信号与系统答案-西北工业大学-段哲民-第七章

7.1 已知频谱包含有直流分量至1000 Hz分量的连续时间信号f(t)延续1 min，现对f(t)进行均匀抽样以构成离散信号。求满足抽样定理的理想抽样的抽样点数。

答案

7.2 已知序列

f(k){2,1,2,7,14,23,}k0

试将其表示成解析（闭合）形式，单位序列组合形式，图形形式和表格形式。

答案

k f(k) 0 -2 1 -1 2 2 3 7 4 14 5 23 6 34 … … 7.3 判断以下序列是否为周期序列，若是，则其周期N为何值？

3(1) f(k)Acos(k) kZ 78(2) f(k)ekj()8 kZ

(3) f(k)Acos0kU(k)

答案

解答：若存在一个整数N，能使

f(kN)f(k)

精选

则f(k)即为周期为N的周期序列；

若不存在一个周期N，则f(k)即为非周期序列。

333(1)f(kN)Acos[(kN)]Acos[kN] 78778取

3N2n,n0,1,2,...7

故得

N2n73

可见当取n=3时，即有N=14。故f(k)为一周期序列，其周期为N=14。

kN)8kj()8N8(2)f(k)ej(eej N欲使f(k)为周期序列，则必须满足2n，即N16n，但由于n为整数，8不是整数，故N不可能是整数，因此f(k)不可能是周期序列。

（3）因f(k)Acos0kU(k)为因果序列。故为非周期序列。也可以理解为是在

k=0时刻作用于系统的周期序列，其周期为N20。

7.4 求以下序列的差分。

(1) y(k)k22k3, 求2y(k); k(2) y(k)f(i), 求y(k); i0

精选

(3) y(k)U(k), 求[y(k1)],y(k1),[y(k1)],y(k1).

答案

解答：（1）方法一

y(k)y(k1)y(k)(k1)22(k1)3[k22k3]2k1

2y(k)y(k1)y(k)2(k1)1[2k1]2

方法二

2y(k)[y(k)][y(k1)y(k)]y(k1)y(k)y(k2)y(k1)[y(k1)y(k)]y(k2)2y(k1)y(k)(k2)22(k2)32[(k1)22(k1)3][k22k3]2

k(2) y(k)f(i)f(0)f(1)f(2)...f(k) i0y(k1)f(i)f(0)f(1)f(2)...f(k)f(k1) i0k1故

y(k)y(k1)y(k)f(k1) (3) [y(k1)]y(k)y(k1)U(k)U(k1)(k) 。

这是先延迟后求差分。 因有

y(k)y(k1)y(k)

精选

故有

y(k1)y(k)y(k1)U(k)U(k1)(k)

这是先求差分后延迟。可见先延迟后求差分和先求差分后延迟是是一样的。

[y(k1)]y(k1)y(k2)U(k1)U(k2)(k1)

（这是先求差分后延迟）

y(k1)y(k1)y(k2)U(k1)U(k2)(k1)

（这是先求差分后延迟)

7.5 欲使图题7.5(a)与图题7.5(b)所示系统等效，求图题7.5(a)中的加权系数h(k)。

f(k)h(0)DDDDh(1)h(2)h(k)y(k)(a)1f(k)D

y(k)5DD-6(b)图题 7.5

答案

精选

解答：两个系统等效，意即它们的单位响应相等。图题(b)的差分方程为

y(k)5y(k1)6y(k2)f(k)f(k1)

故得转移算子

E2EE121H(E)21616E5E6(E2)(E3)E2E3

故得

h(k)(k)61(2)k1U(k1)2(3)k1U(k1)11 (k)61(2)kU(k1)2(3)kU(k1)23 (k)3(2)kU(k1)4(3)kU(k1)

因为当k0时有

h(0)1001

故上式可写为

h(k)3(2)k4(3)kU(k)

因由此式也可得到

h(0)341

图题(a)的差分方程为

y(k)h(0)f(k)h(1)f(k1)...h(i)f(ki)h(i)f(ki)k(k)f(k)i0

欲使图题 (b)和(a)两个系统等效，图题 (a)的单位响应也应为

精选

h(k)3(2)k4(3)kU(k)

