高中数学基础知识汇总[1]

第一部分 集合

3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n－2； （2）ABABAABB; 注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况。 4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数

1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式

aba2b2； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、ab22x绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（a、sinx、cosx等）；

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ．．．．⑵f(x)是奇函数f(－x)=－f(x)；f(x)是偶函数f(－x)= f(x) ⑶奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)0；

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：

①f(x)在区间M上是增函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2)； ②f(x)在区间M上是减函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2)； ⑵单调性的判定

① 定义法：一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(xT)f(x) （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期

①ysinx:T2 ；②ycosx:T2 ；③ytanx:T； ④yAsin(x),yAcos(x):T(3)与周期有关的结论

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2 ；⑤ytanx:T；

||||新课标高中数学基础知识归纳

f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0) f(x)的周期为2a；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：yx （R) ；⑵指数函数：yax(a0,a1)； ⑶对数函数:ylogax(a0,a1)；⑷正弦函数:ysinx；

2⑸余弦函数：ycosx ；（6）正切函数：ytanx；⑺一元二次函数：axbxc0；

⑻其它常用函数：

① 正比例函数：ykx(k0)；②反比例函数：y9．二次函数： ⑴解析式：

①一般式：f(x)ax2bxc；②顶点式：f(x)a(xh)2k，(h,k)为顶点； ③零点式：f(x)a(xx1)(xx2) 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素： ①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

ka(k0)；③函数yx(a0)； xxb4acb2b二次函数yaxbxc的图象的对称轴方程是x，顶点坐标是，2a4a2a2。 10．函数图象： ⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ)yf(x)yf(xa)，(a0)———左“+”右“－”； ⅱ)yf(x)yf(x)k,(k0)———上“+”下“－”；

yf(x)；ⅱyf(x)yf(x)； ② 对称变换：ⅰyf(x)xf(y)； ⅲ yf(x)yf(x)； ⅳyf(x)③ 翻转变换：

ⅰ)yf(x)yf(|x|)———右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）； ⅱ)yf(x)y|f(x)|———上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数yf(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数yf(x)与yg(x)图象的对称性，即证明yf(x)图象上任意点关于对称中心（对

x0yx(0,0)y0第 2 页

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称轴）的对称点在yg(x)的图象上，反之亦然；

注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0; ②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0; 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0; 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0 ③f(a+x)=f(b－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=

ab对称； 2特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=a对称； 12．函数零点的求法：

⑴直接法（求f(x)0的根）；⑵图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

180)5718' 1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1弧度，1弧度(180⑵弧长公式：lR；扇形面积公式：S121RRl。 222．三角函数定义:角α中边上任意一P点为(x,y),设|OP|r则：siny,cosx,tany

rrx3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”； 5．⑴yAsin(x)对称轴：xk2；对称中心：(kk,0)(kZ)； ,0)(kZ)；

2⑵yAcos(x)对称轴：

xk；对称中心：(6．同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x1;7．三角函数的单调区间：

sinxtanx； cosxx的递增区间是2k ysin2，2k2(kZ)，递减区间是

3(kZ)；ycosx的递增区间是2k，2k(kZ)，递减区间是2k，2k222k，2k(kZ)，ytgx的递增区间是k，k(kZ)，yctgx的递减区间

22是k，k(kZ)。

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sincoscossin;

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②cos()coscossinsin;③tan()9．二倍角公式：①sin22sincos；

2222②cos2cossin2cos112sin；③tan2tantan 。

1tantan2tan。 21tan(sincos)212sincos1sin2

11。几个公式:

⑴三角形面积公式：SABC11ahabsinC； 22第四部分 立体几何

1．三视图与直观图：

2．表（侧）面积与体积公式： ⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=2rh；③体积：V=S底h ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=rl；③体积：V=

1S底h： 31（S+SS'S'）h； 3⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=(rr')l;③体积：V=

2⑷球体：①表面积：S=4R；②体积：V=R 。

4

3

3

3．位置关系的证明（主要方法）： ⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。 ⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。 4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角） ⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法: ⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:



cos|cosa,b|

sin|cosAB,n||ABn||n|5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离） 点到平面的距离：①等体积法；②向量法：d6．结论：

⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。 ⑵正方体的棱长为a，则对角线长为。

abc222，全面积为

3a，全面积为6a2，体积V=a3。

⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。 ⑷正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的：

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① 高：h6266内切球半径：a；②对棱间距离：a；③a；④外接球半径：a。

32124第五部分 直线与圆

1．直线方程

⑴点斜式：yyk(xx) ；⑵斜截式：ykxb ；⑶截距式：⑷两点式：

xy1 ； abyy1xx1 ；⑸一般式：AxByC0，（A，B不全为0）。 y2y1x2x13．两条直线的位置关系：

直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l1:yk1xb1l2:yk2xb2 k1k2,b1b2 k1k21 l1,l2有斜率

已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1 ⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。 4．几个公式

⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（x1x2x3,y1y2y3）；

33⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：dAx0By0CAB22；

⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是d5．圆的方程：

C1C2AB22；

⑴标准方程：①(xa)2(yb)2r2 ；②x2y2r2 。 ⑵一般方程：x2y2DxEyF0 （D2E24F0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；

6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）

①dR点在圆上；②dR点在圆内；③dR点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）

①dR相切；②dR相交；③dR相离。 ⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且Rr） ①dRr相离；②dRr外切；③RrdRr相交； ④dRr内切；⑤0dRr内含。 8、直线与圆相交所得弦长|AB|2r2d2 第七部分 平面向量

⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ① a∥b(b≠0)a=b （R)x1y2－x2y1=0；

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② a⊥b(a、b≠0)a·b=0x1x2+y1y2=0 ⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2； 注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影； ① a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。 ⑶cos=

ab；

|a||b|⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线OPxOAyOB且xy1； （理科）P，A，B，C四点共面OPxOAyOBzOC,且xyz1。

第十一部分 概率

1．事件的关系： ⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作AB； ⑵事件A与事件B相等：若AB,BA，则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AB（或AB）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作AB（或AB） ； ⑸事件A与事件B互斥：若AB为不可能事件（AB），则事件A与互斥； ﹙6﹚对立事件：AB为不可能事件，AB为必然事件，则A与B互为对立事件。 2．概率公式： ⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)； ⑵古典概型：P(A)A包含的基本事件的个数；

基本事件的总数构成事件A的区域长度（面积或体积等） ；

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）⑶几何概型：P(A)第十二部分 统计与统计案例

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为

n； N②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。 ⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的 规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。 注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l； ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数2．总体特征数的估计：

n⑴样本平均数x1(x1x2xn)1xi；

nni1第 6 页

n N新课标高中数学基础知识归纳

n⑵样本方差S21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]1(xx)2 ；

inni1n⑶样本标准差S1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]=1(xix)2 ；

nni13．相关系数（判定两个变量线性相关性）：r(xi1nix)(yiy)n(xi1n

ix)2(yiy)2i1注：⑴r>0时，变量x,y正相关；r <0时，变量x,y负相关；⑵①|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|r| 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4．回归分析中回归效果的判定： ⑴总偏差平方和：

(yi1niy)2⑵残差：eiyiyi；⑶残差平方和：；

n(yiyi)i1in2 ；

⑷回归平方和：

(yi1ni2相关指数R1y)－(yiyi)2；⑸

2n(y(yi1i1nyi)2 。

i1iyi)2注：①R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

②R越接近于1，，则回归效果越好。 5．独立性检验（分类变量关系）：

随机变量K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

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