一、选择题
1．i505的虚部为（ ）
A．﹣i B．i C．﹣l D．l
2．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为（ ）
A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥l C．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥l 3．二项式
A．84
B．24
的展开式中x的系数等于（ ） C．6
D．﹣24
4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（ ） A．l丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=（ ）
A．4
B．5 C．6 D．7
6．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵
坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
22
7．b＞0）己知直线ax+by﹣6=0（a＞0，被圆x+y﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2
A．9
B．
C．4
D．
，则ab的最大值是（ ）
8．T为常数，定义fT（x）=，若f（x）=x﹣lnx，则f3[f2（e）]的值为．（ ）
A．e﹣l B．e C．3 D．e+l
•
的最
9．设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若小值为0，则λ=（ ）
A．0
B．
C．p
D．2p
10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
11．已知集合P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（ ）
A．147 B．140 C．130 D．117
12．设向量=（1，k），=（x，y），记与的夹角为θ．若对所有满足不等式|x﹣2|≤y≤1的x，y，都有θ∈（0，
），则实数k的取值范围是（ ）
A．C．（﹣1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，+∞） （1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
二、填空题
13．观察下列等式 l+2+3+…+n=n（n+l）；
l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）； 1+4+10+…n（n+1）（n+2）=可以推测，1+5+15+…+
n（n+1）（n+2）（n+3）；
n（n+1）（n+2）（n+3）=_______．
14．函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数是_______．
15．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得
塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方 向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD=_______ m．
16．平面区域A1={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，A2={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R）．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为_______．
三、解答题
17．已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
18．某电子商务公司随机抽取l 000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7），[0.7，0.8），[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：
电商决定给抽取的购物者发放优惠券；购物金额在[0.3，0.6）内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券，现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X（单位：元）的分布列和均值．
19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明EF∥平面SAD；
（2）设SD=2DC，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．
20．已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．
21．（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx﹣6cos2x+cos4x在[0，（Ⅱ）设x∈（0，
）上的最小值；
sin4x；
），证明： sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+
（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为Sn． （1）证明： S2n一Sn＜π＜S2n一2Sn+
；
（2）已知1.732＜＜1.733，3.105＜S24＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE=FG． （I）证明：FE∥BC；
（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+程为ρ=2
acos（θ﹣
）（a＞0）．
（α为参数），以坐标原点为极）=
，曲线C2的极坐标方
（I）求直线，与曲线C1的交点的极坐标（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．
（Ⅱ）若直线l与C2相切，求a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥（x+l）；
（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[1，3]，求a的取值范围．
答案与解析
1．D 解：i505=（i4）126•i=i，∴i505的虚部为1．
2．A 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为，∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 3．A 解：Tr+1=
=99﹣r
，
令=1，解得r=6．
∴二项式的展开式中x的系数==84．
