解答： 证明：（Ⅰ）连接CE，则
∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点， ∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，
设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点， ∵F为线段PC的中点， ∴PA∥OF，
∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF， ∴AP∥平面BEF；
（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形， ∴BE∥CD，
∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD， ∴AP⊥CD， ∴BE⊥AP，
∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形， ∴四边形ABCE是菱形， ∴BE⊥AC， ∵AP∩AC=A， ∴BE⊥平面PAC．
3．（2014•湖北）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2． （Ⅰ）求证：BE∥平面PAD； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD； （Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，
，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．
解答： 解：（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，AF，
∵E为PC中点，∴EF∥CD，且
，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，∴四边形ABEF为平行四边形， ∴BE∥AF，∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD， ∴BE∥平面PAD．（4分）
（Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥AD．（5分）
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz． 则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）．（6分）
，
，
∴
，BC⊥DB，（8分）
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC， ∴BC⊥平面PBD．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面PBD的法向量为，（10分）
∵
，
，且λ∈（0，1）
∴Q（0，2λ，1﹣λ），（11分）
设平面QBD的法向量为=（a，b，c），，
由
，
，得 ，
∴
，（12分）
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，
∴，（13分）
因λ∈（0，1），解得．（14分）
4．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC．
解答： 证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， ∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3； 又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；
∴DE2+EF2=DF2， ∴∠DEF=90°， ∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC； ∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
13．（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
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（1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直线A1F∥平面ADE．
解答： 解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC， ∵AD⊂平面ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴AD⊥平面BCC1B1， ∵AD⊂平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点 ∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1， ∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴A1F⊥平面BCC1B1 又∵AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD
∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE， ∴直线A1F∥平面ADE．
16．（2010•深圳模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点 （1）求证：EF∥平面SAD
（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．
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解答： （1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．
设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），
．
取SD的中点
SAD，
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），中点又
，，
，
，
，
，
，则
．
平面SAD，EF⊄平
．
所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．
所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．
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