7.6 已知序列f1(k)和f2(k)的图形如图题7.6所示。求

y(k)f1(k)f2(k)

f1(k)21f2(k)211k11k51-5 -46-3 -2 0 1 2 3 4(a)-5 -4-3 -2 0 1 2 3 4(b)图题 7.6

答案

7.7 求下列各卷积和。

(1) U(k)U(k) (2) (0.25)kU(k)U(k) (3) (5)kU(k)(3)kU(k) (4) kU(k)(k2) ) 答案

解答：

(1) U(k)U(k)(k1)U(k) 1(0.25)k14(2) (0.25)U(k)U(k)U(k)[1(0.25)k1]U(k) 10.253k(5)k1(3)k11(3) (5)U(k)(3)U(k)U(k)[(5)k1(3)k1]U(k) 532kk(4) kU(k)(k2)U(k)U(k1)U(k2) 精选

7.8 求下列各差分方程所描述的离散系统的零输入响应y(k)。

(1) y(k2)2y(k1)y(k)0,y(0)1,y(1)0 ;

(2) y(k)7y(k1)16y(k2)12y(k3)0,y(1)1,y(2)3,y(3)5。

答案

解答：（1）对差分方程进行移序变换得

(E22E1)y(k)0

特征方程为

E22E10

得特征根为

p1p21

故零输入响应的通解为

y(k)(A1A2k)(1)kU(k)

故有

y(0)A11，y(1)A1A20

故得

A11,A21

故得零输入响应为

精选

y(k)(1k)(1)kU(k)

（2）对差分方程进行移序变换得

(17E116E212E3)y(k)0即(E37E216E12)y(k)0

特征方程为

E37E216E120

特征根为

p1p22,p33

故零输入响应的通解为

y(k)[(A1A2k)2kA3(3)k]U(k)

故有

y(1)(A1A2)23A31 y(2)(A1A2)22A3323 y(3)(A1A2)23A3335

联解得

A11,A21,A31

故得零输入响应为

y(k)[(1k)2k3k]U(k)

7.9 已知系统的差分方程为

精选

y(k)51y(k1)y(k2)f(k)f(k2)66

求系统的单位响应h(k)。

答案

解答：系统差分方程的转移算子为

1E2E21H(E)51125121EEEE6666E211111(E)(E)(E)(E)2323EE1EE1111(E)(E)(E)(E)232332321EE1111EEEE23233EE232E11111EEEE2323故得

1111h(k)3()k2()kU(k)3()k22()k2U(k2)3322

7.10 已知差分方程

y(k2)5y(k1)6y(k)U(k)

系统的初始条件

精选

yx(0)1,yx(1)5

求全响应y(k)。

答案

解答：（1）求零输入响应yx(k)

E25E60

得特征根为

p12,p23

故

yx(k)A1(2)kA2(3)k

yx(0)A1A21 yx(1)2A13A25

联解得

A12,A23

故

yx(k)[2(2)k3(3)k]U(k)[(2)k1(3)k1]U(k)

（2）求h(k)

111E25E6E2E3

H(E)故得

精选

h(k)(2k13k1)U(k1)

（3）求零状态响应

yf(k)

yf(k)h(k)f(k)[2k1U(k1)3k1U(k1)]U(k)2k1U(k1)U(k)3k1U(k1)U(k)

查卷积和表得

11yf(k)[(2)k(3)k]U(k)22

全响应为

71y(k)yx(k)yf(k)3(2)k(3)kU(k)22

7.11 某人每年初在银行存款一次，第1年存款1万元，以后每年初将上年所得利息和本金以及新增1万元存入当年，年利息为5%。(1)列此存款的差分方程；(2)求第10年底在银行存款的总数。

答案

解答：（1）设第k年初银行存款总额为y(k)，则差分方程为

5U(k)100

y(k1)y(k)y(k)式中y(k1)为k1年初存款的总数，U(k)为第k1年初新增存款1万元。整理之得

y(k1)1.05y(k)U(k)

由于y(0)0，故只存在零状态响应。传输算子为

精选

H(E)1E1.05

故

k(k)(1.05)k1U(k1)