4．B 解：由题意得，圆柱形谷仓底面半径为r尺，谷仓高h=于是谷仓的体积V=
=2000×1.62．
尺．
解得r≈9．∴圆柱圆的周面周长为2πr≈54尺．
5．C 解：由题意，模拟执行程序，可得： s=1，n=1 n=2，s=﹣3，
42
满足条件n＜3，n=3，s=﹣3+（﹣1）•3=6， 不满足条件n＜3，退出循环，输出s的值为6． 6．A 解：函数f（x）=sinx+
cosx（x∈R）=2sin（x+
），
先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 可得y=2sin（2x+
）的图象；
再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度， 得到y=2sin[2（x﹣θ）+
]=2sin（2x+
﹣2θ）的图象．
+
﹣2θ=kπ+
，k∈z，
再根据得到的图象关于直线x=则θ的最小值为
，
对称，可得2•
7．B 解：∵圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心（1，2），半径r=
=， ，
22
直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x+y﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2∴圆心（1，2）在直线ax+by﹣6=0上， ∴a+2b=6， ∵a＞0，b＞0，
∴2ab≤（
2
）=9，∴ab≤，
∴当且仅当a=2b=3时，ab取最大值． 8．C 解：由题意可得，f（e）=e﹣lne=e﹣1＜2， 则f2（e）=
又f（2）=2﹣ln2＜2， 所以f3（2）=
=3，即f3[f2（e）]=3， =2，
9．B 解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则
=（x1+λ，y1）•（x2+λ，y2）=x1x2+λ（x1+x2）+λ2+y1y2=
+λ•
+λ2﹣p2，
∵的最小值为0，∴λ=
10．B 解：由三视图可知：该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥（底面在侧面上）剩下的几何体． ∴该几何体的体积=
×22×3﹣
=2
．
11．B 解：P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}={n|n为大于等于1且小于等于99的奇数}， Q={2，3，5}，
T={xy|x∈P，y∈Q}，
当x∈P，y=2时，xy为偶数，有50个； 当x∈P，y=3时，xy为奇数，有50个； 当x∈P，y=5时，xy为奇数，有50个．
在满足条件的奇数中，重复的有：15，45，75，105，135，165，195，225，255，285共10个． 故集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为150﹣10=140．
12．D 解：画出不等式|x﹣2|≤y≤1的可行域：△PQR及内部， 画出直线l：x+ky=0，当k=0时，x＞0显然成立；
旋转直线l，当l∥QR，即有直线l的斜率为1，可得k=﹣1， 由图象可得k＞﹣1，
又θ≠0，所以与不能同向，因此k＞1或k＜0； 所以k的范围是﹣1＜k＜0或k＞1；
13．
*
n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N）解：根据已知中的等式：
l+2+3+…+n=n（n+l）；
l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）； 1+4+10+…n（n+1）（n+2）=
n（n+1）（n+2）（n+3）；
归纳可得：第K个等式右边系数的分母是K!，后面依次是从n开始的K个连续整数的积， 故1+5+15+…+
n（n+1）（n+2）（n+3）=
*
n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N）
14．2 解：函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数可化为方程3﹣x=4﹣x2的解的个数；
2﹣x
即函数y=3与y=4﹣x的图象的交点的个数；
x2
作函数y=3﹣与y=4﹣x的图象如下，
，
x2
故函数y=3﹣与y=4﹣x的图象共有2个交点， 15．10 解：作出平面ABD的方位图如图所示： 由题意可知∠WAD=20°，∠EAD=40°，设∠ABE=θ，则∠WAB=θ， ∴∠DBA+∠DAB=40°+θ=60°，∴∠ABD=120°﹣θ+20°，
222
设BD=x，AD=y，则由余弦定理得AB=x+y﹣2xycos∠ADB，
22
即16900=x+y+xy．
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=∴x=3y． 解方程组∴CD=
=10
．
得
，∴CD=，∴CD=
， ．
．
16．1﹣积为4π，
A1={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R）6×=18， ，表示正方形，其面积为6×∴A2内随机取一点，则该点取自A1的概率为则不在的A1概率P=1﹣
=
，
解：平面区域A2={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，表示为半径为2的圆及其内部，其面
17．解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1． ∴1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解得∴an=1，bn=1；
n1
或an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3﹣． （II）当当
时，cn=anbn=1，Sn=n．
或
．
n﹣1
时，cn=anbn=（2n﹣1）•3，
∴Sn=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1， 3Sn=3+3×32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n， ∴﹣2Sn=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=
nn
﹣1﹣（2n﹣1）•3=（2﹣2n）•3﹣2，
∴Sn=（n﹣1）•3n+1．
18．解：利用分层抽样从1000人中抽取10人，
0.1=7人， 发放100元优惠券的购物者有：10×（1.5+2.5+3）×
0.1=3人， 发放200元优惠券的购物者有：10×（2+0.8+0.2）×
则此3人所获优惠券的总金额X的可能取值有300，400，500，600， P（X=300）=
=
，P（X=400）=
=
，
P（X=500）=∴X的分布列为： X P EX=
=，P（X=600）==，
300 +
400 500 =390．
600
19．解法一：
（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．
