一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1．复数A．
（i为虚数单位）的虚部为（ ）
B．
C．
D．
2．已知集合A＝{x|﹣4＜﹣x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x+5）＜0}，则A∩B＝（ ） A．（﹣5，4） 3．已知函数f（x）＝A．﹣17 4．若双曲线
B．1
B．（﹣3，2）
C．（2，4）
D．[﹣3，2）
，则f（f（1））＝（ ）
C．4
D．82
的离心率为2，则其实轴长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图显示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cosωx的部分图象如图所示，则（ ）
A．A＝1，ω＝ B．A＝2，ω＝ C．A＝1，ω＝ D．A＝2，ω＝
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3sinA＝2sinC，b＝5，cosC＝﹣，则a＝（ ） A．3 8．函数f（x）＝
B．4
C．6
D．8
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．π+1 B．（6+）π+1 C．π+ D．（6+）π+
10．函数在[2，+∞）上的最小值为（ ）
A． B．e2 C． D．2e
11．设P为椭圆C：＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使
得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（ ） A．（x﹣2）2+y2＝28 C．（x+2）2+y2＝28
12．设a＝log30.4，b＝log23，则（ ） A．ab＞0且a+b＞0 C．ab＞0且a+b＜0
B．ab＜0且a+b＞0 D．ab＜0且a+b＜0 B．（x+2）2+y2＝7 D．（x﹣2）2+y2＝7
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，的夹角为120°，且||＝1，||＝4，则•＝ ． 14．设x，y满足约束条件
，则z＝2x+y的最大值为 ．
15．已知tanα＝2，且＝mtan2α，则m＝ ．
16．设O1为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上．若两个底面的面积之和为8π，O1A与底面所成角为60°，则球
O的表面积为 ．
三、解答题：共70分，解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n+5n． （1）求证：数列{
}为等比数列；
}的前n项和Tn．
2
（2）设bn＝2Sn﹣3n，求数列{
18．某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如图频率分布直方图（分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，
80），[80，90），[90，100]），并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 满意度等级
[0，60） 不满意
[60，80） 基本满意
[80，90） 满意
[90，100] 非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人．
（1）求表中a的值及不满意的人数；
（2）记A表示事件“满意度评分不低于80分”，估计A的概率；
（3）若师生的满意指数不低于0.8，则该校可获评“教学管理先进单位”．根据你所学的统计知识，判断该校是否能获评“教学管理先进单位”？并说明理由．（注：满意指数η＝
）
19．如图，四边形ABEF是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的一个截面，此截面与棱CC1交于点E，
AB＝CE＝2，C1E＝BG＝1，ME⊥BE，其中G，M分别为棱BB1，B1C1上一点．
（1）证明：平面A1ME⊥平面ABEF；
（2）N为线段BC上一点，若四面体A1B1MG与四棱锥N﹣ABEF的体积相等，求BN的长．
20．已知p＞0，抛物线C1：x2＝2py与抛物线C2：y2＝2px异于原点O的交点为M，且抛物线
C1在点M处的切线与x轴交于点A，抛物线C2在点M处的切线与x轴交于点B，与y轴交
于点C．
（1）若直线y＝x+1与抛物线C1交于点P，Q，且|PQ|＝2，求抛物线C1的方程；
（2）证明：△BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值． 21．已知函数f（x）＝﹣ax+lnx（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为的参数方程为
为参数）
为参数），曲线C2
2
