，对任意的实数x,y 都有fxyfxy2xy1 ，求fx的解析式。

一、函数的单调性 1、单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数fx 的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x定义 1,x2 ， 当x1x2 时，都有fx1fx2，那么当x1x2 时，都有fx1fx2，那就说函数fx在区间D上是增函数。 么就说函数fx在区间D上是增函数。 2、单调区间的定义 假设函数fx在区间D上是增函数或减函数，那么称函数fx在这一区间上具有单调性，区间D叫做fx的单调区间。 3、判断〔证明〕单调性的方法

〔1〕图像法：在区间D上，图像呈上升趋势，那么函数在区间D上是增函数；反之，图像呈下降趋势，那么函数在区间D上是减函数。 〔2〕利用定义证明函数单调性的步骤： a. 任取x1,x2D，且x1x2； b. 作差fx1fx2；

c. 变形〔通分、因式分解、配方法、分母分子有理化〕； d. 定号〔即判断fx1fx2的正负，和“0〞比拟〕； e. 下结论〔即指出函数fx在给定的区间上的单调性〕。 4、几种初等函数单调性的判断〔证明〕 〔1〕一次函数ykxb(k0),xR

解〔证明〕： 在定义域R上任取x1,x2R,且x1x2，那么

fx1fx2(kx1b)kx2b

k(x1x2)

x1x2x1x20

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当k0时，有

fx1fx2k(x1x2)0 即 fx1fx2 故函数ykxb在R上是增函数。

而当k0时，有

fx1fx2k(x1x2)0 即 fx1fx2 故函数ykxb在R上是减函数。 〔2〕二次函数yax2bxca0 解：单调区间为,b2a ，b2a, ,当a0时，函数在,b2a是减函数；在b2a,上是增函数；当a0时，函数在,b2a是增函数；在b2a,上是减函数

证明函数yax2bxca0在,bb2a是减函数；在2a,上是增函数。 证明：a. 在,b2a上任取x1,x2,且x1x2，那么 f(xx221)f2ax1bx1cax2bx2cax221ax2bx1bx2ax221x2bx1x2

ax1x2x1x2bx1x2x1x2ax1x2bx1x2x1x20

又

x1b2a,xb22a x1x2b2abb2a,x1x2a 又

a0,ax1x2b

ax1x2b0

f(x1)fx2x1x2ax1x2b0

即 f(x1)fx2

故函数yax2bxca0在b,2a是减函数。

b.在b2a,上任取x1,x2,且x1x2，那么 f(x221)fx2ax1bx1cax2bx2cax221ax2bx1bx2ax221x2bx1x2ax1x2x1x2bx1x2x1x2ax1x2bx1x2x1x20

又

xb12a,xb22a xbb2a2a,xxb1x212a

又

a0,ax1x2b

ax1x2b0

f(x1)fx2x1x2ax1x2b0

即 f(x1)fx2

故函数yax2bxca0在b2a,是减函数。 .

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〔3〕反比例函数ykx(k0) 解：单调区间为,0 ，0,，当k0时，函数在,0和0,上都为减函数；当

k0时，函数在,0和0,上都为增函数。

证明函数ykx(k0)在,0上是减函数；在0,上是减函数。 证明：在,0上任取x1,x2,且x1x2，那么

f(xkk1)fx2x1x2

kx2kx1x

1x2kx2x1x1x2x1x2x2x10

又k0,kx2x10

又

x10,x20，x1x20

f(xkx2x11)fx2x0

1x2即 f(x1)fx2 故函数ykx(k0)在,0上是减函数。 〔4〕指数函数yax ，当0a1 时，在R上是减函数；当a1时，在R上是增函数。 证明：a. 在定义域R上任取x1,x2R,且x1x2，那么

f(x1)ax1x2fxx2ax1 2a

x1x2,x1x20

又

0a1,ax1x21

即

f(x1)fx1 2故 f(x1)fx2 所以函数yax0a1 在R上是减函数。 b. 在定义域R上任取x1,x2R,且x1x2，那么

f(x1)ax1x1x2fxx2a 2ax1x2,x1x20

又

a1,ax1x21

即

f(x1)fx1 2故 f(x1)fx2 所以函数yax0a1 在R上是增函数。

例1 讨论函数fxaxx21a0 在1,1上的单调性。解：任取x1,x21,1，且x1x2，那么

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f(x1)fx2ax1axx21221x21ax1x221ax22x11x211x221ax21x2ax1ax2

