理科数学知识清单
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.1 集合及其运算
1．集合的基本概念
(2)集合中元素的三个特性：______，______，___________. (3)集合常用的表示方法：_______．_________和________． 2．常用数集的符号
数集 符号 正整数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 (2)集合与集合之间的关系： 表示 关系 相等 子集 真子集 空集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集是任何集合的子集，是任何______的真子集 符号语言 __________⇔A＝B ________或________ ________或________ ∅⊆A，∅B (B≠∅) 结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个． 4．两个集合A与B之间的运算
符号表示 Venn图表示(阴影部分) 集合的并集 集合的交集 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集记为________ §1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1
(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．
(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．
(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．
(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．
2．四种命题的相互关系 (2)真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________． 3．充分条件和必要条件
(1)如果p⇒q，则称p是q的________，q是p的_________．
(2)如果________，且________，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________．
(3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的______________条件． (4)如果________，但________，那么称p是q的必要不充分条件． (5)如果________，且________，那么称p是q的既不充分也不必要条件．
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
2．全称量词
“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，通常用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
3．存在量词
“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，通常用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
注：特称命题也称存在性命题． 4．含有一个量词的命题的否定
命 题 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 命题的否定 因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．
2
5．命题p∧q，p∨q，p的真假判断(真值表)
注：“p∧q”“p∨q”“p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．
p 真 真 假 假
q 真 假 真 假 p∧q p∨q p 第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用
§2.1 函数及其表示
1．函数的概念
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有________f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．
3．构成函数的三要素
(1)函数的三要素是：________，________，________.
(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且________完全一致，则称这两个函数相等． 5．映射的概念
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的________元素x，在集合B中都有________元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
6．映射与函数的关系
(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_______________．
§2.2 函数的单调性与最大(小)值
1．函数的单调性 (1)增函数与减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
①如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．
②如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
3
那么就说函数f(x)在区间D上是________．
2．函数的最值 (1)最大值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：
①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值．
§2.3 函数的奇偶性与周期性
1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征
偶函数的图象关于________对称；奇函数的图象关于对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点
具有奇偶性函数的定义域关于________，即定义域关于________是一个函数具有奇偶性的________条件．
4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个________T，使得当x取定义域内的________值时，都有________，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5．函数奇偶性与单调性之间的关系
(1)若函数f(x)为奇函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为________； (2)若函数f(x)为偶函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为________． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)
奇±奇＝________，偶±偶＝________，奇×奇＝________，偶×偶＝________，奇×偶＝________. 7．函数的对称性
4
如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴 ；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b＋x)，那么函数的图象有对称中心 ．
§2.4 二次函数
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ (a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝ (a≠0)； (3)零点式：f(x)＝ (a≠0)． 2．二次函数的图象与性质 ①对称轴：x＝ ； ②顶点坐标： ；
③开口方向：a＞0时，开口 ，a＜0时，开口 ； ④值域：a＞0时，y∈ ，a＜0时，y∈ ；
b
－∞，－⑤单调性：a＞0时，f(x)在________上是减函数，在________上是增函数；a＜0时，f(x)在2ab
－，＋∞上是 ． 上是________，在2a
(2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的 ，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的 ．
3．二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．
它只能在区间的 或二次函数的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．
§2.5 基本初等函数(Ⅰ)
(一)指数函数 1．根式
(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个
数，负数的n次方根是一个 数，这时a的n次方根用符号 表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有 个，这两个数互为 ．这时，正数a的正的n次方根用符号表示 ，负的n次方根用符号 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ．
③负数没有偶次方根．
④0的n(n∈N*)次方根是 ，记作 ．
n(2)根式：式子a叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 ．
5
n(3)根式的性质：n为奇数时，an＝ ； n
n为偶数时，an＝ . 2．幂的有关概念及性质 (1)正整数指数幂：an＝
(n∈N*).
(2)零指数幂：a0＝ .这里a 0. (3)负整数指数幂：an＝ (a≠0，n∈N*)．
－
(4)正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)负分数指数幂：an＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
－
mnm
(6)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． (7)有理指数幂的运算性质
aa＝ （a＞0，r，s∈Q），rs
（a）＝ （a＞0，r，s∈Q）， （ab）r＝ （a＞0，b>0，r∈Q）.3．指数函数的图象及性质
定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数 a＞1 图 象 定义域 值域 性 质 (二)对数函数 1．对数
(1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的_______，记作x＝_______.其中a叫做对数的_______，N叫做_______．
(2)两类重要的对数
①常用对数：以_______为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作_______； ②自然对数：以_______为底的对数称为自然对数，并把logeN记作_______． 注：(i)无理数e＝2.718 28…； (ii)负数和零没有对数；
6
rs
0＜a＜1 __________ __________ 过定点__________ 在R上是______ 在R上是_____
(iii)loga1＝_______，logaa＝_______. (3)对数与指数之间的关系
当a＞0，a≠1时，ax＝N_______x＝logaN. (4)对数运算的性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝___________； M
②loga＝___________；
N③logaMn＝___________； 一般地，logamMn＝_______； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：alogaN＝_______；
②换底公式：logaN＝_______，特别地，logab＝_______. 2．对数函数的图象及性质
定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 a＞1 图 象 定义域 值域 性质 在(0，＋∞)上是_____ 在(0，＋∞)上是_____ ____________ ____________ 过定点________ 0＜a＜1 3.对数函数与指数函数的关系 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数；它们的图象关于直线________对称．
(三)幂函数 1．幂函数的定义
一般地，函数_______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．几个常用的幂函数的图象与性质
定义 图 α＞0 幂函数y＝xα(α∈R) α＜0 7
象 (1)图象过点_______ 性 质 图象过点_______ (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，即在(0，＋∞)上是_______ ＋∞)上是_______ ※(3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸；当0＜α＜1时，图象上凸 ※在第一象限内，图象都下凸 mm(4)形如y＝xn或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，n 幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数. §2.6 函数与方程
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数有零点的几个等价关系：
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴________⇔函数y＝f(x) ________． 2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么，函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈________，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
§2.7 函数的图象
2．图象变换的四种形式 (1)平移变换
①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到．
②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到．
总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”．
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(2)对称变换
①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于________、________、________对称；
②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m－x)，则y＝f(x)的图象关于直线________对称． (3)伸缩变换