（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣2sinθ）＝4，若C1上的点P对应的参数为点M为PQ的中点，求点M到直线l距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝x+2x，g（x）＝|x﹣1|﹣|x+3|． （1）求不等式g（x）≤3的解集；
（2）若关于x的不等式f（m）+m≤g（x）的解集非空，求m的取值范围．
2
，点Q上在C2，
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1．复数A．
，
．
（i为虚数单位）的虚部为﹣
．
（i为虚数单位）的虚部为（ ）
B．
C．
D．
解：令z＝则∴复数故选：A．
2．已知集合A＝{x|﹣4＜﹣x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x+5）＜0}，则A∩B＝（ ） A．（﹣5，4）
B．（﹣3，2）
C．（2，4）
D．[﹣3，2）
解：A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|﹣5＜x＜2}； ∴A∩B＝{x|﹣3≤x＜2}＝[﹣3，2）． 故选：D． 3．已知函数f（x）＝A．﹣17
解：函数f（x）＝∴f（1）＝1+3＝4，
1
，则f（f（1））＝（ ）
B．1
，
C．4
D．82
f（f（1））＝f（4）＝2×4﹣7＝1．
故选：B． 4．若双曲线
的离心率为2，则其实轴长为（ ）
A． B． C． D．
解：双曲线的离心率为2，
e＝＝，解得a＝，
则其实轴长为：故选：D．
．
5．如图显示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：利用面积型几何概型公式可得，
圆形铜片的面积S＝4π，中间方孔的面积为S＝1，
油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值， 即油滴正好落入孔中的概率为p＝故选：D．
6．已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cosωx的部分图象如图所示，则（ ）
．
A．A＝1，ω＝ B．A＝2，ω＝ C．A＝1，ω＝ D．A＝2，ω＝
解：由图象可知，A＝1，＝1.5， ∴A＝2，T＝6， 又6＝T＝∴ω＝故选：B．
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3sinA＝2sinC，b＝5，cosC＝﹣，则a＝（ ） A．3
B．4
C．6
D．8
， ，
解：∵3sinA＝2sinC， ∴可得：3a＝2c，
∵设a＝2k（k＞0），则c＝3k． ∴由余弦定理得：cosC＝∴则k＝3（k＝﹣舍去）， ∴从而a＝6． 故选：C． 8．函数f（x）＝
的图象大致为（ ）
＝
＝﹣，
A． B．
C． D．解：因为f（x）＝，
此函数定义域为R， 又因为f（﹣x）＝
＝﹣f（x），
即函数y＝f（x）为奇函数，其图象关于原点对称， 故排除答案A，C， 当﹣1＜x＜0时，
x3﹣x＞0，x2+1＞0，
x3﹣x﹣（x2+1）＝x3﹣x2﹣x﹣1＝x2（x﹣1）﹣（x+1）＜0，
所以
，
故排除答案D， 故选：B．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．π+1 B．（6+）π+1 C．π+ 解：由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成．
D．（6+）π+
该几何体的表面积S＝故选：A． 10．函数
＝．
在[2，+∞）上的最小值为（ ）
A． B．e2 C． D．2e
解：f′（x）＝
令f′（x）＞0，解得：x＞3， 令f′（x）＜0，解得：x＜3，
，
故f（x）在[2，3）递减，在（3，+∞）递增， 故f（x）最小值＝f（3）＝故选：A． 11．设P为椭圆C：
＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使
，
得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（ ） A．（x﹣2）2+y2＝28 C．（x+2）2+y2＝28 解：∵P为椭圆C：
B．（x+2）2+y2＝7 D．（x﹣2）2+y2＝7
＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，
延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|， ∴|PF1|+|PF2|＝2a＝2∴|PF1|+|PQ|＝|F1Q|＝2
，|PQ|＝|PF2|， ，
为半径的圆，
∴Q的轨迹是以F1（﹣2，0）为圆心，2∴动点Q的轨迹方程为（x+2）2+y2＝28． 故选：C．
12．设a＝log30.4，b＝log23，则（ ） A．ab＞0且a+b＞0 C．ab＞0且a+b＜0
B．ab＜0且a+b＞0 D．ab＜0且a+b＜0
解：∵；