连接AG，则FG平行且等于CD，又CD平行且等于AB， ∴FG平行且等于AE，∴AEFG为平行四边形． ∴EF∥AG，
∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD． ∴EF∥平面SAD．
（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形． 取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．
又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF． 取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．
连接DM，则DM⊥EF．
故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角 ∴tan∠DMH=∴cos∠DMH=
=
．
．
∴二面角A﹣EF﹣D的余弦值为
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．
设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），F（0，，）， ∴
．
．
取SD的中点G（0，0，），则∴
∴EF∥AG
∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD． ∴EF∥平面SAD．
（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E（1，，0），F（0，，1）．
∴EF中点M（∴∴
=0
） ，
∴MD⊥EF 又
=（0，﹣，0），∴
=0
∴EA⊥EF，
∴和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角． ∵cos＜
，
＞=
=
．
∴二面角A﹣EF﹣D的余弦值为．
22222
20．解：（Ⅰ）由x+y+2x﹣15=0，得（x+1）+y=4， ∴圆心为H（﹣1，0），半径为4，
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|=|MB|， ∴|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4， 又|AH|=2＜4，
故点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为
；
（Ⅱ）由直线EF与直线PQ垂直，可得，
于是
．
（1）当直线PQ的斜率不存在时，则直线EF的斜率的斜率为0，此时不妨取 P（），Q（
），E（2，0），F（﹣2，0），
∴
；
（2）当直线PQ的斜率为0时，则直线EF的斜率不存在，同理可得（3）当直线PQ的斜率存在且不为0时，则直线EF的斜率也存在， 于是可设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），则直线EF的方程为y=，将直线PQ的方程代入曲线C的方程，整理得： （3+4k2）x2﹣8k2x+4k2
﹣12=0， ∴
，
于是，
=（1+k2）[xPxQ﹣（xP+xQ）+1]
=．
将上面的k换成，可得，
∴=，
令1+k2
=t，则t＞1，于是上式化简整理可得：
=．
由t＞1，得0，
∴
．
综合（1）（2）（3）可知，所求
的取值范围为[
]．
21．解：（Ⅰ）f′（x）=﹣8sinx+12sin2x﹣4sin4x =8sinx（﹣1+3cosx﹣2cosxcos2x） =8sinx（1﹣cosx0（4cos2x+4cosx﹣1）； x∈（0，
）时，得sinx＞0，1﹣cosx＞0，
由cosx＞，得：4cos2
x+4cosx﹣1＞0，
；
古f′（x）＞0，即f（x）在[0，又f（0）=3，故f（x）在[0，
）递增， ）的最小值是3；
（Ⅱ）设g（x）=sinx﹣sin2x﹣x， x∈（0，
2
）时，g′（x）=cosx﹣cos2x﹣1=﹣（cosx﹣1）＜0，
故g（x）在[0，）递减，得g（x）＜g（0）=0，
即sinx﹣sin2x＜x，①， 设函数h（x）=sinx﹣sin2x+
sin4x﹣x，
h′（x）=cosx﹣2cos2x+cos4x﹣1=f（x）﹣1， x∈（0，
）时，由（Ⅰ）知f（x）＞3，得h′（x）＞0，
）上递增，
sin4x＞x，②，
故h（x）在[0，
得h（x）＞h（0）=0，即sinx﹣sin2x+综合①②，x∈（0，
）时，
有sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+（Ⅲ）（1）令x=sin即sin
﹣sin﹣sin
，得： ＜
＜sin
﹣sin
sin4x；
++
sinsin
， ，
＜π＜nsin，s2n=nsin
，
﹣nsin =sin
易知sn=sin，
即s2n﹣sn＜π＜S2n一2Sn+；
（2）易得，s6=，s12=3，在S2n一Sn＜π＜S2n一2Sn+中，令n=12，
3.105﹣×3=3.14， 得：π＞s24﹣s12＞×
π＜s24﹣2s12+s6＜×3.106﹣2×3+××1.733＜3.15， 综上，3.14＜π＜3.15．
22．
2
证明：（Ⅰ）由切割线定理得：FG=FA•FD． 2
又EF=FG，所以EF=FA•FD，即
．
因为∠EFD=∠AFE，所以△FED∽△EAF．
又∠DAB，∠DCB都是弧DB上的圆周角，有∠DEF=∠EAF=∠DCB， 所以，FE∥BC，…
（Ⅱ）由AB⊥CD，得∠AED=90°． 因为∠EAD=∠DEF=30°， 所以所以
=tan30°==
=
=， ．…
2
23．解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为y=x，联立
，解得
，或
（舍去）；
，直线l的普通方程为x+y=2；
故直线l与曲线C1的直角坐标为（1，1），其极坐标为
22
（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为x+y+2ax﹣2ay=0，即：
222
（x+a）+（y﹣a）=2a（a＞0）；
；
由曲线l与C2相切，得∴a=1．
24．解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=
；
，
x＜1时，由f（x）≥（x+1），有1﹣x≥（x+1），解得：x≤， 当x≥1时，f（x）≥（x+1），有x﹣1≥（x﹣1），解得：x≥3， 综上，不等式的解集是（﹣∞，]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）当a＜2时，g（x）=，
g（x）的值域A=[a﹣2，2﹣a]，
由A⊆[﹣1，3]，得，解得：a≥1，又a＜2，故1≤a＜2，
当a≥2时，g（x）=，g（x）的值域A=[2﹣a，a﹣2]，
由A⊆[﹣1，3]，得
综上，所求a的范围是[1，3]．
，解得：a≤3，又a≥2，故2≤a≤3，
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