故

y(k)U(k)h(k)U(k)(1.05)k1U(K1)1(1.05)Ku(K1)20[(1.05)K1]u(K1)11.05当k=10时有

y(10)20[(1.05)101]112.5779万元

故第10年底银行的存款总数为

5y(10)113.2068100万元

7.12 已知差分方程为

y(k)3y(k1)2y(k2)f(k)

激励

f(k)2kU(k)

初始值

y(0)0,y(1)2

试用零输入-零状态法求全响应y(k)。

精选

答案

解答：（1）求零输入响应yx(k)。

系统的特征方程为

E23E20

得特征根为

p11,p22

故得零输入响应yx(k)的通解为

yx(k)A1(1)kA2(2)k

待定系数A1,A2必须根据系统的初始状态来求，而不能根据全响应的初始值

y(0)0,y(1)2来求。又因为激励f(k)是在k0时刻作用于系统的，故初始状

态应为y(1),y(2)。下面求y(1),y(2)。 取k1，代入原差分方程有

y(1)3y(0)2y(1)2

即

202y(1)2

故得

y(1)0

取k0，代入原差分方程有

y(0)3y(1)2y(2)1

精选

即

002y(2)1

故得

12

y(2)将所求得的初始状态y(1)0，

y(2)12代入式（1）有 1A202

yx(1)A1yx(2)A111A242

联解得A11,A22。故得零输入响应为

yx(k)(1)k2(2)k,k0

（2）差分方程的转移算子为

E2H(E)13E12E2E23E2E21EE(E1)(E2)E1E2E2EE1E2

1kkh(k)(1)2(2)U(k) 故得单位响应为

（3）零状态响应为

精选

yf(k)h(k)f(k)2k(1)k2(2)k2k(1)k2k2(2)k11(1)k(2)k(2)k,k033（4）全响应



y(k)yx(k)yf(k)，即

111 2y(k)(1)k2(2)k(1)k(2)k(2)k(1)k(2)k(2)k,k03333 零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应

7.13 已知离散系统的差分方程与初始状态为

y(k2)51y(k1)y(k)f(1k)2f(k),y(0)y(1)1,f(k)U(k)66

yf(k)(1)求零输入响应yx(k)，零状态响应(2)判断该系统是否稳定； (3)画出该系统的一种时域模拟图。

答案

，全响应y(k)；

解答：（1）

E29105111E2EEE6623

H(E)故零输入响应的通解为

精选

11yx(k)A1()kA2()kU(k)32

故有

y(0)A1A21

y(1)11A1A2123

联解得A14,A23。故得零输入响应为

11yx(k)4()k3()kU(k)32

（2）系统的单位序列响应为

11h(k)9()k110()k1U(k1)

23故零状态响应为

11yf(k)h(k)f(k)U(k)9()k110()k1U(k1)231k1k181()151()U(k1)231k1k18()15()3U(k)23（3）全响应为

11y(k)yx(k)yf(k)22()k18()k3U(k)32

11,2（4）由于差分方程的特征根3的绝对值均小于1，故系统是稳定的

精选

（5）系统的一种时域模拟图如图题7.13所示

1f(k)D5/6-1/6D-2y(k)图题 7.13

7.14 已知系统的单位阶跃响应

114g(k)[(1)k(2)k]U(k)623

求系统在

f(k)(3)kU(k)

yf(k)激励下的零状态响应

答案

，写出该系统的差分方程，画出一种时域模拟图。

解答：先求单位响应h(k)。 因有

(k)U(k)U(k)U(k1)

故根据系统的差分性有

h(k)g(k)g(k)g(k1)441111 (1)k(2)kU(k)(1)k1(2)k1U(k1)

336262 (1)k2(2)kU(k)精选

故得

yf(k)h(k)f(k)(3)kU(k)(1)k2(2)kU(k)19 (3)k4(2)k(1)kU(k)22

又由h(k)的表达式可求得转移算子为

E2EE21H(E)2E1E2E3E213E12E2

故得系统的差分方程为

y(k)3y(k1)2y(k2)f(k)

