2003年江苏省高考数学试题

数 学（理工农医类） 第Ⅰ卷(选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

（1）如果函数yaxbxa的图象与x轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区域（不

2包含边界)为（ ）

bbbb

OaOaOaOa

(A)

(B) (C) (D)

(2）抛物线yax2的准线方程是y2,则a的值为 （ )

（A)

18 (B)－

18 (C)8 (D）－8 (3)已知x(2,0),cosx45,则tg2x （ )

（A）

7724 (B)－

（C）

24247 （D）－247 （4)设函数2x1,x0,f(x)1若f(x0)1,则x0的取值范围是（ ） x2,x0 （A)（－1，1)

（B）(1,)

（C）（－∞，－2）∪（0，+∞）

(D）（－∞，－1）∪（1，+∞）

（5）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA(ABACABAC),0,,则P的轨迹一定通过ABC的

(A）外心

（B）内心

（C)重心

（D）垂心

1

(6)函数ylnx1,x(1,)的反函数为（ ） x1ex1,x(0,) (B）yxe1ex1,x(,0) （D）yxe1

ex1,x(0,) （A）yxe1ex1,x(,0) （C）yxe1

（7）棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为

a3（A）

3a3（B）

4a3a3（C） （D）

612（8)设a0,f(x)ax2bxc，曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值

范围为0,,则P到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为( ） 41 (A）0, (B)0, （C）0, （D）0, a2a2a2a（9）已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则

41bb1|mn| ( ）

3 （A）1 （B)3 （C）1 （D）

824（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0），直线yx1与其相交于M、N两点，

MN中点的横坐标为2,则此双曲线的方程是 （ ） 322xyx2y2x2y2x2y2 （A)1 1 (C）1 （D）1 （B）

25435234(11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0)，C（2，1)和D(0，1），一质点从AB的中

点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0),若1x42，则tg的取值范围是 ( ) （A）(1，1） (B）（

321221，) （C)(,) (D）(2，）

333525（12）一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

（A)3 （B）4 （C）33 （D）6

2

2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）

数 学(理工农医类)

第Ⅱ卷（非选择题共90分)

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 9(13）(x21)9的展开式中x系数是

2x（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________,___________辆 （15）某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜

色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答)

6 5 1 2 3 4 (16）对于四面体ABCD，给出下列四个命题

①若ABAC,BDCD,则BCAD ②若ABCD,ACBD,则BCAD ③若ABAC,BDCD,则BCAD ④若ABCD,ACBD,则BCAD

其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤

(17）（本小题满分12分）

有三种产品，合格率分别为0。90,0。95和0.95，各抽取一件进行检验 (Ⅰ）求恰有一件不合格的概率;

（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001)

3

（18）（本小题满分12分)

已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点

M(

3上是单调函数求和的值

,0)对称，且在区间0,42

(19）（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB90，侧棱

AA12，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G

（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） (Ⅱ）求点A1到平面AED的距离

C1A1DEGB1CBA

4

（20）（本小题满分12分）

已知常数a0,向量c(0,a),i(1,0)经过原点O以ci为方向向量的直线与经过

定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R试问：是否存在两个定点E、

F，使得PEPF为定值若存在，求出E、F的坐标;若不存在，说明理由

（21）(本小题满分12分)

已知a0,n为正整数 （Ⅰ)设y(xa)n,证明y'n(xa)n1；

（Ⅱ）设f)xn(xa)nn(x，对任意na，证明fn1'(n1)(n1)fn'(n)

5

（22)（本小题满分14分)

2设a0，如图,已知直线l:yax及曲线C:yx,C上的点Q1的横坐标为

交直线l于点Pn1，再从点Pn1作直线a1(0a1a).从C上的点Qn(n1)作直线平行于x轴，

平行于y轴，交曲线C于点Qn1. Qn(n1,2,3,…）的横坐标构成数列an

（Ⅰ）试求an1与an的关系，并求an的通项公式； （Ⅱ）当a1,a112时，证明n(akak1)ak21 k132(Ⅲ）当a1时,证明n(a1kak1)ak2k13

y c l r2 rQ3 1 QQ2 1 O a1a2a3x 6

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学 试 题（江苏卷）答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．21 14．6，30,10 15．120 16．①④

2三、解答题

17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分。 解：设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为A、B和C。 （Ⅰ）P(A)0.90,P(B)P(C)0.95， P(A)0.10,P(B)P(C)0.50.