①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来的___________；
②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的_______________．
(4)翻折变换
①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；
②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y轴左边的图象，右边的部分不变．
第三章 导 数
§3.1 导数的概念及运算
1．导数的概念 (1)定义
如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值ΔyΔyf（x0＋Δx）－f（x0）Δy就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即＝.如果当Δx→0时，ΔxΔxΔxΔx有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处____________，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作____________或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝ lim
x0f（x0＋Δx）－f（x0）Δy
＝lim Δxx0Δx
(2)导函数
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y ′＝lim
x0f（x＋Δx）－f（x）
. Δx
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．
3．基本初等函数的导数公式 (1)c′＝ (c为常数)， (xα)′＝ (α∈Q*)；
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(2)(sinx)′＝____________， (cosx)′＝____________；
(3)(lnx)′＝ ， (logax)′＝ ； (4)(ex)′＝____________， (ax)′＝ . 4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________. (2)[f(x)g(x)]′＝____________________； 当g(x)＝c(c为常数)时，即[cf(x)]′＝________. (3)
f（x）′＝ (g(x)≠0)．
g（x）
§3.2 导数的应用(一)
1．函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内____________．
2．函数的极值与导数
(1)判断f(x0)是极大值，还是极小值的方法： 一般地，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧_________，右侧_________，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)；
②求方程_________的根；
③检查f′(x)在上述方程根的左右对应函数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得_________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得_________．
§3.4 定积分与微积分基本定理
1．定积分的定义
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)作和式
i1nbaf(i)．当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫nb
做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作__________，即f(x)dx＝lima
ni1nbaf(i)．其中f(x)称为n__________，x称为__________，f(x)dx称为__________，[a，b]为__________，a为积分下限，b为积分上限，“∫”称为积分号．
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(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、__________________________.
2．定积分的性质
(1)bkf(x)dx＝____________(k为常数)；
aaa
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________；
(3)bf(x)dx＝_______________________(其中a＜c＜b)． 3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x) ，那么bf(x)dx＝____________，
a
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F(b)－F(a)记作__________，即 b
a
f(x)dx＝__________＝__________.
4．定积分在几何中的简单应用
(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S＝____________.
(2)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为负时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S＝____________.
(3)当x∈[a，b]有f(x)＞g(x)＞0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S＝____________.
一般情况下，定积分bf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边
a
梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(4)若f(x)是偶函数，则af(x)dx＝____________(其中a>0)；若f(x)是奇函数，则af(x)dx＝
－a－a
____________(其中a>0)．
5．定积分在物理中的简单应用
(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间[a，b]上所经过的路程S＝
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____________.
(2)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿力F的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所作的功W＝____________.
(3)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿与力F的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所作的功W＝____________.
§4.1 第四章 三角函数
弧度制及任意角的三角函数
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(2)象限角
π
①α是第一象限角可表示为α2kπ<α<2kπ＋2，k∈Z；
②α是第二象限角可表示为 ； ③α是第三象限角可表示为 ； ④α是第四象限角可表示为 ． (3)非象限角
①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}； ②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作_______________；
③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作________________________； ④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作_______________________； ⑤终边在x轴上的角的集合可记作_______________________； ⑥终边在y轴上的角的集合可记作 ； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 ． (4)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________. 2．弧度制
(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．
|α|＝ ，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．
(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad，180°＝________rad，1°＝ rad≈0.01745rad，反过来1rad＝ ≈57.30°＝57°18′.
(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l＝__________；扇形面积公式S扇＝ ＝ ． 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ (x≠0)．
(3)三角函数值在各象限的符号
sinα cosα tanα
4．三角函数线
如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x＝________，MP＝y＝________，AT＝ ＝________.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别
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叫做角α的_______、_______、_______，统称为三角函数线．
5．特殊角的三角函数值
角α 角α的 弧度数 sinα cosα tanα 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° ※sin15°＝6－26＋2，sin75°＝，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3 44§4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ② ． 2．三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容：
x －α π±α 2π±α 2π±α 函数 sinx cosx tanx
§4.3 三角函数的图象与性质
1．“五点法”作图
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(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ， ， ， ， ．
(2)在确定余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ， ， ， ， ．
3．三角函数的图象和性质
函数 性质 定义域 y＝sinx ________ y＝cosx ________ y＝tanx _______ 图象 值域 对称轴： 对称性 ________； 对称中心： _________ 最小正 周期 __________ __________ _______ ④________ 对称轴： ________； 对称中心： _________ ⑤________ R 无对称轴； 对称中心： _______ 单调增区间 单调性 _________； 单调减区间 __________ 奇偶性 __________ 单调增区间 _________； 单调减区间 __________ __________ _______ 单调增区间 _______ §4.4 三角函数图象的变换
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2.图象变换(ω＞0)
路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的
_______倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
§4.6 三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝____________________. (2)cos(α±β)＝____________________. (3)tan(α±β)＝
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝______________．
(2)cos2α＝___________＝___________＝___________． (3)tan2α＝_________. 3．几个常用的变形公式
(1)降幂公式：sin2α＝ ；cos2α＝ ． (2)辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，
§4.7 正弦定理、余弦定理及其应用
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1．正弦定理
(1)正弦定理： ．其中R是三角形外接圆的半径． (2)正弦定理的其他形式：
①a＝2RsinA，b＝____________，c＝____________； a
②sinA＝，sinB＝ ，sinC＝ ；
2R2．余弦定理
(1)余弦定理：a2＝____________________，b2＝____________________，c2＝___________________. 若令C＝90°，则c2＝________，即为勾股定理．
(2)余弦定理的变形：cosA＝_________________，cosB＝_________________，cosC＝______________. 若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2______c2. 3．三角形中的常用公式及变式
(1)三角形面积公式S△＝ ＝ ＝ ＝ (2)A＋B＋C＝π，sinA＝____________，cosA＝____________，tanA＝____________； AA
sin＝__________，cos＝__________， 22
第五章 平面向量与复数
§5.1 平面向量的概念及线性运算
3.向量的数乘及其几何意义 ①|λa|＝____________；
②当λ>0时，λa与a的方向____________； 当λ<0时，λa与a的方向____________； 当λ＝0时，λa＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R，则： ①λ(μa)＝____________； ②(λ＋μ)a＝____________； ③λ(a＋b)＝____________. 4.两个向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________.