∴﹣1＜log30.4＜0； 又log23＞1； 即﹣1＜a＜0，b＞1； ∴ab＜0，a+b＞0． 故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，的夹角为120°，且||＝1，||＝4，则•＝ ﹣2 ． 解：由向量的数量积公式得：
•＝||||cos120°＝1×4×（﹣）＝﹣2， 故答案为：﹣2 14．设x，y满足约束条件解：由x，y满足约束条件联立
，解得A（﹣1，9），
，则z＝2x+y的最大值为 7 ． 作出可行域如图，
化z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为7．
故答案为：7．
15．已知tanα＝2，且＝mtan2α，则m＝ ．
解：∵tanα＝2，
∴＝＝＝3
∴mtan2α＝即m＝﹣． 故答案为：﹣．
，
16．设O1为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上．若两个底面的面积之和为8π，O1A与底面所成角为60°，则球
O的表面积为 28π ．
解：如图，
设该圆柱底面半径为r，高为h，则2πr2＝8π，
，解得r＝2，
，
则球O的半径
故球O的表面积为4πR2＝28π． 故答案为：28π．
，
三、解答题：共70分，解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2+5n． （1）求证：数列{
}为等比数列；
}的前n项和Tn．
（2）设bn＝2Sn﹣3n，求数列{
【解答】证明：（1）∵Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2+5n， ∴
＝7，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2n2+5n）﹣[2（n﹣1）2+5（n﹣1）]＝4n+3，
当n＝1时，4n+3＝7＝a1， ∴an＝4n+3， ∴
＝3
4n+3
，
∴＝＝3＝81，
4
∴数列{}为等比数列．
解：（2）bn＝2Sn﹣3n＝4n2+10n﹣3n＝4n2+7n，
∴∴数列{
＝
}的前n项和：
＝＝（），
Tn＝（
＝
．
）
18．某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如图频率分布直方图（分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]），并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 满意度等级
[0，60） 不满意
[60，80） 基本满意
[80，90） 满意
[90，100] 非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人．
（1）求表中a的值及不满意的人数；
（2）记A表示事件“满意度评分不低于80分”，估计A的概率；
（3）若师生的满意指数不低于0.8，则该校可获评“教学管理先进单位”．根据你所学的统计知识，判断该校是否能获评“教学管理先进单位”？并说明理由．（注：满意指数η＝
）
解：（1）由频率分布直方图可知：
a＝﹣（0.002+0.004+0.016+0.018+0.024）＝0.036，
设不满意的人数为x，
则（0.002+0.004）：（0.016+0.018）＝x：340，
解得x＝60，即不满意的人数为60个， （2）“满意度评分不低于80分“的频率为： （0.036+0.024）×10＝0.6， ∴事件A的概率估计值为0.6， （3）由题意可得，师生满意指数为： ∵η＝∵η≥0.8，
∴该校可获评“教学管理先进单位”．
19．如图，四边形ABEF是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的一个截面，此截面与棱CC1交于点E，
（45×0.02+55×0.04+65×0.16+75×0.18+85×0.36+95×0.24）＝0.804，
AB＝CE＝2，C1E＝BG＝1，ME⊥BE，其中G，M分别为棱BB1，B1C1上一点．
（1）证明：平面A1ME⊥平面ABEF；
（2）N为线段BC上一点，若四面体A1B1MG与四棱锥N﹣ABEF的体积相等，求BN的长．
【解答】证明：（1）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥BC，BB1⊥底面ABCD， ∴BB1⊥AB，
又BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面BCC1B1， ∵ME⊂平面BCC1B1，∴AB⊥ME，
∵ME⊥BE，BE∩AB＝B，∴ME⊥平面ABEF， 又ME⊂平面A1ME，∴平面A1ME⊥平面ABEF． 解：（2）在Rt△BCE中，∴∠BEC＝45°， ∵ME⊥BE，∴∠MEC1＝45°， ∵C1E＝1，∴MC1＝1，
又B1C1＝2，∴B1M＝1，∵BG＝1，∴B1G＝2， ∴四面体A1B1MG的体积取BE的中点H，
＝
，
∵BC＝CE，∴CH⊥BE，
又AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥CH， ∴CH⊥平面ABEF，