其模拟图如图题7.14所示

y(k)f(k)-3-2DD图题 7.14

7.15 已知零状态因果系统的单位阶跃响应为

g(k)[2k3(5)k10]U(k)

(1)求系统的差分方程； (2)若激励

f(k)2G10(k)2[U(k)U(k10)]

求零状态响应y(k)。

精选

答案

解答：（1）由阶跃响应g(k)的表达式可知，特征方程有两个特征根：

p12,p25

故知该系统是二阶的。故可设系统的差分方程为

my(k)a1y(k1)a2y(k2)bif(ki),(i0,1,2,...,m)

i0系统的特征多项式为

E2a1Ea2(E2)(E5)E27E10

故得

a17,a210

故得差分方程为

my(k)7y(k1)10y(k2)bif(ki)i0

下面再求系数bi。先求单位响应h(k)。当激励f(k)(k)时，系统的差分方程变为

mh(k)7h(k1)10h(k2)bi(ki)i0

因有

(k)U(k)U(k)U(k1)

故根据线性系统的差分性有

精选

h(k)g(k)g(k)g(k1) 2k3(5)k10U(k)10(2)k13(5)k1U(k1) 14(k)(2)k112(5)k1U(k1)故得：

h(2)0,h(1)0,h(0)14,h(1)13,h(2)62,h(3)304,h(4)1508,...

将这些值代入式（1）得

14,k085,k1h(k)7h(k1)10h(k2)111,k20,k3

故得系数

b014,b185,b2111,b3b4...bm0

最后得差分方程为

y(k)7y(k1)10y(k2)14f(k)85f(k1)111f(k2)

实际上，由于因果系统总是有mn，今n2阶，故必有

b3b4...bm0

（2）根据线性系统的齐次性与移序不变性可得

y(k)2g(k)g(k10)22k3(5)k10U(k)2k103(5)k1010U)k10

7.16 图题7.16所示(a)，(b)，(c)三个系统，已知各子系统的单位响应为

h1(k)U(k) h2(k)(k3)

精选

h3(k)(0.8)kU(k)

试证明三个系统是等效的，即

ha(k)hb(k)hc(k)。

h2(k)(k)y1(k)h1(k)+y3(k)h3(k)ha(k)y2(k)(a)h2(k)(k)y1(k)h1(k)h3(k)+(b)h2(k)h1(k)hb(k)y2(k)y1(k)(k)h3(k)h1(k)+(c)图题 7 . 16hc(k)y2(k)

答案

解答：欲证明三个系统相互等效，只要证明三个系统的单位响应相同即可。 （1）求图题7.16(a)的单位响应ha(k)

精选

y1(k)(k)h1(k)h2(k)(k)U(k)(k3)U(k3)y2(k)(k)h1(k)(k)U(k)U(k)y3(k)y2(k)y1(k)U(k)U(k3)ha(k)y3(k)h3(k) U(k)U(k3)0.8kU(k)0.8kU(k)U(k3)0.8kU(k) 5(10.8k1)U(k)5(10.8k2)U(k3)

（2）求图题7.16(b)的单位响应hb(k)

y1(k)(k)h1(k)h3(k)h2(k) (k)U(k)0.8kU(k)(k3)5(10.8k2)U(k3)y2(k)(k)h1(k)h3(k)(k)U(k)0.8U(k)5(10.8hb(k)y2(k)y1(k)ha(k)（3）求图题7.16(c)的单位响应hc(k)

kk1)U(k)

y1(k)(k)h3(k)h2(k)h1(k) (k)0.8kU(k)(k3)U(k)5(10.8k2)U(k3)y2(k)(k)h3(k)h1(k)(k)0.8U(k)U(k)5(10.8hc(k)y2(k)y1(k)ha(k)hb(k)故三个系统是等效的。

7.17 试写出图题7-17(a)，(b)所示系统的后向与前向差分方程。

y(k)f(k)Dkk1)U(k)

y(k)f(k)-5DD-1/5-6(a)图题 7.17(b)

答案

精选

解： （a）

1y(k)f(k1) 5y(k1)1（b）

y(k)5y(k1)f(k) y(k2)5y(k1)6y(k)f(k2)y(k)5y(k1)6y(k2)f(k)

精选