2x1ax2x2211x2122

ax1x2ax2x1ax2ax1x211x221ax1x2x2x1ax2x1x211x221ax2x1x1x21x211x2211x1x21

x2x10,x1x210,x2211x210

又a0,fx1fx20 故函数fxaxx21a0在1,1上为减函数。

二、函数的奇偶性

1、奇函数、偶函数的概念 奇偶性 定义 图像特点 如果对于函数f偶函数 x 的定义域内任意一个x，都有关于fxy 轴对称 fx ，那么函数fx是偶函数。 如果对于函数fx 的定义域内任意一个x，都有奇函数 fxf关于原点对称 x ，那么函数fx是奇函数。 2、判断〔证明〕函数的奇偶性的步骤

〔1〕求函数定义域，判断定义域是否关于原点对称； 〔2〕求fx；

〔3〕判断fx是否等于fx或fx：

a. 假设fxfx，那么fx是偶函数； b. 假设fxfx,那么fx是奇函数；

c. 假设fxfx且fxfx,那么fx既是偶函数又是奇函数； d. 假设fxfx且fxfx,那么fx既不是偶函数也不是奇函数； 例2 判断以下函数的奇偶性 〔1〕fx1x1x1x 〕fx4x2〔2x33

〔3〕fxx22x1(x0),x22x1(x0);

解：〔1〕因为要使函数有意义，要满足

1x1x0，即 1x0 或1x0 1x01x0解得 1x1

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由于定义域关于原点不对称，所以函数fx既不是偶函数也不是奇函数。

〔2〕因为要使函数有意义，要满足4x20x330

解得 2x2 且x0 所以函数的定义域关于原点对称。

fx4x24x2x33x

2又fx4x4x2xx

fxfx ，即函数是奇函数。

〔3〕函数的定义域为xx0 ，关于原点对称，

当x0时，x0,fxx22x1x22x1fx，

当x0时，x0,fxx22x1x22x1fx，

fxfx ，即函数是奇函数

三、二次函数

1、二次函数的定义

形如fxax2bxc(a0) 的函数叫做二次函数。 2、二次函数的三种表示形式

〔1〕一般式：fxax2bxc(a0)；

2〔2〕顶点式：fxab4acb2x2a4a(a0)； 〔3〕两根式：fxaxx1xx2(a0)。 3、二次函数的图象和性质 解析式 fxax2bxc(a0) fxax2bxc(a0) 图象 定义域 R R 值域 4acb24, 4a,acb24a 最值 fx4acb2b2min4a fx4acmax4a 在,b2a 上单调递减，在在,b2a 上单调递增，在单调性 b,上单调递增 2ab2a,上单调递减 奇偶性 当b0 时为偶函数；当b0时为非奇非偶函数 顶点坐标 b2a,4acb24a 对称性 图像关于直线xb2a对称 .

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四、幂函数

1、幂函数的定义

形如yx 的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数。 2、幂函数的性质

〔1〕当0 时，幂函数yx有以下性质： a. 图像都通过点0,0,1,1 ；

b. 在第一象限内，函数值随x的增大而增大。 〔2〕当0 时，幂函数yx有以下性质： a. 图像都通过点1,1 ；

b. 在第一象限内，函数值随x的增大而减小

例1 假设函数fx是幂函数，且满足f43f2，求〔1〕fx的函数表达式；〔2〕求f12。 解：设fxx，

f43f2,43*2 ，223*2 ，

即23，故log23 ，log23所以fxxlog23，那么f112=

22log2313。 例2 幂函数fxxm22m3mZ为偶函数，且在区间0,上是单调增函数，求fx的

函数表达式 解：

fx在区间0,上是单调增函数

m22m30 ，即m22m30

1m3, 又mZ,m0,1,2

当m0,2时，fxx3不是偶函数，而当m1 时，fxx4是偶函数

fxx4 。

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