过N作NP∥CH，交BE于P，则BP⊥平面ABEF， ∴解得NP＝
，又CH＝
＝， ，∴BN＝
＝．
20．已知p＞0，抛物线C1：x＝2py与抛物线C2：y＝2px异于原点O的交点为M，且抛物线
22
C1在点M处的切线与x轴交于点A，抛物线C2在点M处的切线与x轴交于点B，与y轴交
于点C．
（1）若直线y＝x+1与抛物线C1交于点P，Q，且|PQ|＝2
，求抛物线C1的方程；
（2）证明：△BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值． 解：（1）由
，得x2﹣2px﹣2p＝0，
设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则x1+x2＝2p，x1x2＝﹣2p， 所以|PQ|＝
•
＝2
，
因为p＞0，所以p＝1， 所以抛物线C1的方程为x＝2y． （2）证明：由则M（2p，2p），
设直线AM的方程为：y﹣2p＝k1（x﹣2p）， 与x2＝2py联立得x2﹣2pk1x﹣4p2（1﹣k1）＝0，
，得x＝y＝2p或x＝y＝0，
2
由△1＝4pk1+16p（1﹣k1）＝0，得（k1﹣2）＝0，所以k1＝2， 设直线BM的方程为y﹣2p＝k2（x﹣2p）， 与y＝2px联立，得k2y﹣2py﹣4p（1﹣k2）＝0， 由△2＝4p2+16p2k2（1﹣k2）＝0，得（1﹣2k2）2＝0， 所以k2＝，
所以直线AM的方程为y﹣2p＝2（x﹣2p）， 直线BM的方程为y﹣2p＝（x﹣2p）， 所以A（p，0），B（﹣2p，0），C（0，p）， 所以S△BOC＝p2，S△ABM＝3p2，
所以△BOC的面积与四边形AOCM的面积比为21．已知函数f（x）＝﹣ax+lnx（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围． 解：（1）由f（x）＝﹣ax+lnx，得f′（x）＝﹣2ax+＝当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数； 当a＞0时，由f′（x）＝0，得∴当x∈（0，
＝﹣
＜0，
＝
＞0， ）时，f′
22
2
22
2
2222
＝（为定值）．
（x＞0），
）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（
（x）＜0，f（x）为减函数；
（2）当a≤0时，若x∈（1，+∞），则f（x）+a＝﹣ax2+lnx+a＝a（1﹣x2）+lnx＞0，满足题意；
当a＞0时，由（1）知，当
，即a时，f（x）在（1，+∞）上为减函数，
此时f（x）max＝f（1）＝﹣a，﹣a＞﹣a不成立； 当减函数， 此时
＝
，
，即0＜a＜时，f（x）在（1，
）上为增函数，在（
，+∞）上为
由，得1+ln2a＜2a，
，
令g（a）＝1+ln2a﹣2a，则g′（a）＝
则g（a）在（0，）上为增函数，∴g（a）＜g（）＝0，即1+ln2a＜2a恒成立， ∴0＜a＜．
综上，若∃x∈（1，+∞），使得f（x）＞﹣a，a的取值范围为a．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为的参数方程为
为参数）
为参数），曲线C2
（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣2sinθ）＝4，若C1上的点P对应的参数为点M为PQ的中点，求点M到直线l距离的最小值． 解：（1）∵曲线C1的参数方程为
为参数），
，点Q上在C2，
∴曲线C1消去参数θ，得到C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1， 它表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆， ∵曲线C2的参数方程为
为参数），
，
∴曲线C2消去参数φ，能求出C2的普通方程为它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．
（2）由已知得P（0，2），设Q（2cosθ，sinθ），则直线
，
l：x﹣2y﹣4＝0，点M，
到直线l的距离为
所以≤d≤，
．
故M到直线l的距离的最小值为
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝x+2x，g（x）＝|x﹣1|﹣|x+3|． （1）求不等式g（x）≤3的解集；
（2）若关于x的不等式f（m）+m≤g（x）的解集非空，求m的取值范围．
2
解：（1）g（x）＝，
当x＜﹣3时，g（x）≤3，无解；
当﹣3≤x≤1时，由﹣2x﹣2≤3，得﹣≤x≤1； 当x＞1时，﹣4≤3恒成立． 所以g（x）≤3的解集为{x|x≥﹣}
（2）由f（m）+m≤g（x）有解，得m+3m≤|x﹣1|﹣|x+3|有解， 而|x﹣1|﹣|x+3|≤|x﹣1﹣（x+3）|＝4， 所以，m+3m≤4，解得：﹣4≤m≤1， 所以m的取值范围是[﹣4，1]．
2
2
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容