5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________.
17
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________. 2.向量的夹角
→→
(1)已知两个________向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图). (2)向量夹角θ的范围是_______________.a与b同向时，夹角θ＝________；a与b反向时，夹角θ＝____________.
4.平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝________________________. →
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝________________________. (3)若a＝(x，y)，则λa＝____________.
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是____________________.
§5.3 平面向量的数量积
1.数量积的概念
已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b
____________，其中θ是a与b的夹角，|b|cosθ叫向量b在a方向上的____________，即.
|a|
2.数量积的运算律及常用结论 (2)常用结论
①(a±b)2＝________________________； ②(a＋b)·(a－b)＝_________________； ③当a与b同向时，a·b＝____________； 当a与b反向时，a·b＝____________.
特别地，a·a＝____________或|a|＝____________. ④ cosθ＝____________. b|≤____________. ⑤|a·
4.数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a·b＝________________；a2＝________________；|a|＝________________. ② a⊥b⇔____________________.
18
§5.5 复数的概念
1.虚数单位为i，规定：i2＝________， 2.复数的概念
形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的__________. ①当 ______时，复数a＋bi为实数； ②当______时，复数a＋bi为虚数；
③当______且______时，复数a＋bi为纯虚数. 6.复数的模
|z|＝|a＋bi|＝________(r≥0，r∈R).
7.共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作________.
§5.6 复数的四则运算及几何意义
1.复数的加、减、乘、除的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)z1±z2＝___________； (2)z1·z2＝___________； z1
(3)＝___________ (z2≠0). z2
第六章 数 列
§6.1 数列的概念与简单表示法
1.数列前n项和Sn与an的关系
__________（n＝1），
已知Sn，则an＝
__________（n≥2）.
6.2 等差数列
19
1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________都等于同一个________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母d表示，即________＝d(n∈N
＋
，且n≥2)或________＝d(n∈N＋). 2.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的____________. 3.等差数列的通项公式
若{an}是等差数列，则其通项公式an＝_______.
①{an}成等差数列⇔an＝pn＋q，其中p＝________，q＝________，点(n，an)是直线上一群孤立的点. ②单调性：d＞0时，{an}为________数列；d＜0时，{an}为________数列；d＝0时，{an}为________. 4.等差数列的前n项和公式
(1)等差数列前n项和公式Sn＝________＝________. 6.等差数列的性质
am－an
(1)am－an＝________d，即d＝.
m－n
(2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋________；若2m＝p＋q，则有________am＝
ap＋aq(p，q，m，n∈N*).
(3)若{an}，{bn}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pan}，{an＋q}，{an±bn}也为________数列，且公差分别为________，________，________.
(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为md.
(5)等差数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d. (6)若等差数列的项数为2n，则有 S奇anS偶－S奇＝nd，＝.
S偶an＋1
§6.3 等比数列
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________等于同一个________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示(q≠0).
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的________，且G2
＝________或G＝________.
3.等比数列的通项公式
(1)若{an}是等比数列，则通项an＝________或an＝________.当n－m为大于1的奇数时，q用an，am表示为q＝ ；当n－m为正偶数时，q＝ .
20
(2)an＝a1qn
－1
可变形为an＝Aqn，其中A＝ ；点(n，an)是曲线 上一群孤立的点.
4.等比数列的前n项和公式
，q＝1，
等比数列{an}中，Sn＝ 求和公式的推导方法是：，为解题的方便，有时可将
＝，q≠1.
求和公式变形为Sn＝Bqn－B(q≠1)，其中B＝ 且q≠0，q≠1.
6.等比数列的性质
(1)在等比数列中，若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an；
2
若2m＝p＋q，则am＝ap·aq(p，q，m，n∈N*).
1an
(2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比为q1，q2，则数列a，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，b仍为
n
n
等比数列且公比为 ， ， ， .
(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，an＋m，an＋2m…仍为等比数列，公比为 .
(4)等比数列前n项和为Sn(≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成等比数列，且公比为 .
§6.4 数列求和及应用
1.数列求和方法
(1)公式法：(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法.
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法.
(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和. 常见的裂项公式 ①②③
11
＝ －；
n（n＋1） n＋1
111
＝ 2n－1－2n＋1；
（2n－1）（2n＋1）1
＝
n（n＋1）（n＋2）
11
n（n＋1）－（n＋1）（n＋2）；
④⑤
1
＝ (a－b)； a＋bn1
＝ －；
（n＋1）！（n＋1）！
⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2).
21
第七章 不 等 式
不等关系与不等式
§7.1
1.比较原理
两实数a，b之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________.其中a＞b⇔a－b＞0；a＜b⇔______________；a＝b⇔__________.