因为事件A，B,C相互独立,恰有一件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) 20.900.950.050.100.950.950.176答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)

0.900.05220.100.050.950.100.0520.012

解法二：三件产品都合格的概率为

P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.900.9520.812

由（Ⅰ）知,恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为

1[P(ABC)0.176]1(0.8120.176)0.012.

答：至少有两件不合的概率为0.012.

（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和推理计算能力,满12分分. 解：由

f(x)是偶函数,得f(x)f(x),

即sin(x)sin(x),所以cossinxcossinx对任意x都成立,且0,所以得cos0. 7

依题设0,所以解得2.由f(x)的图象关于点M对称,得f(34x)f(34x),取x0,得f(3334)sin(42)cos4,f(3334)sin(42)cos4,cos340,又0,得342k,k1,2,3,,23(2k1),k0,1,2,.当k0时,23,f(x)sin(23x2)在[0,2]上是减函数;当k1时,2,f(x)sin(2x2)在[0,2]上是减函数;当k0时,103,f(x)sin(x2)在[0,2]上不是单调函数; 所以,综合得23或2.19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.

解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角。设F为AB中点，连结EF、FC，

D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC平面ABC,CDEF为矩形连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中EF2FGFD13FD2,EF1,FD3.

于是ED2,EG12633.FCCD2,AB22,A1B23,EB3.sinEBGEG612EB333.

A21B与平面ABD所成的角是arcsin3.（Ⅱ）连结A1D，有VA1AEDVDAA1EEDAB,EDEF,又EFABF,

ED平面A1AB, 设A1到平面AED的距离为h，则SAEDhSA1ABED 又SA1AE12S116AAB4A1AAB2,SAED2AEED2. 1h226623.即AAED的距离为261到平面3.

2解法二：(Ⅰ）连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A（2a,0,0)，B(0，2a,0），D(0，0，1)

8

A1(2a,0,2),E(a,a,1),G(2a2a1,,).33322GEBDa20.解得a1.33

aa2CE(,,),BD(0,2a,1).333241BA1(2,2,2),BG(,,).333cosA1BGBA1BG14/37.13|BA1||BG|232137A1B与平面ABD所成角是arccos.3（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1（2，0，2)，E(1，1,1),D（0,0，1)

AEED(1,1,1)(1,1,0)0,AA1ED(0,0,2)(1,1,0)0,ED平面AA1E,又ED平面AED.（Ⅰ）当a

2时，方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F； 2（Ⅱ)当0a211a11a时，方程①表示椭圆,焦点E(a2,)和F(a2,) 2222222（Ⅲ)当a点。

2时,方程①也表示椭圆，焦点E(0,1(aa21))和F(0,1(aa21))为合乎题意的两个定22222（21)本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，证明：（Ⅰ)因为

k(a)nkxk， (xa)Cnnk0n所以ykCk0nkn(a)nkxk1k1nkk1xn(xa)n1. nCn1(a)nk0（Ⅱ）对函数

fn(x)xn(xa)n求导数:

fn(x)nxn1n(xa)n1,所以fn(n)n[nn1(na)n1].当xa0时,fn(x)0.当xa时,fn(x)xn(xa)n是关于x的增函数.因此,当na时,(n1)n(n1a)nnn(na)n∴

fn1(n1)(n1)[(n1)n(n1a)n](n1)(nn(na)n)

(n1)(nnn(na)n1)(n1)fn(n).

即对任意n

a,fn1(n1)(n1)fn(n).

9

22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识,综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满

分14分.

(Ⅰ）解：∵Q2n(an1,an),Pn1(12aa,a2(1214nn),Qn1aan,a2an). ∴a121n1aa ∴a2112211222n,naan1a(aan2)(a)an2 (112221122223a)12(aan3)(a)an2 (1122n22n112n112n1a12n1a12n1a)a1(a)a1a(a), ∴ana(a). (Ⅱ）证明：由a=1知an1a2n, ∵a112, ∴a214,a1316. ∵当k1时,a1k2a316. ∴

n(akak1)ak21k116n(a11kak1)16(a1an1)32. k1 （Ⅲ）证明：由(Ⅰ）知，当a=1时，a2n1na1,

因此

nk12k2k12n1(akak1)ak21a1)a1k1n(a2k1(ai1ai12i21)a1

i12n1 (1a23i2a31a51)a1a1(1a1)a111i11a3 = a. 1121a13 10