2.不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔__________； (2)传递性：a>b，b>c⇒__________； (3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c； (4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________； 不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________. (5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________； (6)异向不等式相减：a>b，c (8)异向不等式相除：a>b>0，0 (9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒______； ab(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________； (11)不等式的开方：a>b>0⇒______________. 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除. §7.2 一元二次不等式及其解法 22 1.解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是 ； (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的 ； (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示. 2.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为 ；当a＜0时，解集为 . 若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是. 3.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集. (4)一元二次不等式的解： 函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 2有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－b 2a无实根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ① ② R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ③ 4.分式不等式解法 f（x） (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式. g（x） 23 (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x） ＞0 ⇔ f(x)g(x)＞0； g（x） f（x） ＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0； g（x） f（x）g（x）≥0，f（x） ≥0 ⇔ g（x）g（x）≠0；f（x）g（x）≤0，f（x） ≤0 ⇔ g（x）g（x）≠0. §7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1.二元一次不等式表示的区域 (1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0的 ；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的 . (2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0的 ；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的 . 2.线性规划 (1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为 .由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做 . 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. (2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的 的问题，统称为线性规划问题. (3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做 .其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的 . 线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内. (4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： ①首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域). ②设 ，画出直线l0. ③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解. ④最后求得目标函数的 . (5)利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定 函数. 然后，用图解法求得数学模型的解，即 ，在可行域内求得使目标函数 . 24 §7.4 基本不等式及其应用 1.如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数. 2.如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数. 3.重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ (当且仅当a＝b时取等号). 4.基本不等式：a＞0，b＞0，则 ，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 5.求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2 ≥ . 6.求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ，亦即 ；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 . 7.拓展：若a＞0，b＞0时， a＋b ≤ ≤≤ ，当且仅当a＝b时等号成立. 112＋ab2 第八章 立 体 几 何 §8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 1.棱柱、棱锥、棱台的概念 (1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. ※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. (2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. ※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥. (3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台. ※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. ※2.棱柱、棱锥、棱台的性质 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________. (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的______________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；侧面的斜高、侧棱及 25 底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________. (3)正棱台的性质 侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________. 3.圆柱、圆锥、圆台 (1)圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以______的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台. (2)圆柱、圆锥、圆台的性质 圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、________、________；平行于底面的截面都是________. 4.球 (1)球面与球的概念 以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的________. (2)球的截面性质 球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________. 5.平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________.平行投影的投影线互相__________. 6.空间几何体的三视图、直观图 (1)三视图 ①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的.三视图包括__________、__________、__________. ②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等.” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等. (2)直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： ①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________且∠yOz＝________. ②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________.x′O′y′所确定的平面表示水平面. ③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. 26 ④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的__________. ⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形. §8.2 空间几何体的表面积与体积 27 1.柱体、锥体、台体的表面积 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S 直棱柱侧 ＝__________，S 正棱锥侧 ＝__________， S 正棱台侧 ＝__________(其中C，C′为底面周长，h 为高，h′为斜高). (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________ (其中r，r′为底面半径，l为母线长). (3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和. 2.柱体、锥体、台体的体积 (1)棱柱、棱锥、棱台的体积 V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________ (其中S，S′为底面积，h为高). (2)圆柱、圆锥、圆台的体积 V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________ (其中r，r′为底面圆的半径，h为高). 3.球的表面积与体积 (1)半径为R的球的表面积S球＝________. (2)半径为R的球的体积V球＝________,________). 8.3 空间点、线、面之间的位置关系 28 1.平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内.它的作用是可用来证明点在平面内或__________________. (2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面. 公理2的推论如下： ①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面. (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线.它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题. 2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类 相交直线：同一个平面内，有且只有 共面直线 平行直线：同一个平面内， 异面直线：不同在任何一个平面内， . . . (2)异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”. ②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性. ③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).异面直线所成角的范围是____________.若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________. 3.平行公理 公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性).它给出了判断空间两条直线平行的依据. 4.等角定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________. §8.4 空间中的平行关系 29 1.空间中直线与平面之间的位置关系 (1)直线在平面内，则它们有__________公共点； (2)直线与平面相交，则它们______________公共点； (3)直线与平面平行，则它们________公共点. 直线与平面相交或平行的情况统称为______________. 2.直线与平面平行的判定和性质 (1)直线与平面平行的判定定理 平面外____________与此平面内的____________平行，则该直线与此平面平行.即线线平行⇒线面平行.用符号表示：____________________________. (2)直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__________与该直线__________.即线面平行⇒线线平行.用符号表示：__________________________. 3.平面与平面之间的位置关系 (1)两个平面平行，则它们______________； (2)两个平面相交，则它们______________.两个平面垂直是相交的一种特殊情况. 4.平面与平面平行的判定和性质 (1)平面与平面平行的判定定理 ①一个平面内的两条__________与另一个平面平行，则这两个平面平行.用符号表示：____________________________. ②推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行. ③垂直于同一条直线的两个平面平行.即l⊥α，l⊥β⇒α∥β. ④平行于同一个平面的两个平面平行.即α∥γ，β∥γ⇒α∥β. (2)平面与平面平行的性质定理 ①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线______________.即面面平行⇒线线平行.用符号表示：__________________________________. ②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.用符号表示：__________________. ③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.用符号表示：__________________. §8.5 空间中的垂直关系 30 1.线线垂直 如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直. 2.直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______.直线l叫做______________，平面α叫做______________.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________. (2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直. 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________. 3.直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.任一直线与平面所成角θ的范围是____________. 4.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角. (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的范围是__________. 5.平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直. (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直. 8.6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量. (2)零向量：规定______________的向量叫做零向量. (3)单位向量：________的向量称为单位向量. (4)相反向量：与向量a__________________的向量，称为a的相反向量，记为－a. (5)相等向量：________________的向量称为相等向量. (6)空间向量的加法运算满足交换律及结合律： a＋b＝________；(a＋b)＋c＝______________. 2.空间向量的数乘运算 31 (1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘. ①当λ____0时，λa与向量a方向相同； 当λ____0时，λa与向量a方向相反. ②λa的长度是向量a的长度的______倍. (2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： ①分配律：λ(a＋b)＝____________. ②结合律：λ(μa)＝________. (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________________，则这些向量叫做共线向量或平行向量. (4)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________________. (5)空间直线l的方向向量：和直线l______________的向量a叫做直线l的方向向量. (6)空间直线的向量表示：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，→→点P在直线l上的充要条件是__________________________，特别地，如果a＝AB，则上式可以化为OP→→ ＝OA＋tAB，或__________________，这也是空间三点A，B，P共线的充要条件. (7)共面向量：________________的向量叫做共面向量. (8)空间共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是____________________________________________________. 推论：对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式__________________，其中__________，则点P与点A，B，C共面. 3.空间向量的数量积运算 (1)空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的数量积，记作a·b，通常规定，0≤〈a，b〉≤π.对于两个非零向量a，b，a⊥b⇔______________. (2)空间零向量与任何向量的数量积为______. (3)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝______. (4)空间向量的数量积满足如下的运算律： ①(λa)·b＝__________； ②a·b＝__________(交换律)； (b＋c)＝________________(分配律). ③a· §8.7 空间向量的坐标表示、运算及应用 1.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组____________，使得__________________.其中，{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________. 2.空间直角坐标系 32 (1)如果空间的一个基底的三个基向量____________，且长都为______，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}来表示(其中|i|＝|j|＝|k|＝1). (2)在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：___________________，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫做原点，向量i，j，k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. (3)建系时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，建立____手直角坐标系. → (4)在空间直角坐标系中有一点A，若OA＝xi＋yj＋zk，则有序实数组____________叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作______________.其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的________. 3.空间向量的直角坐标运算 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a，b是非零向量，则 (1)向量加法：a＋b＝__________________. (2)向量减法：a－b＝__________________. (3)数乘：λa＝________________. (4)数量积：a·b＝________________. (5)平行：a∥b(b≠0)⇔_________⇔x1＝λx2，________，__________. (6)垂直：a⊥b⇔__________⇔__________________. (7)向量a的模|a|＝__________＝______________. (8)向量a与b夹角公式： cos〈a，b〉＝ a·b ＝ . |a||b| → (9)点坐标和向量坐标：若点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝____________________，线段AB→＝______________________. 的长度dAB＝AB 4.直线的方向向量 (1)与直线l__________的向量a叫做直线l的方向向量. (2)空间中任意一条直线l，可以通过l上的一个定点A和l的一个方向向量a来确定.设点P是l上的任意一点，则l有向量表示形式____________，其中t为实数，这种形式叫做直线的点向式表示.注意同一条直线的点向式表示不唯一. 5.平面的法向量和法向量的求法 (1)平面的法向量 已知平面α，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则________叫做平面α的法向量. (2)平面的法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求，步骤如下： ①设出平面的法向量为n＝(x，y，z)； 33 || ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； ③根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 . ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向量有______个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 注：平面的法向量的确定通常有两种方法：(1)几何体中已经给出的与平面垂直的有向线段.(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求平面的法向量. 6.空间中任意一个平面α，有两种向量表示形式： (1)通过α上的一个定点O和两个向量a和b来确定.设点P是α上的任意一点，则α有向量表示形式____________，其中，x，y为实数，a，b分别是α上相交于点O的两条直线的方向向量.这种形式与平面向量基本定理一致.注意同一个平面的这种形式的表达式不唯一. (2)通过α上的一个定点O和一个向量a来确定.设点P是α上的任意一点，则α有向量表示形式____________，其中a是α的法向量，这种形式叫做平面的点法式表示.注意同一个平面的这种形式的表达式不唯一. 7.利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角 设直线l，m的方向向量为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 (1)线线平行：l∥m⇔____________⇔____________. (2)线线垂直：l⊥m⇔____________⇔____________. (3)线面平行：l∥α⇔____________⇔____________. (4)线面垂直，方法一：l⊥α⇔__________⇔__________； 方法二：若e1，e2为平面α的一组基底，则 a⊥e1，l⊥α⇔⇔a·e1＝a·e2＝0. a⊥e2 (5)面面平行：α∥β⇔____________⇔____________. (6)面面垂直：α⊥β⇔____________⇔____________. π 0≤θ≤，cosθ＝ . (7)线线夹角：l，m的夹角为θ2π 0≤θ≤，sinθ＝ . (8)线面夹角：l，α的夹角为θ2π 0≤θ≤，cosθ＝ . (9)面面夹角：α，β的夹角为θ2 注意：(1)这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合；(2)这里π 的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即0≤θ≤，而二面角的大小是指两个半 2平面的张开程度，这可以用其平面角θ的大小来定义，它的取值范围为____________，若设u，v的夹角为φ，当u，v均指向二面角内部或外部时(如图1)，二面角的大小为θ＝π－φ，cosθ＝cos(π－φ)＝－cosφ＝－ u·v ；当u，v一个指向二面角内，另一个指向二面角外时(如图2)，二面角的大小为θ＝φ，cosθ|u||v| 34 ＝cosφ＝ u·v . |u||v| 8.点到直线的距离 设过点P的直线l的方向向量为单位向量n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离为d＝______________(如图3). 图3 图4 9.点到平面的距离 设P为平面α内的一点，n为平面α的法向量，A为平面α外一点，点A到平面α的距离为d＝ ______________ (如图4). 10.线面距离、面面距离都可以转化为______________. 第九章 平面解析几何 §9.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程 1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A，B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|＝____________. (2)平面直角坐标系中的基本公式： ①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为 d(A，B)＝|AB|＝__________________________. ②线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 x＝ ， y＝ . 2.直线的倾斜角与斜率 35 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴____________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________. (2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k＝______(α≠______).当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率.倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度. (3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ . 3.直线方程的几种形式 (1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的____________叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的____________叫做直线l在y轴上的截距. 注：截距____________距离(填“是”或“不是”). (2)直线方程的五种形式： 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 ① ② ③ ⑤ ⑥ ④ a≠0且b≠0 平面直角坐标系内的所有直线 方程 适用范围 k存在 k存在 注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例. (3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________； ②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________； ③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________； ④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为____________. 36 §9.2 两条直线的位置关系 37 1.两条直线的位置关系 (1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔____________，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为____________. (2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔____________，特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的关系为____________. 2.两条直线的交点坐标 A1x＋B1y＋C1＝0， 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有惟一解，则两条直线 Ax＋By＋C＝0.222 __________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________；若方程组有无穷多解，则两条直线____________. 3.距离公式 (1)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ . (2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝____________________. 4.过两直线交点的直线系方程 若已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，这条直线可以是l1，但不能是l2)表示过l1和l2交点的直线系方程. 9.3 圆的方程 38 1.圆的定义 在平面内，到_________的距离等于__________的点的__________叫圆.确定一个圆最基本的要素是__________和__________. 2.圆的标准方程与一般方程 (1)圆的标准方程：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫做以点____________为圆心，__________为半径长的圆的标准方程. (2)圆的一般方程：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(____________)叫做圆的一般方程. 2222 DED＋E－4Fx＋＋y＋＝注：将上述一般方程配方得，此为该一般方程对应的标准方程，表示224 的是以____________为圆心，____________为半径长的圆. 3.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，点M(x0，y0)， (1)点M在圆上：________________________； (2)点M在圆外：_______________________； (3)点M在圆内：_________________________. §9.4 直线、圆的位置关系 39 1.直线与圆的位置关系 位置 关系 图示 公共点个数 几何特征 代数特征(解的个数) 相离 相切 相交 无实数解 d＝r 2 2.圆与圆的位置关系 几何特征(O1O2＝d) 代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的个数) 位置关系 图示(R>r) 公共点个数 外离 外切 相交 内切 内含 0 无实数解 1 两组相同实数解 2 两组不同实数解 1 两组相同实数解 0 无实数解 §9.5 曲线与方程 40 1.曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)__________________________； (2)____________________________. 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的__________，用有序实数对(x，y)表示曲线上____________M的坐标； (2)写出____________的点M的集合：P＝{M|p(M)}； (3)用__________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为____________形式； (5)说明以化简后的方程的________为坐标的________都在曲线上. 注：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，另外，也可以根据情况省略步骤(2). 3.求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0.也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明. (2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. (3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数. (4)相关点法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，首先用x，y表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程. (5)交轨法：动点P(x，y)是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程. (6)参数法：当动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程f(x，y)＝0. (4)、(5)两种方法本质上也是参数法，只不过是多参数的参数方程或是隐性式的参数方程. §9.6 椭 圆 1.椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(习惯上称为第一定义).这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________. ※(2)另一种定义方式：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆.定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的__________. 2.椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 41 焦点在y轴上 (1)图形 (2)标准 方程 (3)范围 (4)中心 (5)顶点 (6)对称轴 (7)焦点 (8)焦距 (9)离心率 ※(10)准线 a2x＝± c 2c＝2a2－b2 a2y＝± c y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2－a≤y≤a， －b≤x≤b －a≤x≤a，－b≤y≤b 原点O(0，0) A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) x轴，y轴 F1(0，－c)，F2(0，c) §9.7 双 曲 线 42 1.双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(习惯上称为第一定义).这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________. ※(2)另一种定义方式：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线.定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________. (3)实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率e＝2是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0). 2.双曲线的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 (1)图形 y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2y≥a或y≤－a 原点O(0，0) A1(－a，0)， A2(a，0) x轴，y轴 F1(0，－c)，F2(0，c) 2c＝2a2＋b2 a2x＝± c a2y＝± cay＝±x b (2)标准 方程 (3)范围 (4)中心 (5)顶点 (6)对称轴 (7)焦点 (8)焦距 (9)离心率 ※(10)准线 (11)渐近线 方程 x≥a或x≤－a §9.8 抛 物 线 43 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________. 2.抛物线的标准方程及几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 焦点 p① ②－，0 2⑥ ③ p⑦y＝－ 2④0，－2 ⑧ ()(p)p准线 ⑤x＝－ 2范围 ⑨x≥0，y∈R ⑩ ⑪ ⑫y≤0，x∈R 性 质 对称 轴 ⑬ ⑭y轴 顶点 ⑮原点O(0，0) 离心 率 ⑯ 开口 ⑰ ⑱向左 ⑲向上 ⑳ §9.9 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.一般通过它们的方程来研究： 设直线l：Ax＋By＋C＝0与二次曲线C：f(x，y)＝0， Ax＋By＋C＝0，由消元，如果消去y后得：ax2＋bx＋c＝0， f（x，y）＝0 (1)当a≠0时， ①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________； ②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________； 44 ③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________. (2)注意消元后非二次的情况，即当a＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线. 当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________. (3)直线方程涉及斜率k要考虑其不存在的情形. 2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 y＝kx＋m， (1)直线l：y＝kx＋m与二次曲线C：f(x，y)＝0交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 f（x，y）＝0 得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则x1＋x2＝________，x1x2＝________，|AB|＝ . (2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算. 3.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题 中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解. (1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解. (2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系. 无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论. 第十章 算 法 初 步 §10.1 算法与程序框图 45 1.算法的概念及特点 (1)算法的概念 在数学中，算法通常是指按照一定______解决某一类问题的________和________的步骤. (2)算法的特点之一是具有______性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效的执行，且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有______性，即算法步骤明确，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；其三是具有______性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题. 2.程序框图 (1)程序框图的概念 程序框图又称流程图，是一种用________、________及________来表示算法的图形. (2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能 图形符号 名称 ① 功 能 表示一个算法的起始和结束 ② 表示一个算法输入和输出的信息 ③ 赋值、计算 判断某一条件是否成立，成立时在出 ④ 口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N” ⑤ ⑥ 连接程序框 连接程序框图的两部分 ○ 3.算法的基本逻辑结构 (1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按__________的顺序进行的.它是由若干个__________的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构.顺序结构可用程序框图表示为如图所示的形式： (2)条件结构 在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.常见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式： 46 (3)循环结构 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是________.反复执行的步骤称为________. 循环结构有如下两种形式： ①如图1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环.因此，这种循环结构称为____________. ②如图2表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环.因此，这种循环结构称为____________. §10.2 基本算法语句 47 1.输入(INPUT)语句 输入语句的一般格式：________. 要求： (1)输入语句要求输入的值是具体的常量； (2)提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，“提示内容”原原本本地在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开； (3)一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔. 2.输出(PRINT)语句 输出语句的一般格式：________. 功能：实现算法输出信息(表达式). 要求： (1)表达式是指算法和程序要求输出的信息； (2)提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开； (3)如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔. 3.赋值语句 赋值语句的一般格式：________. 赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样. 作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量. 要求： (1)赋值语句左边只能是变量，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.如：2＝x是错误的； (2)赋值号的左右两边不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量.如“A＝B”、“B＝A”的含义和运行结果是不同的，如x＝5是对的，5＝x是错的，A＋B＝C是错的，C＝A＋B是对的； (3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等). 4.条件语句 (1)“IF—THEN”语句 格式： ____________________. 说明：当计算机执行“IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END IF之后的语句. (2)“IF—THEN—ELSE”语句 格式： 48 ____________________. 说明：当计算机执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1，否则(ELSE)执行语句体2. 5.循环语句 (1)当型循环语句 当型(WHILE型)语句的一般格式为： ________________. (2)直到型循环语句 直到型(UNTIL型)语句的一般格式为： ______________. 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法. 3.两个计数原理的区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法______________，只有______________才算做完这件事. 4.两个计数原理解决计数问题时的方法 最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步. (1)分类要做到“______________”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数. (2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数. 49 §11.2 排列与组合 50 1.排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号______表示. m (3)排列数公式：An＝______________________.这里n，m∈N*，并且________. n(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个____________，叫做n个元素的一个全排列.An＝n×(n－1)×(n －2)×…×3×2×1＝__________，因此，排列数公式写成阶乘的形式为Amn＝________，这里规定0！＝________. 2.组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示. Amnm (3)组合数公式：Cn＝m＝ Am ＝ .这里n∈N*，m∈N，并且m≤n. (4)组合数的两个性质： ①Cmn＝____________； ②Cmn＋1＝____________＋____________. 11.3 二项式定理 51 1.二项式定理 (a＋b)n＝____________________________(k，n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理.(a＋b)n 的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即__________________.通项为展开式的第__________项. 2.二项式系数的性质 (1)对称性 nn12n2 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0C1Cn＝Cn，…，n＝Cn，n＝Cn， － － 0 ____________，…，Cnn＝Cn. (2)增减性与最大值 二项式系数Ck当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的. n，当n是偶数时，中间的一项____________取得最大值. 当n是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和 12rn (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于________，即C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝________.3502 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋4Cn＋…＝________. 11.4 随机事件的概率 52 1.随机事件和确定事件 (1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________. (2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________. 必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件. (3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________. (4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示. 2.频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA 为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝ 为事件A出现的频率. (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________fn(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________. (3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________. 3.事件的关系与运算(类比集合的关系与运算) 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B______事件A(或称事件A包含于事件B) __________ (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B __________ 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生______事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件 A∪B (或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件 A∩B(或AB) 互斥事件 若______为不可能事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝______ 对立事件 若________为不可能事件，________为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝____ P(A∪B) ＝P(A)＋P(B) ＝________ 拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生.两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况.因此，互斥未必对立，但对立一定互斥. 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：____________. 53 (2)必然事件的概率P(E)＝____________. (3)不可能事件的概率P(F)＝____________. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝_________________________. 推广：如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An)＝_______________________. ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝_________________. §11.5 古典概型 54 1.基本事件和基本事件空间的概念 (1)在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________. (2)所有基本事件构成的集合称为______________，常用大写希腊字母________表示. 2.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是____________的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和. 3.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个. (2)每个基本事件出现的可能性____________. 4.古典概型的概率公式 在古典概型中，一次试验可能出现的结果有n个，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝________. 11.6 几何概型 55 1.随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________.利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数. 2.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________. 3.概率计算公式 在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝ .求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解. 11.7 离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量的概念 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示. (2)离散型随机变量 所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)分布列 设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 为随机变量X的______________，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也可用P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列. (2)分布列的性质 ①________________________； ②________________________. 3.常用的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布(0－1分布) 随机变量X的分布列为(0 如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1， 56 2，…，n，q＝1－p)，其概率分布为 X P 0 0nC0npq 1 1n1C1 npq－… … k … … n n0Cnnpq 则称X服从二项分布，记为________________. (3)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为 (k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称 随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________. §11.8 独立事件与二项分布及其应用 1.条件概率及其性质 (1)一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称________为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(B|A)读作________________________. 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝ ＝ . (2)条件概率具有的性质： ①________________； ②如果B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝________________________. 2.相互独立事件 (1)对于事件A，B，若事件A的发生不会影响事件B发生的概率，则称____________________. (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝____________， P(AB)＝________________. (3)若A与B相互独立，则____________，____________，____________也都相互独立. (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则____________________. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生、要么不发生，且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.在相同条件下重复做的n次试验称为________________，若Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验的结果，则P(A1A2…An)＝________________. (2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为(每次试验中事件A发生的概率为p)______________________，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为________________________(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从____________，记为____________. 57 §11.9 离散型随机变量的均值与方差 58 1.离散型随机变量的均值 (1)若离散型随机变量X的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称E(X)＝________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的____________. (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(Y)＝____________________. (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝____________； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝____________. 2.离散型随机变量的方差 (1)若离散型随机变量X的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称D(X)＝ 为随机变量X的方差，其算术平方根________为随机变量X的标准差. (2)D(aX＋b)＝____________. (3)①若X服从两点分布，则D(X)＝____________； ②若X～B(n，p)，则D(X)＝____________. 方差反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度：D(X)越小，X取值越集中，D(X)越大，X取值越分散. §11.10 正态分布 1.正态曲线的性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝（x－μ）21 e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数， 2σ22π σ 我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线.简称______________. (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴____________，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线____________对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值__________； ④曲线与x轴之间的面积为____________； 59 ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着________的变化而沿x轴平移，如图甲所示. ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越__________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越__________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示. 2.正态分布的定义与简单计算 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a 第十二章 统 计 §12.1 随机抽样 1.简单随机抽样 (1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样方法有两种：________法和________法. 抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体________，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取______个号签，连续抽取________次，就得到一个容量为n的 60 样本. 随机数法：随机数法就是利用______________、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样. 简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的. 2.系统抽样 (1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： ①先将总体的N个个体________.有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； NNN ②确定分段间隔k，对编号进行分段.当(n是样本容量)是整数时，取k＝，如果遇到不是整数的情 nnn况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除； ③在第1段用______________抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)； ④按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上________得到第2个个体编号________，再________得到第3个个体编号________，依次进行下去，直到获取整个样本. (2)当总体中元素个数较少时，常采用____________，当总体中元素个数较多时，常采用______________. 3.分层抽样 (1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成________的层，然后按照一定的________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样. (2)当总体是由__________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法. (3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是________的. §12.2 用样本估计总体 61 1.用样本的频率分布估计总体分布 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的__________估计总体的__________；另一种是用样本的________估计总体的__________. (2)在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用________________表示.各小长方形的面积总和等于________. (3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布________.随着样本容量的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为______________，它能够更加精细地反映出____________________________________. (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以____________________，而且可以______________，给数据的记录和表示都带来方便. 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数，中位数，平均数 众数：在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数. 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的________)叫做这组数据的中位数. 平均数：样本数据的算术平均数，即x＝______________. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该________. (2)样本方差，样本标准差 标准差s＝ 1[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]，其中n xn是__________________，n是________，x是 ________.标准差是反映总体__________的特征数，________是样本标准差的平方.通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差. §12.3 变量间的相关关系与线性回归方程 1.变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性. 2.两个变量的线性相关 (1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________. (2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________. ※(3)相关系数 62 r＝ (xx)(yii1n2nii1j1niy)，当r＞0时，表示两个变量正相关；当r＜0时，表示两个变量负相关．r j(xx)(yy)2的绝对值越接近 ，表示两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近 ，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r的绝对值大于0．75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q＝ (yi1nixi)2的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线 ˆ． ˆ，b的距离的平方和最小的方法叫做 ．该式取最小值时的α，β的值即分别为aˆxaˆbˆ，(2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为y则 n(xix)(yiy)bˆi1n(xix)2i1ˆaˆybx.xynxyii2ii1nn,xi1nx2 §12.4 统计案例 1．回归分析 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)线性回归模型用y＝bx＋a＋e表示，其中a和b为模型的未知参数，e称为____________．满足E(e)＝__________，D(e)＝σ2，σ2越小，精度越________． (3)在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： n(xix)(yiy)bˆi1n 2(xx)ii1ˆˆ.aˆybx1 其中x＝ n i1n1 xi，y＝n yi1ni， 称为样本点的中心. ˆi= 称为相应于点（xi,yi）的残差，残差平方和为 . （4）残差：e（5）相关指数R2= . R2越大，说明残差平方和 ，即模型的拟合效果 ；R2越小，残差平方和 ，即模型的拟合效果 .在线性回归模型中，R2表示解释变量对 63 于预报变量变化的 ，R2越接近于1，表示回归的效果 . 2. 独立性检验 （1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为___________. （2）像下表所示列出两个分类变量的频数表，称为___________.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2 }，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为 x1 x2 总计 构造一个随机变量K2=___________， 其中n=a+b+c+d为样本容量. 如果K2的观测值k≥k0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”.我们称这样的k0为一个判断规则的临界值.按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P（K2≥k0）.上面这种利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为___________. y1 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d 第十三章 推理与证明 第十四章 §13.1 合情推理与演绎推理 64 1．两种基本的推理 推理一般包括____________和____________两类． 2．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 3．演绎推理 (1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理． (2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． “三段论”可以表示为： 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结论：S是P. §13．2 直接证明与间接证明 1．直接证明 (1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法． (2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法． (3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．间接证明 反证法：一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论____________)，经过______________，最后得出__________，因此说明假设________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法． 65 §13．3 数学归纳法 1．数学归纳法的证题步骤 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设____________(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当____________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有__________都成立． 2．数学归纳法的适用范围 数学归纳法主要用于解决与________有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可． §14．2 坐标系与参数方程 66 1．极坐标系 极坐标系的建立 一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为________，射线Ox称为________． 设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的________，θ称为点M的________．有序数对(ρ，θ)称为点M的________． 由极径的意义可知ρ≥0．当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立__________的关系． 2．极坐标和直角坐标的互化 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)． 平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组关系式： ________________，________________． 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π． 3．简单曲线的极坐标方程 (1)曲线的极坐标方程的定义 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程____________叫做曲线C的极坐标方程． (2)常见曲线的极坐标方程 ①圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为__________________________； ②圆心为(r，0)，半径为r的圆的极坐标方程为 ______________________________； π r，，半径为r的圆的极坐标方程为 ③圆心为2 ； ④过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为 67 ______________________________； ⑤过点(a，0)(a＞0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ； π a，，与极轴平行的直线的极坐标方程为 ⑥过点2______________________________． 4．直线的参数方程 (1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 ． (2)直线的参数方程中参数t的几何意义是：________________________________________． →→ 当M0M与e(直线的方向向量)同向时，t取____________．当M0M与e反向时，t取____________，当M与M0重合时，t＝____________． 5．圆的参数方程 圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为 ． 6．椭圆的参数方程 x2y2 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆2＋2＝1(a>b>0)的参数方程是 (φ为参数)，规定参 ab 数φ的取值范围是____________． §14．3 不等式选讲 1．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥__________(a，b∈R)，当且仅当__________时，等号成立． a＋b(2)≥__________(a，b>0)，当且仅当__________时，等号成立． 2a＋b＋c(3)≥__________(a，b，c>0)，当且仅当________时，等号成立． 3 a1＋a2＋…＋an(4)≥______________(ai>0，i＝1，2，…，n)，当且仅当__________________时，等号 n成立． 2．绝对值不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤__________，当且仅当__________时，等号成立． (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤__________，当且仅当____________时，等号成立． (3)|x| 比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． 68 (2)综合法 (3)分析法 (4)反证法 (5)放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． 69 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容